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中考复习：几何图形中的最值问题
几何图形中的最值问题
★1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3.若点D是AB边上任意一点，且不与点A、B重合，连接CD.将△BCD沿着CD所在的直线翻折，使得点B落在点B′处，连接AB′，则AB′的最小值为________．

第1题图
1　【解析】在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：AC＝＝＝4，由对称性可知：BC＝B′C＝3，∵B′C的长度固定，∴当AB′＋B′C的值最小时，AB′的值最小，根据“两点之间，线段最短”可知当A、B′、C三点共线时，AB′最小，∴AB′＝AC－B′C＝4－3＝1.
★2.如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，点M、N分别是BC、CD上任意一点，点P是BD上一点，连接PM、PN，则PM＋PN的最小值为________．

第2题图 第2题解图
6　【解析】如解图，作点N关于BD对称的点N′，根据菱形的对称性可知点N′在AD上，又由两平行线之间，垂线段最短，过点N′作N′M⊥BC于点M，故MN′与BD的交点P即满足PM＋PN的值最小，故MN′＝AB·sin∠ABC＝4×＝6.
★3.如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为________．

第3题图 第3题解图
6　【解析】如解图，作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，∵在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，点E是BC中点，∴BE＝CE＝CE′＝6，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴＝，即＝，解得CF＝3，∴DF＝CD－CF＝9－3＝6.
★4.如图，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，AO＋BO＝5，延长AO到C，使OC＝3，延长BO到D，使OD＝4，连接BC、CD、DA，则四边形ABCD面积的最大值为________．

第4题图
18　【解析】设OA＝x，OB＝y，∵AO＋BO＝5，∴x＋y＝5，∵延长AO到C，OC＝3，延长BO到D，OD＝4，连接BC、CD、DA，∠AOB＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝AC·OD＋AC·OB＝AC·(OD＋OB)＝AC·BD＝(x＋3)(y＋4)，∵x＋y＝5，∴S四边形ABCD＝(x＋3)(5－x＋4)＝(x＋3)(9－x)＝－(x－3)2＋18. ∴四边形ABCD的最大面积为18.
★5.如图，已知四边形ABCD，∠BAD＝120°，CB⊥AB，CD⊥AD，且AB＝AD＝3，点E、F分别是BC、CD边上的动点，那么△AEF周长的最小值是________．

第5题图 第5题解图
6　【解析】如解图，延长AB至点M，使BM＝AB，延长AD至点N，使DN＝AD，连接MN，交BC于点E，交DC于点F.∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴BC、CD是AM、AN的垂直平分线，∴AE＝ME，AF＝FN.∵△AEF的周长＝AE＋EF＋AF＝ME＋EF＋FN＝MN，∴此时△AEF的周长为线段MN的长．∵AB＝AD＝3，∴AM＝AN＝6，∵∠BAD＝120°，∴∠M＝∠N＝30°，∴MN＝2AM·cos30°＝12×＝6.
★6.如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为________．

第6题图 　第6题解图
2　【解析】如解图，∵∠PAB＝∠PBC，∠ABC＝90°，∴∠BAP＋∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P始终在以AB的中点O为圆心，以OA＝OB＝OP＝AB＝3为半径的圆上，由解图知，只有当在点P在OC与⊙O的交点处时， PC的长最小．在Rt△OBC中，OC＝＝＝5，∴P′C＝OC－OP′＝5－3＝2，∴线段CP长的最小值为2.
★7.如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，点E是AD边的中点，点F是射线AB上的一动点，将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A′EF，连接A′C，则A′C的最小值为________．

第7题图　 第7题解图
－1　【解析】如解图，∵点E是AD的中点，∴根据翻折性质得A′E＝AE＝DE＝AD＝×2＝1，∵点F为动点，∴随着点F的运动，点A′的运动轨迹是以点E为圆心，AE为半径在矩形ABCD内的圆弧，当E、A′、C不在同一直线上时，则CA′、A′E和CE围成三角形，根据三角形的三边关系，即A′C>CE－A′E，当E、A′、C在同一直线上时，即A′C＝CE－A′E，综上所述A′C≥CE－A′E，∴当E、A′、C在同一直线上时，A′C有最小值，∵在Rt△CDE中，CD＝3，DE＝1，∴CE＝＝＝，∴A′C的最小值为CE－DE＝－1.
★8.如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E.若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是________．

第8题图　 　第8题解图
2　【解析】如解图，作D关于AE的对称点D′，DD交AE于F，再过D′作D′P⊥AD于P，∵DD′⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD′，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△ADF≌△AD′F，∴AD′＝AD＝4，∵D′与D关于AE对称，∴QD＝QD′，∴DQ＋PQ＝QD′＋PQ＝PD′，∴D′P′即为DQ＋PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′＝45°，∴AP＝PD′，∴在Rt△APD′中，PD′2＋AP2＝AD′2，即2P′D2＝16，∴PD′＝2，即DQ＋PQ的最小值为2.
★9.如图，点P为边长为2的正方形ABCD外一动点，且PA⊥PB，连接AC、PC，则△PAC的最大面积为________．

第9题图 　第9题解图
＋1　【解析】如解图，作出以AB为直径的⊙O交线段AC于点E，连接PE、OE、BE，由AC为正方形的对角线及⊙O的直径为AB，可得△AEB为等腰直角三角形，则点E为AC的中点，∴S△APC＝2S△APE，∴要使得△APC的面积最大，只需使得△APE面积最大即可．∵AE长度为定值，∴只需使△APE中AE边上的高最大即可，∵AE＝AC＝＝，OA＝OB＝OE＝1，∴△AOE是等腰直角三角形，∴Rt△AOE中，利用等面积法求得AE边上的高为＝＝，∴△APE中AE边上的高的最大值为1＋，∴△APE面积的最大值为×(1＋)×＝＋，∴△PAC的最大面积为2×(＋)＝＋1.
★10.如图，在四边形ABDE中，C是BD边的中点，BD＝8，AB＝2，

DE＝8.若∠ACE＝135°，则线段AE长度的最大值是________．

第10题图
10＋4　【解析】如解图①，分别将△ABC、△CDE沿AC、CE翻折，则点B落到点F处，点D落在点G处，连接AG、FG.由“两点之间线段最短”可知AG≤AF＋FG，AE≤AG＋EG，∴AE≤AF＋FG＋EG，∴如解图②所示，当点A、F、G、E四点共线时，AE最大，此时，AE＝AF＋FG＋EG，由翻折可证△ACB≌△ACF，∴CB＝CF，AB＝AF，∠ACB＝∠ACF.同理，△CDE≌△CGE，CD＝CG，DE＝GE，∠ECD＝∠ECG.∵∠ACE＝135°，∴∠ACB＋∠ECD＝45°＝∠ACF＋∠ECG，∴∠FCG＝90°.又∵BC＝DC，∴FC＝GC，∴△FCG是等腰直角三角形．∵BD＝8，AB＝2，DE＝8，∴AF＝AB＝2，EG＝DE＝8，由勾股定理得FG＝＝4，∴AE＝AF＋FG＋EG＝10＋4.即AE的最大值为10＋4.

第10题解图① 第10题解图②

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