§14.12-双曲线的生成及主要参数.doc

[课 题]§14．12 双曲线的生成及主要参数
[预备知识]
轨迹的概念
[重 点]
圆锥曲线的生成及定义
[难 点]
双曲线和抛物线定义的思想方法
焦点、离心率及渐近线的概念
[教学目标]
了解圆锥曲线的生成方法
掌握圆锥曲线的几何定义
了解圆锥曲线的各主要参数的含义
掌握圆锥曲线参数之间的换算关系，并能由参数判断圆锥曲线的形状
[教学过程]
⒉ 双曲线的生成及主要参数
(1)双曲线的生成
类似于椭圆的生成方法，人们也考虑到两个定点距离之差为一正常数的动点的轨迹是怎样的．同样，我们可以先以实验方式描出它．取两根细绳，一端分别固定在定点F1，F2处，另一端穿过一个能紧箍细绳的扣子，拉紧F1、F2之间的细绳，用一支铅笔紧贴扣子，设此时的铅笔尖位于点P处(如图14-4(1))．在张紧PF1、PF2的前提下逐渐放长PF2、PF1，两条细绳每次放长相同的长度，于是笔尖P在移动过程中保持到两个定点的距离差不变，因此铅笔尖在纸面会画出一条曲线，它就是所求的轨迹(如图14-4(2))．
O
F1
图14-4(2)
F2
P
·
·
A1
A
F1
图14-4(1)
F2
P
·
·

注意：笔尖可以向上移动，也可以向下移动，因此在F1、F2连线的上、下两侧都有轨迹．如果图14-4(1)中笔尖P的初始位置偏在定点F1一侧P1处，且P1F2- P1F1=PF1-PF2，按同样方法，还可以得到图14-4(2)上左半支轨迹．因此所求的轨迹实际上有左右两支．
O
F1
图14-5
F2
·
·
A1
A
2c
2a
到两个定点距离之差的绝对值为一常数的动点的轨迹，即图14-4(2)所示的两支曲线叫做双曲线．
(2)双曲线的主要参数
为了具体描述双曲线的形状，标记两个定点间连线F1F2与双曲线的交点为A、A1，线段F1F2的中点为O (见图14-5)．记
OA=a， OF2=c．
A，A1叫做顶点；定点F1，F2叫做焦点；线段AA1（长2a）叫做实轴，a叫做实半轴长； F1F2的中垂线叫做虚轴；F1F2长2c叫做焦距，c叫做半焦距．从生成方法可知，任何双曲线的焦距必定大于长轴，即a<c．
双曲线是无界曲线，以实轴和虚轴为两条对称轴，以O为对称中心，把O叫做双曲线的中心．
据双曲线生成法则，有
A F1-A F2=A1 F2-A1 F1=2a，
可见，动点到两个定点的距离之差等于双曲线的实轴长．与椭圆类似，把比值
考虑一下极端情况,如果a=c,即半焦距与实半轴长相等,轨迹会变成怎样？
e=， (e>1) (14-1-3)
叫做双曲线的离心率．如同椭圆的离心率能表征椭圆的“扁”、“圆”程度一样，双曲线的离心率能表征它张口的“大”、“小”．如图14-6(1)，相同的a，当c越大(即e越大)，得到的双曲线的张口也较“大”，反之则张口越“小”．
通过作轨迹图来判断张口大小是很不方便的，为此我们以如下公式引进双曲线的另一个正参数b：
b2=c2-a2， 即b=或c2=a2+b2或c= (14-1-4)
其中，b叫做虚半轴长，而2b叫做虚轴长．
作一个如图14-6(2)(3)那样的定界矩形，它以O为中心，边长为2a、2b，两条边平行于F1F2，另两条边分别过顶点A、A1．再作该定界矩形的两条对角线，立即可见，双曲线不但在对角线之间、与实轴相交，且当它无限延伸时，越来越靠近这两条对角线(见图14-6(2)，(3))，因此把定界矩形的对角线叫做双曲线的渐近线．这样，我们根据双曲线的主要参数a，c，e，b，即使不画轨迹，也可以利用顶点、焦点位置、定界矩形及渐近线，作出双曲线的大致图像．
A1
O
F1
图14-6(1)
F2
2a
·
·
A1
A
·
·
F1
F2
2c
2c
F1
图4-6(2)
F2
·
·
A
·
·
F1
F2
O
F1
图4-6(3)
F2
·
·
A1
A
·
·
F1
F2
O
2a
2c
2c
2a
2b
2b

课内练习2
⒈ 求下列双曲线的离心率，焦距，并说明哪一支双曲线的张口“大”一些：
⑴ 到相距为10 的两个定点的距离之差为6的点的轨迹；
⑵ 到相距为10 的两个定点的距离之差为8的点的轨迹；
⒉　已知双曲线的离心率为，实轴长是6，求虚轴和焦距的长；
⒊　已知双曲线的焦距是8，虚轴长是6，求虚轴长和离心率．