循环平稳过程以与信号处理理论.doc

循环平稳过程以及信号处理理论

绪论
• 通信、遥测、雷达、声呐等系统中许多信号，其统计特征参数是时间变化的，这类信号称为循环平稳信号(cyclostationary signal)
• 例如调制信号，雷达扫描信号，还有一些自然的，如水文数据，海洋数据，人体心电图等都具有循环平稳性质。
• W. A. Gardner*的谱相关理论是标志循环平稳信号处理理论的成熟，其数学工具是循环相关函数与循环谱相关函数。

• *W. A. Gardner, L. E. Franks, Characterization of cyclostationary random signal processes, IEEE Trans Information Theory, 21: 4-14, 1975.
• F. Chapeau-Blondeau, X. Godivier; "Theory of stochastic resonance in signal transmission by static nonlinear systems"; Physical Review E 55, 1478-1495 (1997).
• X. Godivier, F. Chapeau-Blondeau; "Noise-assisted signal transmission by a nonlinear electronic comparator: Experiment and Theory"; Signal Processing 56, 293-303 (1997).
• F. Duan, F. Chapeau-Blondeau, D. Abbott; "Noise-enhanced SNR gain in parallel array of bistable oscillators"; Electronics Letters 42, 1008-1009 (2006).
2.1一般理论框架（动态静态系统都适合）
强调我们的系统划分规则静态指无记忆系统，而动态指有记忆的系统。
这里设任意一系统的输入为，表示周期为的周期信号，而是稳态随机噪声。
我们把系统输出看成是它的非稳态均值与围绕均值的稳定波动的与，即
2-1
由于输入信号的周期性，系统输出一般也是周期为的循环平稳信号，非稳态均值是周期的确定性信号，那么引入傅里叶变换系数
2-2
这里整数，表示了谐波频率倍数。为计算自相关函数，固定时间与时间延迟，得二阶非稳态相关函数
2-3
此期望函数含有两个变量时间与时间延迟，同样具有周期性。为构造稳态的自相关函数，我们进行时间平均可以得到的自相关函数
2-4
其中，自协方差为
2-5
那么，依据维纳辛钦定理，的功率谱密度,即是的傅里叶变换
2-6
其中

由Parseval定理，当时，

而当时，与是正交基，

而对于信号的Fourier变换为

由此得出2-6式。
由式2-6可以看出的功率谱密度为在宽带噪声谱背景下，在的整数倍值上（谐频上）叠加了相关谱线。
其次分析，由于自协方差

那么

由于的非稳态方差，进行时间平均则为，那么可以写为
， 2-7
=/为归一化稳态自相关函数，是偶函数，其Fourier变换为。那么2-6式可以重新写为
2-8
输出信噪比定义为谱线上的信号功率与以谱线为中心的附近频带内噪声功率的比值，即
2-9
2.2静态系统的离散实现
考虑无记忆的静态系统，其输入输出转换为
2-10
这里是任意实函数，设是白噪声，概率密度为，分布函数为。噪声的自相关函数为

这样导致噪声具有无限大的功率，实际上，白噪声近似有一个小但是非零的相关时间，这样其功率很大但是有限，使得条件成立。这里对于输入为白噪声来说，数值模拟中，若采样时间步长为，，对于离散采样白噪声，其自相关函数变为
2-11
离散的Dirac函数定义为

那么功率谱密度为

由于噪声为白噪声，那么静态非线性的输出与也具有非相关性，。那么，当时二阶矩

当时，二阶矩

在任意给定时刻，输入的概率密度函数可以表示为，那么我们可以求解一阶矩

二阶矩

非稳态方差
，
因此，我们将可以写成
2-12
对于时间求时间平均得到稳态自相关函数
2-13
这里时间积分
，
因此稳态自协方差

同样地，为了观测频域特征，将均值的Fourier系数表示为

这里离散周期Fourier变换

同样将自相关函数进行离散Fourier变换

这里Fourier变换为

这里无穷积分上下限用周期来代替，那么频率分辨率为，，。那么
2-14
第一项是由于只有时，，后面的项计算参考文献[X Godivier, F. Chapeau-Blondeau, Noise-assisted signal transmission in a nonlinear electronic comparator, Signal Processing, 56:293-303, 1997]中利用的一些性质证明。
由公式2-14可以看出，功率谱为一个常数背景上，谱线以及其谐频。那么信噪比定义为谱线上信号的功率除以噪声在频带中所包含的功率，即
2-15
实际运算中可取，那么，代入得到

这里一个周期内采样个，一般100,1000，采样点多些。

2.3 信噪比的数值实现

这里无论是有记忆的动态系统还是无记忆的静态系统，我们探讨一类计算机计算的数值方法。
1）再次回顾，把系统输出看成是它的非稳态均值与围绕均值的稳定波动的与，即

引入傅里叶变换系数

那么将系统仿真之后，如何得到与傅里叶变换系数呢？

y1 y2 y3 yN yN+1 ……

我们只有求离散值，并且是一个周期内个，利用样本来求样本均值可以转化为求取时间均值
2-16
这里考虑到动态系统的输出稳定性，把到第一个周期的输出给舍弃掉了。对于这N个值进行时间平均，他们都是，平均化之后，，而把浮现出来。
这样Fourier系数近似计算为
2-17
这里整数，表示了谐波频率倍数。
2）为计算自相关函数，固定时间与时间延迟，得二阶非稳态相关函数

y1 y2 y3 yN yN+1 ……

y1 y2 y3 yN yN+1 ……

同样利用时间平均方法求
2-18
自协方差为

那么根据2-16与2-18，可得
2-19
那么，依据维纳辛钦定理，的功率谱密度

对于Fourier系数2-17式已经求出，那么只要求出即可，注意其是偶函数，且有周期性，一个周期内衰减很快，因此只计算一个周期内即可

那么输出信噪比即可计算出来。