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仿射变换在初等几何解题中的应用
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摘 要：仿射变换，即平行投影变换，是几何学中的一个重要变换，是从运动变换过渡到射影变换的桥梁.本文将从仿射变换的有关概念入手，了解仿射几何所研究的几何通过仿射变换的不变性质和不变的数量关系以及经过变形后的形状和位置关系，并讨论仿射变换在初等几何中的一些应用.
关键词：仿射变换；仿射不变性；初等几何
Abstract: Affine transformation, namely parallel projection, is an important transformation in geometry. It is the bridge from the motion converting to the projective transformation. This article will start with the concept of affine transform, to understand the geometry of affine geometry research by affine transformation invariant properties and constant relationship between the number after the deformed shape and positional relationship, and discussed some applications of affine transformation in elementary geometry.
Key words：affine transformation；affine invariance；elementary geometry

1 仿射变换的基本概念及相关性质

1.1 仿射变换的概念
定义1.1[1] 设同一平面内有条直线，，，…， ，，，…顺次表示到，到，到的透视仿射，经过这一串平行射影，使上的点与上的点建立了一一对应，称为到的仿射或仿射变换如图1-1.
=，称为，，，… 按这个顺序的乘积.
= = =…=， =等

图1-1
定义1.2 设，，为共线三点，这三点的简比定义为下述有向线段的比：

其中，是有向线段，的代数长，，叫基点，叫分点.
当在，之间时，<0；
当不在，之间时，>0；
当与重合时，=0；
当与重合时，不存在.
1.2 仿射变换的性质
（1）仿射变换保持同素性：即仿射变换将点变成点，直线变成直线；
（2）仿射变换保持结合性：即仿射变换保持点与直线的结合关系；
（3）仿射变换将向量变成向量，且保持向量的线性关系.
定理1 两条平行直线经仿射变换后仍变为两条平行直线.
推论1 两条相交直线经仿射变换后仍变成两相交直线.
推论2 共点的直线经仿射变换后仍变为共点直线.
定理2 两条平行线段之比是仿射不变量.
推论 一直线上两线段之比是仿射不变量.
定理3 两封闭图形（如三角形、平行四边形、椭圆等）面积之比是仿射不变量.

2 仿射变换与初等几何的相关联系

从总体上看,高等几何对初等几何具有多方面的指导意义.在此,笔者择要阐述两种,以此说明高等几何对初等几何普遍指导意义[2].
一是学习高等几何能深化对初等几何的认识和理解.几何学是一种研究在相应的变换群下图形保持不变的质和量的科学,射影群、仿射群、正交群所对应的是射影几何、仿射几何、欧氏几何,根据普遍性包含于特殊性的原理可知,射影几何包含于仿射几何包含于欧氏几何,这其中,射影几何内容最少,欧氏几何内容最丰富.不同的几何课程在内容上的侧重点不同,解析几何主要研究图形的性质,将空间几何结构代数化是其本质特征;欧氏几何主要研究整个空间的几何结构,它利用图形的直观形象启发人类的想象思维,从而促使人们不断探索发现图形间的关系与性质；高等几何尤其是其中的射影几何则包含、融合了上述两者的内容.也就是说,学习高等几何能使我们站得更高一些,看得更远一些,能进一步认清几种几何学间的关系,进一步开阔几何学的视野,从而更好地理解和把握初等几何的本质和精髓.
二是学习高等几何能有效扩充初等几何的研究方法.从实用主义的角度看,数学与应用数学专业的学生或中学数学教师学好高等几何,一方面可扩展几何学的认知范畴,在更高的水准上搞好教学工作,另一方面可用高等几何的理念和观点来指导和反思初等几何的教学内容与研究方法,从而不断改进初等几何的教学方式,优化其研究手段和教学模式,切实提高中学几何的教学质量.

3 仿射变换在初等几何解题中的应用

根据仿射变换的性质可知，通过特殊仿射变换可将某些一般图形变为特殊图形，如可将任何三角形变成正三角形，平行四边形变为正方形或长方形，梯形变为等腰梯形或直角梯形.因此，对于一个仅涉及仿射性质的初等几何命题，如果能证明它在特殊图形中成立，则在仿射变换下，这个命题对于相应地一般图形也应成立.
利用仿射变换可以解决许多初等几何问题，下面给出它在以下几个方面的应用.
3.1 平行投影
平行投影是仿射变换中最基本、最简单的一类.因此平行投影变换具有仿射变换中的一切性质.解这类题的关键是选定平行投影方向，应用平行线段之比是仿射不变量.
例3.1 是内任一点，连结、、并延长分别交对边于、、.求证：.

图 3-1
证明 如图3-1，分别沿 和方向作平行投影.→、→由仿射变换保简单比不变得 ：，所以，
同理 ，，
所以.
例3.2 一直线截三角形的边或其延长线,所得的顶点到分点和分点到顶点的有向线段的比的乘积等于﹣1，其逆也真.（梅涅劳斯定理 ）[3]
分析 如图3-2，本题要求证明当、、三点共线时，。其逆命题亦成立.

（1） （2）
图 3-2
证明 （1）证明梅涅劳斯定理成立
由于要证明的三条线段分别处在三条直线上，不便于问题的证明，为此应用平行投影将其集中到一条直线上，自然采用原三角形的一边最简便.
如图3-2 (1)，以为投影方向，将 、、点平行投影到直线上的、、点，则.即原命题成立.
（2）证明逆命题成立，即：
当、、上三点、、满足时，则、、三点共线.
设直线交于，如图3-2 (2) ,由已知条件知，，
所以与重合，故、、三点共线.
3.2 三角形的仿射等价性
任一三角形可以经过平行投影变成正三角形.因此，如果我们要证明一个有关三角形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明命题对正三角形成立，便可断言命题对任意三角形也成立.而正三角形是最特殊的三角形，它有很多特殊的性质可以利用，证明起来要容易得多.
例3.3 在的中线上任取一点，连接、，并延长交于，延长交于，求证：∥.

图 3-3
证明 如图3-3，作仿射变换T，使得对应正，由仿射性质可知，点、、、相应地对应、、、，且为正的中线。
在正中也是边上的高，且、、与、、关于对称，、到的距离相等，则∥，
由于平行性是仿射不变性，因此，在中∥.
3.3 四边形仿射性质的应用
3.3.1 证明有关平行四边形仿射性质的实例
任一平行四边形均可以经过特殊平行投影变成正方形，因此，若想证明一个有关平行四边形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明相应命题对正方形成立即可.
例3.4 平行四边形的一组邻边上有点，两个点，且∥.求证：和面积相等[4].

图 3-4
证明 作仿射变换，使平行四边形对应正方形，则有对应，对应，如图3-4，
在正方形中，由∥，故，
因为，所以，故，
因，所以，
又由于两个多边形面积之比为仿射不变量，故有，
所以.
例3.5 已知在平行四边形中，为的中点，在上，，交于，求证：.

图 3-5
证明 如图3-5，作仿射变换，使得，平行四边形对应正方形，则由仿射性质可知，点、、分别对应、、，且是的中点，.
在正方形中，取的中点，过、、作的平行线，分别交于点、、.由平面几何知识易证，，
由于简比是仿射不变量，所以在平行四边形中，.
3.3.2 证明有关梯形仿射性质的实例
任一梯形均可以经过平行投影变成等腰梯形，若想证明一个有关梯形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明相应命题对等腰梯形成立即可.
例3.6 在梯形中，，，分别为上、下底边的中点.、交于，、交于，证明：共线[5].
分析 此题为点共线的问题，考虑梯形的上底和下底平行，考虑是否能由特殊的等腰梯形来转化，进一步考虑是否能在一个等腰三角形中截取？
证明 任作一个等腰三角形，因为任意两个三角形是仿射等价的，所以一定存在唯一的一个仿射变换T，使T(△)=△，其中→，→，→，在上取一点，使()=().过作与交于.

图 3-6
连、，容易证明，在等腰梯形中，两底中点，两对角线交点，两腰交点，这四点共线，即共线.
根据以上作法，仿射变换保同素性和结合性。所以，→.又因为()=()所以→.所以由共线可知共线.
类似的，我们可以得到另一个结论：
若四边形两组对边的交点的连线与四边形的一条对角线平行，那么，另一条对角线的延长线平分上述的连线.
3.4 仿射变换在椭圆中的应用
圆和椭圆都是初等几何中常见的图形，圆比椭圆更特殊，它有很多很好的性质，与圆有关的定理举不胜举，但椭圆则不然，因其本身的定义要比圆复杂，椭圆的性质和定理就很少，解决一个与椭圆有关的问题要比解决一个与圆有关的相应的问题困难得多.在初等几何中，有很多有关椭圆的问题，只能通过解析几何的方法来解决，这就给我们解题带来了不少麻烦.因此，我们自然期望有一种方法，使得处理有关椭圆的问题和处理有关圆问题一样容易，而由仿射变换性质可知，椭圆通过适当的仿射变换可变成圆.
例3.7 证明椭圆的外切三角形的顶点与对边上的切点连线交于一点.
分析 此题是关于线共点的问题，由于椭圆的一般性以及三角形的一般性，用初等几何比较难入手，但可以用仿射几何的方法进行转化，变成特殊的圆以及正三角形来加以研究[6].

图 3-7
证明 由于容易证到一个正三角形，其内切圆在对边上的切点与顶点连线交于一点，可以用仿射变换方法.因对于△与△存在唯一的一个仿射变换，使→，→，→(如图3-7).
由于仿射变换保持结合性不变，△ABC的内切圆与各边切点分别为，，由于仿射变换是一一变换，切点仍应变为切点.所以→，→，→，→.所以由共点，可知，，共点.
例3.8 求椭圆的面积.
分析 椭圆是一个二次曲线，用初等几何和微积分的知识进行推导比较烦琐.考虑到圆经过仿射变换对应一个椭圆，所以椭圆也可以通过一个适当的仿射变换对应成一个圆[7].
解 在直角坐标系下，椭圆

经过仿射变换

于是，椭圆的对应图形为圆

如图3-8，椭圆内的三角形△： (0，0)， (，0),(0，)，经过以上的仿射变换，△的对应图形△，其中与重合， ( 0，)，由于两个封闭图形的面积之比为仿射不变量，

∴
即

因此，所给的椭圆的面积为. 图 3-8
4 利用仿射不变性解初等几何问题的步骤

以上内容是对仿射变换在初等几何应用的简单总结，有些题不仅仅只有一种或两种做法，也许还有很多其他的做法，但是应用仿射变换解决起来更简捷、方便[8].从例题中我们可以总结得出应用仿射变换中的仿射不变性质与仿射不变量解题的步骤可概括如下：
①判断求解的问题是否能利用仿射不变性质,仿射不变量求解，一般及到点共直线，直线共点，线段比，面积比等一类问题皆可应用仿射变换解题.
②选择合适的仿射变换，找出所给图形的合适的仿射图形.
③在仿射图形中求证，写出具体的仿射变换及解题过程.
④最后我们需要注意的是，所考虑的问题都必须是仿射性质的问题，否则这种方法就不适用了.如有关线段长度，直线垂直，直线夹角大小的问题属于非仿射性质，自然就不能使用平行投影的方法解决.

参考文献：
（略）
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