2023年九年级数学上册《一元二次方程的应用》知识考点练习（含答案）.docx

一元二次方程的应用
考点先知

知 识
考 点
一元一次方程的应用
1.传播问题
2.树枝分叉问题
3.握手问题
4.平均变化率问题
题型精析

预备知识

必背平方数
_____
_____
_____
_____
_____
_____
_____
_____
_____
_____
_____
_____
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_____
_____
_____
_____

知识点一 传播问题

思考

现有病毒a个，每个病毒每次传播x人，则：
第一轮传播，感染总数为__________；
第二轮传播，感染总数为__________=__________；
第三轮传播，感染总数为__________=__________.
【总结】若刚开始有a个病毒，每个病毒每次传播x人，则传播问题的公式为：_______________.
题型一 传播问题

例1

一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人．根据题意列出方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
例2

某地有两人患了流感，经过两轮传染后又有70人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．5人
B．6人
C．7人
D．8人
例3

2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．世界卫生组织提出：如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为”超级传播者”．如果某地区有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设一个病毒携带者每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）请判断最初的这名病毒携带者是”超级传播者”吗？求他每轮传染的人数；
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，新冠肺炎病毒的携带者共有多少人？

变1
若有1人感冒，经过两轮传染后有289人感冒，平均一个人传染多少个人？（ ）
A．14
B．16
C．18
D．20
变2
进入年秋冬季以来，全国疫情呈现多点爆发，感染人数急速增长的新趋势而此次疫情主要由奥密克戎变异株引起．据调查，奥密克戎变异株的主要特点是致病性减弱，但传播速度更快，传染性更强．在对该病毒的流行性病学调查中发现，在不加任何防护措施的情况下，若1人患病，经过两轮感染后患病人数竟高达人，则每轮感染中，1个人会平均感染多少人？若设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，则下列方程正确的是（　　）

A．
B．
C．
D．
变3
有10人患流感，经过两轮传染后共有1210人患流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？

知识点二 树枝分叉问题

思考

现有一棵树干，若这棵树主干长出x个枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，则：
第一轮分叉，这棵树的枝干总数为__________；
第二轮分叉，这棵树的枝干总数为__________；
第三轮分叉，这棵树的枝干总数为__________.
【总结】树枝分叉问题与传播问题的区别是：___________________________.
题型二 树枝分叉问题

例1

某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共．若设主干长出x个支干，则可列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例2

某种植物的一个主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是43，那么每个支干长出多少个小分支.

变1
某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共133．若设主干长出x个支干，则可列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变2
某种植物的主干长出若干树木的支干，每个支干又长出同样树木的小分支，主干、支干、和小分支的总数是91，每个支干长出x个小分支，则x=______．
例3

为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12

例4

网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为______人．
变3
有一个人收到短信后，再用手机转发短消息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有133人收到短消息，问每轮转发中平均一个人转发给（ ）个人．
A．9
B．10
C．11
D．12
知识点三 握手问题

思考

现有x人，每两人握一次手，请问是否有重复？_____，故共握手_____次.（该问题是单循环还是双循环？_______）
现有x人两两之间互赠卡片，请问是否有重复？_____，故共赠卡片_____.（该问题是单循环还是双循环？_______）
【总结】握手问题的关键在于：_______________.
题型三 握手问题

例1

一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，则这次会议到会的人数是（ ）
A．11
B．12
C．22
D．33
例2

为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛，则参赛的足球队个数为（　　）
A．6
B．7
C．8
D．9
例3

新年某班每名学生向全班其他同学各送一份小礼品，全班共送1560份小礼品，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
变1
在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯105次，则参加酒会的人数有多少人．

变2
中国男子篮球职业联赛（简称：CBA），分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制（也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛）．2022-2023CBA常规赛共要赛240场，则参加比赛的队共有（ ）
A．80个
B．120个
C．15个
D．16个
变3
中秋节当天，九年级数学组的老师每两人相互送一个月饼，共送出72个月饼，九年级数学组老师的人数为（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
知识点四 平均变化率问题

思考

若2020年国内的GDP总量为a万亿，每年的增长率都是x，则：
2021年国内的GDP总量为_______________；
2022年国内的GDP总量为_______________；
2023年国内的GDP总量为_______________.
【总结】平均变化率问题的公式为：1.由a经过两次平均增长到b：_______________；
2.由a经过两次平均减少到b：_______________.
题型四 平局变化率问题

例1

党的十八大召开以后，“三公消费”得到有效遏制，在此背景下，一些白酒价格纷纷下调，某种白酒原价200元，经连续两次降价后售价下降了72元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
例2

某厂职工2020年的人均收入约为元，预计2022年的人均收入约为元，则人均收入的年平均增长率为（ ）
A．1%
B．1.21%
C．10%
D．12.1%
例3

“古越龙山”酿酒公司由于注重对市场调研和新产品的研发，新研制的某款瓶装酒获得市场的认可，今年四月份销售了50万瓶，按市场供需趋势预计今年二季度可销售182万瓶．设该款酒的销售量今年五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

变1
在“五美乡村”建设中，某村前年投入建设资金50万元，今年投入建设资金72万元，求该村投入建设资金的年平均增长率．设该村投入建设资金的年平均增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变2
某制药厂生产的某种针剂，每支成本3元，由于连续两次降低成本，现在的成本是2.43元，则平均每次降低成本的百分率是（　　）
A．10%
B．20%
C．7%
D．8%
变3
随着疫情影响消退和消费回暖，2023年电影市场向好．某电影上映的第一天票房约为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例4

数字化阅读凭借其独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径．近年来，我国数字阅读用户规模持续增长，据统计年我国数字阅读用户规模达4.94亿人，年约为5.9774亿人．
（1）求年到年我国数字阅读用户规模的年平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计年我国数字阅读用户规模能否达到6.5亿人．

变4
“杂交水稻之父”袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量800公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1352公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1750公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．

例5

铝加工是巩义经济的支柱产业之一，巩义某铝板厂通过技术改造升级，使铝板生产规模不断扩大．该厂7月份生产铝板1.92万吨，9月份生产铝板3万吨．
（1）求8，9月份产量的平均增长率；
（2）若9月份每吨铝板的利润为2000元，10月份每吨铝板的利润比9月增加，10月份铝板产量比上月增加，则10月份铝板项目月利润达到7920万元．求的值．

变5
某图书店在2022年国庆节期间举行促销活动，某课外阅读书进货价为每本8元，标价为每本15元.
（1）该图书店举行了国庆大回馈活动，连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每本9.6元的价格售出，求图书店每次降价的百分率；
（2）在九月底该书店老板去进货该书500本，按照（1）两次降价后的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了，进货量比九月底增加，以标价的八折全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求的值.

课后强化

1.2022年底，新冠疫情持续蔓延，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有441人感染，设每轮传染中平均每个人传染了人，则根据题意可列出方程（ ）
A．
B．
C．
D．
2.今年春季某地区流感爆发，开始时有4人患了流感，经过两轮传染后，共有196人患了流感．若每轮每人传染的人数相同，求每轮每人传染的人数．

3.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

4.某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共91．若设主干长出x个支干，则可列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57个，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（ ）
A．8个
B．7个人
C．6个
D．5个
6.某中学初三某学生聆听了感恩励志主题演讲《不要让爱你的人失望》后，写了一份《改变，从现在开始》的倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有421人参与了传播活动，求的值．

7.九年级（1）班的全体同学，在新年来临之际，在贺卡上写上自己的心愿和祝福赠送给其他同学各一张，全班共互赠了5112张，设全班有名同学，那么根据题意列出的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共相互赠送标本210件，若全组有名同学，则根据题意列出方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
9.为进一步弘扬“爱国、进步、民主、科学”的五四精神，倡导“我运动、我健康、我快乐”的生活方式，某县团委准备组织一次共青团员青年足球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，则该县团委应邀请多少个足球队参赛？

10.某工厂一月份生产总值为15万元，第一季度的生产总值共75万元，如果平均每月的增长率为x，则所列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
11.新时代教育投入得到了高度重视，某省2020年公共预算教育经费是200亿元，到2022年公共预算教育经费达到242亿元．
（1）求2020年到2022年公共预算教育经费的年平均增长率．
（2）按照这个增长率，预计2023年公共预算教育经费能否超过266亿元？

12.为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本），该阅览室在2016年图书借阅总量是7500本，2018年图书借阅总量是10800本．
（1）求该社区的图书借阅总量从2016年至2018年的年平均增长率；
（2）已知2018年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2019年达到1440人，如果2018至2019年图书借阅总量的增长率不低于2016至2018年的年平均增长率，那么2019年的人均借阅量比2018年增长，求的值至少是多少？

s
一元二次方程的应用
考点先知

知 识
考 点
一元一次方程的应用
1.传播问题
2.树枝分叉问题
3.握手问题
4.平均变化率问题
题型精析

预备知识

必背平方数
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知识点一 传播问题

思考

现有病毒a个，每个病毒每次传播x人，则：
第一轮传播，感染总数为__________；
第二轮传播，感染总数为__________=__________；
第三轮传播，感染总数为__________=__________.
【总结】若刚开始有a个病毒，每个病毒每次传播x人，则传播问题的公式为：_______________.
题型一 传播问题

例1

一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人．根据题意列出方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】第一轮传染后总传染人数为，第二轮后总传染人数为，由此可解．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染个人，
则第一轮传染后总传染人数为，第二轮后总传染人数为，
因此．
故选C．
例2

某地有两人患了流感，经过两轮传染后又有70人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．5人
B．6人
C．7人
D．8人
【答案】A
【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，第一轮传染后有人患了流感，第二轮有人，根据两轮后共有72人，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，第一轮传染后有人患了流感，第二轮有人，依题意，得

解得：（舍去）
故选：A．

例3

2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．世界卫生组织提出：如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为”超级传播者”．如果某地区有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设一个病毒携带者每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）请判断最初的这名病毒携带者是”超级传播者”吗？求他每轮传染的人数；
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，新冠肺炎病毒的携带者共有多少人？
【答案】（1）不是；8人；（2）729人
【分析】（1）设每人每轮传染人，根据经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者，即可得出关于的一元二次方程；解之，可得出的值，将其正值与10比较后即可得出结论；
（2）根据经过3轮传染后病毒携带者的人数＝经过两轮传染后病毒携带者的人数×（1＋每人每轮传染的人数），即可求出结论．
【详解】（1）设每人每轮传染人，
依题意，得：，得：，（不合题意，舍去），
又∵ 8＜10，∴最初的这名病毒携带者不是“超级传播者”；
所以最初这名病毒携带者不是“超级传播者”；他每轮传染的人数8人；
（2）81×（1＋8）＝729（人），
变1
若有1人感冒，经过两轮传染后有289人感冒，平均一个人传染多少个人？（ ）
A．14
B．16
C．18
D．20
【答案】B
【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有人被传染，列出一元二次方程，再解方程即可得出答案．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有人被传染，
由题意得：，
即，
解得：，（不符合题意，舍去），
即每轮传染中平均一个人传染16个人，
故选：B．
变2
进入年秋冬季以来，全国疫情呈现多点爆发，感染人数急速增长的新趋势而此次疫情主要由奥密克戎变异株引起．据调查，奥密克戎变异株的主要特点是致病性减弱，但传播速度更快，传染性更强．在对该病毒的流行性病学调查中发现，在不加任何防护措施的情况下，若1人患病，经过两轮感染后患病人数竟高达人，则每轮感染中，1个人会平均感染多少人？若设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，则下列方程正确的是（　　）

A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】一轮传播，1个人会平均感染x个人，此时共有人；二轮传播，每人会平均感染x个人即，此时共有人，即．
【详解】解：设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，
则两轮感染后的总人数为：

故选：B．
变3
有10人患流感，经过两轮传染后共有1210人患流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？
【答案】10人；13310人
【分析】设平均一人传染了人，根据有10人患了流感，经过两轮传染后共有1210人患了流感，列出方程求解；根据前面所求数据，进而表示出经过三轮传染后患上流感的人数．
【详解】解：设平均一人传染了人，
根据题意得：，
化简得：，
解得：，（不符合题意舍去）
故每轮传染中平均一个人传染了10个人，
所以经过三轮后患上流感的人数为：
（人）；
经过三轮传染后共有13310个人患流感．
知识点二 树枝分叉问题

思考

现有一棵树干，若这棵树主干长出x个枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，则：
第一轮分叉，这棵树的枝干总数为__________；
第二轮分叉，这棵树的枝干总数为__________；
第三轮分叉，这棵树的枝干总数为__________.
【总结】树枝分叉问题与传播问题的区别是：___________________________.
题型二 树枝分叉问题

例1

某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共．若设主干长出x个支干，则可列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，若设主干长出x个支干，则根据主干、支干和小分支总数共，列出方程即可．
【详解】解：设主干长出x个支干，则x个支干长出个小分支，
根据题意，得，
故选：B．
例2

某种植物的一个主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是43，那么每个支干长出多少个小分支.
【答案】每个支干长出6个小分支
【分析】设每个支干长出x个小分支，利用主干、支干和小分支的总数是43列方程得到，整理得，再利用因式分解法解方程求出x，然后检验即可得到x的值．
【详解】解：设每个支干长出x个小分支，
根据题意得，
整理得，
解得，（舍去）．
∴每个支干长出6个小分支．
答：每个支干长出6个小分支．
变1
某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共133．若设主干长出x个支干，则可列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，若设主干长出x个支干，则根据主干、支干和小分支总数共133，列出方程即可．
【详解】解：设主干长出x个支干，则x个支干长出个小分支，
根据题意，得，
故选：B．
变2
某种植物的主干长出若干树木的支干，每个支干又长出同样树木的小分支，主干、支干、和小分支的总数是91，每个支干长出x个小分支，则x=______．
【答案】9
【分析】根据主干+支干数目+支干数目×支干数目=91，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：∵主干为1，每个支干长出x个小分支，每个支干又长出同样数目的小分支，
∴小分支的个数为：x×x=x2，
∴可列方程为：1+x+x2=91．
解得：x1=9，x2=-10（舍去）．
答：每个支干长出9个小分支．
故答案为：9．
例3

为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
【分析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有111个人参与了宣传活动，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：依题意，得：，
解得：，．
故选：．
例4

网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为______人．
【分析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有157个人参与了此活动，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故答案为：12．
变3
有一个人收到短信后，再用手机转发短消息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有133人收到短消息，问每轮转发中平均一个人转发给（ ）个人．
A．9
B．10
C．11
D．12
【分析】首先设每轮转发中平均一个人转发给个人，根据每人只转发一次可得第一次转发共有人收到了短信，第二次转发有人收到了短信，由题意可得方程人收到了短信，再解方程即可．
【解答】解：设每轮转发中平均一个人转发给个人，由题意得：
，
解得：，（不合题意舍去），
答：每轮转发中平均一个人转发给11个人．
故选：．
知识点三 握手问题

思考

现有x人，每两人握一次手，请问是否有重复？_____，故共握手_____次.（该问题是单循环还是双循环？_______）
现有x人两两之间互赠卡片，请问是否有重复？_____，故共赠卡片_____.（该问题是单循环还是双循环？_______）
【总结】握手问题的关键在于：_______________.
题型三 握手问题

例1

一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，则这次会议到会的人数是（ ）
A．11
B．12
C．22
D．33
【答案】B
【分析】可设参加会议有x人，每个人都与其他人握手，共握手次数为，根据一共握了66次手列出方程求解．
【详解】解：设参加会议有x人，依题意得，
，
整理，得，
解得，，(舍去)
则参加这次会议的有12人．
故选：B．
例2

为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛，则参赛的足球队个数为（　　）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【分析】设共有x个球队参赛，利用计划安排比赛的总场数=参赛队伍个数×（参赛队伍个数-1）÷2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设共有x个球队参赛，
根据题意得：
1
2
x（x-1）=28，
整理得：x2-x-56=0，
解得：x1=8，x2=-7（不符合题意，舍去），
∴共有8个球队参赛．
故选：C．
例3

新年某班每名学生向全班其他同学各送一份小礼品，全班共送1560份小礼品，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】如果全班有名同学，那么每名同学要送出份小礼品，那么总共送的份数应该是份，即可列出方程．
【详解】解：设全班有名同学，根据题意得：
，
故选：C．
变1
在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯105次，则参加酒会的人数有多少人．
【答案】参加酒会的人数有15人．
【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯105次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设参加酒会的人数为x人，
依题意，得：x（x-1）=105，
整理，得：x2-x-210=0，
解得：x1=15，x2=-14（不合题意，舍去）．
答：参加酒会的人数有15人．
变2
中国男子篮球职业联赛（简称：CBA），分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制（也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛）．2022-2023CBA常规赛共要赛240场，则参加比赛的队共有（ ）
A．80个
B．120个
C．15个
D．16个
【答案】D
【分析】根据参赛的每两个队之间都进行两场比赛，共要比赛240场，可列出方程．
【详解】解：设参加比赛的队共有x，
根据题意可得：，
解得：，（舍去），
故选：D．
变3
中秋节当天，九年级数学组的老师每两人相互送一个月饼，共送出72个月饼，九年级数学组老师的人数为（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
【答案】A
【分析】设老师共有人，则每人需要送出个月饼，根据共送出72个月饼，即可列出一元二次方程，解方程，得到正整数解即可．
【详解】解：设老师共有人，则每人需要送出个月饼，根据题意得

整理得
解得（不符合题意，舍去）
故选：A．
知识点四 平均变化率问题

思考

若2020年国内的GDP总量为a万亿，每年的增长率都是x，则：
2021年国内的GDP总量为_______________；
2022年国内的GDP总量为_______________；
2023年国内的GDP总量为_______________.
【总结】平均变化率问题的公式为：1.由a经过两次平均增长到b：_______________；
2.由a经过两次平均减少到b：_______________.
题型四 平局变化率问题

例1

党的十八大召开以后，“三公消费”得到有效遏制，在此背景下，一些白酒价格纷纷下调，某种白酒原价200元，经连续两次降价后售价下降了72元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】试题分析：易得第一次降价后的价格为：200×（1﹣x），那么第二次降价后的价格为：200×（1﹣x）×（1﹣x），那么相应的等量关系为：原价×（1﹣降低的百分率）2=第二次降价后的价格，把相关数值代入即可．
解：∵某种白酒原价200元，平均每次降价的百分率为x，
∴第一次降价后的价格为：200×（1﹣x），
∴第二次降价后的价格为：200×（1﹣x）×（1﹣x）=200×（1﹣x）2，
∴可列方程为：200（1﹣x）2=200﹣72．
故选B．
例2

某厂职工2020年的人均收入约为元，预计2022年的人均收入约为元，则人均收入的年平均增长率为（ ）
A．1%
B．1.21%
C．10%
D．12.1%
【答案】C
【分析】利用一元二次方程的应用中的增长率问题设元列方程求解即可．
【详解】设人均收入的年平均增长率为，
则
解得（其中舍去）
故增长率为10%，
故选C．
例3

“古越龙山”酿酒公司由于注重对市场调研和新产品的研发，新研制的某款瓶装酒获得市场的认可，今年四月份销售了50万瓶，按市场供需趋势预计今年二季度可销售182万瓶．设该款酒的销售量今年五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设该款酒的销售量今年五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的销售量，然后根据题意可得出方程．
【详解】解：依题意得五、六月份的销售量为50(1+x)、50(1+x)2，
∴50+50(1+x)+ 50(1+x)2=182．
故选：B．
变1
在“五美乡村”建设中，某村前年投入建设资金50万元，今年投入建设资金72万元，求该村投入建设资金的年平均增长率．设该村投入建设资金的年平均增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用前年投入建设资金今年投入建设资金列方程即可．
【详解】解：设该村投入建设资金的年平均增长率为，
根据题意，得，
故选：B．
变2
某制药厂生产的某种针剂，每支成本3元，由于连续两次降低成本，现在的成本是2.43元，则平均每次降低成本的百分率是（　　）
A．10%
B．20%
C．7%
D．8%
【答案】A
【分析】设平均每次降低成本的百分率为，则由题意得，，计算满足要求的的值即可．
【详解】解：设平均每次降低成本的百分率为，
则由题意得，，
解得，或（不合题意，舍去），
∵，
∴平均每次降低成本的百分率为，
故选：A．
变3
随着疫情影响消退和消费回暖，2023年电影市场向好．某电影上映的第一天票房约为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设平均每天票房的增长率为，根据平均增长率的意义列式求和计算即可．
【详解】设平均每天票房的增长率为，则根据题意，得
．
故选D．
例4

数字化阅读凭借其独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径．近年来，我国数字阅读用户规模持续增长，据统计年我国数字阅读用户规模达4.94亿人，年约为5.9774亿人．
（1）求年到年我国数字阅读用户规模的年平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计年我国数字阅读用户规模能否达到6.5亿人．
【答案】(1)2020年到2022年我国数字阅读用户规模的年平均增长率为．
(2)预计2023年我国数字阅读用户规模能达到亿人．

【分析】（1）设2020年到2022年我国数字阅读用户规模的年平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；
（2）根据增长率计算出2023年我国数字阅读用户规模，即可得出结论．
【详解】（1）解：设2020年到2022年我国数字阅读用户规模的年平均增长率为，根据题意得
，          
解得  （不合题意，舍去）        
答：2020年到2022年我国数字阅读用户规模的年平均增长率为．
（2），
答：预计2023年我国数字阅读用户规模能达到亿人．
变4
“杂交水稻之父”袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量800公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1352公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1750公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
【答案】(1)
(2)能，第四阶段水稻亩产量为公斤．

【分析】（1）设亩产量的平均增长率为，根据等量关系：第三阶段水稻亩产量第一阶段水稻亩产量（1+增长率），即可得出方程，进行解答．
（2）利用求出的增长率，计算第四阶段水稻亩产量，进行对比即可解答．
【详解】（1）解：设水稻亩产量的平均增长率为，
根据题意得：，
解得：（舍去），，
水稻亩产量的平均增长率为．
答：水稻亩产量的平均增长率为．
（2）解：（公斤），
，
他们的目标能实现．
例5

铝加工是巩义经济的支柱产业之一，巩义某铝板厂通过技术改造升级，使铝板生产规模不断扩大．该厂7月份生产铝板1.92万吨，9月份生产铝板3万吨．
（1）求8，9月份产量的平均增长率；
（2）若9月份每吨铝板的利润为2000元，10月份每吨铝板的利润比9月增加，10月份铝板产量比上月增加，则10月份铝板项目月利润达到7920万元．求的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）设8，9月份产量的平均增长率为，根据9月份生产铝板3万吨得：，解方程并检验可得答案；
（2）由已知列方程，解方程即可解得答案．
【详解】（1）解：设8，9月份产量的平均增长率为，
根据题意得：，
解得或（舍去），
答：，9月份产量的平均增长率为；
（2）解：由已知得，
解得：或（舍去），
答：的值为10．
变5
某图书店在2022年国庆节期间举行促销活动，某课外阅读书进货价为每本8元，标价为每本15元.
（1）该图书店举行了国庆大回馈活动，连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每本9.6元的价格售出，求图书店每次降价的百分率；
（2）在九月底该书店老板去进货该书500本，按照（1）两次降价后的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了，进货量比九月底增加，以标价的八折全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求的值.
【答案】(1)
(2)