概率论与随机过程课件 3.4.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,3.4,两个随机变量函数的分布,引言,问题的一般提法为,:(X,1,Xn),为,n,维随机变量,Y,1,Ym,都是,X,1,Xn,的函数,y,i,=g,i,(,x,1,x,2,x,n,),i,=1,2,m,；要求,(Y,1,Ym),的概率分布,.,设,(X,Y),为二维随机变量,讨论,(1)X,Y,的一个函数,Z=g(X,Y),的分布,(X,Y),经变换后为一维随机变量,),(2),简单地介绍二维向量,(X,Y),到二维向量,(Z,1,Z,2,)(,z,i,=g,i,(,x,y,),i,=1,2),变换问题。,3.4.1,二维离散型随机变量函数的分布,我们可以从下面两个例子中总结出一般的方法。,例,1:,设,(X,Y),的分布律为,X,Y,0 1 2 3 4 5,0 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.091 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.082 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.063 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05,求,(1)V=Max(X,Y),；,(2)U=Min(X,Y),；,(3)W=X+Y,的分布律。,解,:(1)V=Max(X,Y),可能取值为：,0,，,1,，,2,，,3,，,4,，,5,。,V 0 1 2 3 4 5P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28,PV=0=PX=0,Y=0=0,；,PV=1=PX=0,Y=1+PX=1,Y=0+PX=1,Y=1 =0.01+0.01+0.02=0.04,；,同理，可求出其它取值的概率。,所以,V,的分布律为,X,Y,0 1 2 3 4 5,0 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.091 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.082 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.063 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05,V=0,V=1,V=2,V=3,V=4,V=5,(2)U=Min(X,Y),的可能取值为：,0,，,1,，,2,，,3,PU=,i,=PX=,i,Y,i,+PX,i,Y=,i,i,=0,1,2,3.,U,的分布律为,V 0 1 2 3P 0.28 0.30 0.25 0.17,X,Y,0 1 2 3 4 5,0 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.091 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.082 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.063 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05,U=0,U=1,U=2,U=3,(3)W=X+Y,的可能取值为：,0,1,2,3,4,5,6,7,8.,W,的分布律为,W 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05,X,Y,0 1 2 3 4 5,0 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.091 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.082 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.063 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05,W=0,W=1,W=2,W=3,W=4,W=5,W=6,W=7,W=8,例,2:,设,X,和,Y,独立,分别服从二项分布,b,(,n,1,p,),和,b,(,n,2,p,)(,注意两个二项分布中,p,是一样的,),求,Z=X+Y,的分布律,.,解,:Z,的可能取值为,0,1,n,1,+,n,2,，固定,k,于上述范围内,由独立性有,可见，,Z,b,(,n,1,+,n,2,p,),.,这个结果很容易推广至多个的情形,:,若,X,i,b(,n,i,p,),i,=1,2,m,且,X,1,Xm,独立,则,X,1,+X,2,+,+Xm,b,(,n,1,+,n,2,+,+,n,m,p,),。,直观上，按二项分布的定义,若,X,i,b,(,n,i,p,),则,X,i,表示,n,i,次独立重复试验中事件,A,出现的次数,而且每次试验中,A,出现的概率均为,p,i,=1,2,m,而,X,1,Xm,独立,可知,Y=X,1,+X,2,+,+Xm,是,n,1,+,n,2,+,+,n,m,次独立试验中,A,出现的次数,而且每次试验中,A,出现的概率保持,p,故可得,Y,b,(,n,1,+,n,2,+,+,n,m,p,),。,解：依题意,例,3,若,X,和,Y,相互独立,它们分别服从参数为,的泊松分布,证明,Z,=,X,+,Y,服从参数为,的泊松分布,.,由公式,i,=0,1,2,j,=0,1,2,即,Z,服从参数为 的泊松分布,.,r,=0,1,，,3.4.2,二维连续型随机变量函数的分布,问题：,设,(X,Y),为连续型随机向量,具有概率密度,f,(,x,y,),又,Z=g(X,Y),为,X,与,Y,的函数,若,Z,是连续型随机变量,要求,Z,的概率密度。,一般的方法是先求出,Z,的分布函数,F,z,(,z,),然后由,F,Z,(,z,),求出,Z,的概率密度,f,Z,(,z,).,例,:,设,(X,Y),的概率密度为,x,+,y,0,时,1,Z=X+Y,的分布：,设,(X,Y),的概率密度为,f,(,x,y,),则,Z=X+Y,的分布函数为,积分区域如图,化成累次积分,得,固定,z,和,y,对上式内层积分作变量变换,令,x,=,u,-,y,得,x,=,z,-,y,x,y,于是,(*),由概率密度的定义,即得,Z,的概率密度为,由,x,y,的对称性,f,Z,(,z,),又可写成,:,上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式,.,特别地,当,X,和,Y,相互独立时,设,(X,Y),关于,X,Y,的边缘概率密度分别为,f,x,(,x,),f,Y,(,y,),则两式分别为,这两个公式称为卷积公式,记为,f,x,*,f,Y,即,例,1:,设,X,和,Y,是两个相互独立的随机变量,它们都服从,N(0,，,1),分布,即有,求,Z=X+Y,的概率密度。,解,:,由公式,令,t,=,x,-(,z,/2),，得,即,Z,服从,N(0,，,2),分布,.,一般地,设,X,Y,相互独立且,X,N(,1,，,1,2,),，,Y,N(,2,，,2,2,),经过计算知,Z=X+Y,仍然服从正态分布,且有,Z,N(,1,+,2,，,1,2,+,2,2,).,这个结论可推广到,n,个独立正态随机变量之和的情况,即若,X,i,N(,i,i,2,),(,i,=1,2,n),且它们相互独立,则它们的和,Z=X,1,+X,2,+,+Xn,仍然服从正态分布,且有,Z,N(,1,+,2,+,+n,，,1,2,+,2,2,+,.+,n,2,).,例,2:,在一简单电路中,两电阻,R,1,R,2,相互独立,它们的概率密度均为,试求总电阻,R=R,1,+R,2,的概率密度。,解,:,由公式，,R,的概率密度为,易知仅当 亦即 时上述积分的被积函数不等于零,即得,x,=,z,x,=,z,-10,x,10,0 10 20,z,将,f(x),的表达式代入上式得,2,M=max(X,Y)N=min(X,Y),的分布,设,X,Y,是两个,相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为,Fx(,x,),和,F,Y,(,y,).,现在来求,M=max(X,Y),及,N=min(X,Y),的分布函数,.,由于,M=max(X,Y),不大于,z,等价于,X,和,Y,都不大于,z,故有,PM,z,=PX,z,Y,z,又由于,X,和,Y,相互独立,得到,M=max(X,Y),的分布函数为,类似地,可得,N=min(X,Y),的分布函数为,以上结果容易推广到,n,个相互独立的随机变量的情况,设,X,1,X,2,Xn,是,n,个相互独立的随机变量,.,它们的分布函数分别为,i=1,2,n,则,M=Max(X,1,X,2,X,n,),及,N=Min(X,1,X,2,X,n,),的分布函数分别为,特别,当,X,1,X,2,Xn,相互独立且具有相同分布函数,F(x),时,有,F,max,(,z,)=,F,(,z,),n,F,max,(,z,)=1-1-,F,(,z,),n,.,例,:,设系统,L,由两个相互独立的子系统,L,1,L,2,联接而成,联接的方式分别为,(i),串联,(ii),并联,(iii),备用,(,当系统,L,1,损坏时,系统,L,2,开始工作,),设,L,1,L,2,的寿命分别为,X,Y,已知它们的概率密度分别为,其中,0,0,且,，试分别就以上三种联接方式写出,L,的寿命,Z,的概率密度,.,解,:(i),串联的情况,由于当,L,1,L,2,中有一个损坏时,系统,L,就停止工作,所以这时,L,的寿命为,Z=min(X,Y),。由指数分布,X,Y,的分布函数分别为,由公式得,Z=min(X,Y),的分布函数为,于是,Z=min(X,Y),的概率密度为,(ii),并联的情况,由于当且仅当,L,1,L,2,都损坏时,系统,L,才停止工作,所以这时,L,的寿命,Z,为,Z=max(X,Y),按公式得,Z=max(X,Y),的分布函数,于是,Z=max(X,Y),的概率密度为,(iii),备用的情况,.,由于这时当系统,L,1,损坏时系统,L,2,才开始工作,因此整个系统,L,的寿命,Z,是,L,1,L,2,两者寿命之和,即,:Z=X+Y.,按公式,当,z,0,时，,Z=X+Y,的概率密度为,当,z,0,时,f,(,z,)=0,于是,Z=X+Y,的概率密度为,下面我们再举一例，说明当,X,1,X,2,为离散型,r.v,时，如何求,Y=,max(,X,1,X,2,),的分布,.,解一,:,P,(,Y,=,n,)=,P,(max(,X,1,X,2,)=,n,),=,P,(,X,1,=,n,X,2,n,)+,P,(,X,2,=,n,X,1,0,y,0,显然有,P(X,Y)A=1,对变换,():,当,(,x,y,)A,时,(,u,v,),的值域为,:G=(,u,v,)|,u,0,v,0,且此变换满足定理中的条件,(i)(ii)(iii),变换,(),解得,所以,由定理得,(U,V),的联合密度为,(2),可由,(U,V),的联合密度求出,U,V,的概率密度,f,U,(,u,),f,V,(,v,),(3),容易看出,对于任意,u,v,有,所以,U,V,相互独立,.,例,2:,设,X,Y,相互独立,服从同一分布,N(0,1),而,(R,),是平面上随机点,(X,Y),相应的极经,极角,即有关系,求,(R,),的联合密度,.,解,:,记,A=(,x,y,)|(,x,y,)0,G=(,r,)|,r,0,02,显然有,P(X,Y)A=1,且变换 满足定理,的条件,并且,由定理得,(R,),的联合密度为,顺便我们看出,R,的概率密度分别为,并且,R,与,是相互独立的。,注释,在求,Z=g(X,Y),的概率密度时,可以再找一个,X,与,Y,的函数,W=h(X,Y),使得对变换 满足定理的条件,利用定理的结论就可以求出（,Z,W,）的联合密度，再由联合密度便可求出,Z,的概率密度。,可以用此方法导出,X+Y,，,X/Y,，,XY,，,X-Y,等简单函数的概率密度的一般公式。要求是重点掌握在独立性条件下求几个简单函数,X+Y,，,Min(X,Y),，,Max(X,Y),的分布。,小结 本章以二维随机变量为主，讨论了多维随机变量的,(1),联合分布,(2),边缘分布,(3)X,Y,的独立性,(4),条件分布,(5),二维随机变量函数的分布。,对于多维随机变量不难推广，请同学自学,关于正态分布的一些结论：,1,若,X,N(,2,),，则,2,若,X,N(,2,),，则,3,若,X,i,服从二维正态分布,N(,i,i,2,),X,i,相互独立，,i=1,2,n.,则,4,(X,Y),服从二维正态分布，,=0,X,与,Y,相互独立（,X,与,Y,不相关）；,5,(X,Y),服从二维正态分布,X,Y,也服从正态分布；,(X,Y),服从二维正态分布,其条件分布也是正态分布,;,6,若,X,Y,为正态同分布且相互独立,服从瑞利分布；,若,X,Y,为正态同分布且相互独立,Z=X/Y,服从柯西分布；,7,数字特征：见下章。,