立体几何解答题专题训练1答案12.doc

立体几何解答题专题训练

1、(江西省鹰潭市高三第一次模拟)已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰为的中点,又知.
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求到平面的距离；
(Ⅲ)求二面角的大小.
解法：(Ⅰ)∵平面,∴平面平面,

又,∴平面, 得,又,
∴平面.…………………4分
(Ⅱ)∵,四边形为菱形,故,
又为中点,知∴.取中点,则
平面,从而面面,…………6分
过作于,则面,在中,,故,即到平面的距离为.…………………8分
(Ⅲ)过作于,连,则,从而为二面角的平面角,在中,,∴,…………10分
在中,,故二面角的大小为.
…………………12分

解法：(Ⅰ)如图,取的中点,则,∵,∴,
又平面,以为轴建立空间坐标系, …………1分
则,,,,,,
,,由,知,
又,从而平面.…………………4分
(Ⅱ)由,得.设平面的法向量
为,,,,
设,则.…………6分
∴点到平面的距离.…………………8分
(Ⅲ)设面的法向量为,,,
∴.…………10分
设,则,故,根据法向量的方向
可知二面角的大小为.…………………12分
2、(山东省济南市高三统考)如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．
（1）证明：EF∥面PAD；
（2）证明：面PDC⊥面PAD；
（3）求锐二面角B—PD—C的余弦值．
解：（1）如图，连接AC，
∵ABCD为矩形且F是BD的中点，
∴AC必经过F 1分
又E是PC的中点，
所以，EF∥AP 2分
∵EF在面PAD外，PA在面内，
∴EF∥面PAD 4分
（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，
又AP面PAD，∴AP⊥CD 6分
又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，AP⊥面PCD 7分
又AD面PAD，所以，面PDC⊥面PAD 8分
（3）由P作PO⊥AD于O，以OA为x轴，以OF为y轴，以OP为z轴，则
A（1，0，0），P（0，0，1） 9分
由（2）知是面PCD的法向量，B（1，1，0），D（一1，0，0），
， 10分
设面BPD的法向量，
由得 取，则，
向量和的夹角的余弦 11分
所以，锐二面角B—PD—C的余弦值 12分
3、
(山东省郓城一中期末考试)如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F
为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B—AC—E的余弦值；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.
（Ⅳ）求证：平面BDF⊥平面ABCD
解法一：（Ⅰ）平面ACE.
∵二面角D—AB—E为直二面角，且， 平面ABE.

（Ⅱ）连结BD交AC于C，连结FG，
∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥AC，BG=，
平面ACE，
（Ⅲ）过点E作交AB于点O. OE=1.
∵二面角D—AB—E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.
设D到平面ACE的距离为h，

平面BCE，

∴点D到平面ACE的距离为
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直
线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行
于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系
O—xyz，如图.
面BCE，BE面BCE， ，
在的中点，

设平面AEC的一个法向量为，
则解得
令得是平面AEC的一个法向量.
又平面BAC的一个法向量为，
∴二面角B—AC—E的大小为
（III）∵AD//z轴，AD=2，∴，
∴点D到平面ACE的距离
4、(上海市部分重点中学高三第二次联考)在长方体中（如图），==1，，点E是AB上的动点
(1)若直线，请你确定点的位置，并求出此时异面直线与所成的角
(2) 在（1）的条件下求二面角的大小
[解]解法1：由DE与CE垂直-----1分
设AE=x,在直角三角形DEC中求得-----2分
所以点是AB的中点--------------3分
取CD的中点Q，则AQ平行与EC，所以是所求的角------4分
求解得=-------------5分
异面直线与EC所成的角为-------6分
解法2：利用向量法
分别以DA，DC，D所在的直线为X轴建立坐标系---------------------------------1分
设AE=x， 根据直线-----2分
所以点是AB的中点--------------3分
写出A（1，0，0） E（1，1，0 ） C （0，2，0） （0，0，1）---------4分

设的夹角为 cos=----------------5分
异面直线与所成的角为-----------6分
（2）解法1：由DE与CE垂直，
所以是所求的平面角---8分
-------11分
二面角是--------12分
解法2：利用向量法求得二面角是
E
O1
O
D1
C1
B1
D
C
B
A
A1
5、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)如图，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，E是O1A的中点.
（1）求二面角O1－BC－D的大小；
（2）求点E到平面O1BC的距离.
解法一:
（1）过O作OF⊥BC于F，连接O1F，

∵OO1⊥面AC，∴BC⊥O1F，
∴∠O1FO是二面角O1－BC－D的平面角，………………3分
∵OB=2，∠OBF=60°，∴OF=.
在Rt△O1OF在，tan∠O1FO=
∴∠O1FO=60° 即二面角O1—BC—D为60°………………6分
（2）在△O1AC中，OE是△O1AC的中位线，∴OE∥O1C
∴OE∥O1BC，∵BC⊥面O1OF，∴面O1BC⊥面O1OF，交线O1F.
过O作OH⊥O1F于H，则OH是点O到面O1BC的距离，………………10分

∴OH=∴点E到面O1BC的距离等于………………12分
解法二：（1）∵OO1⊥平面AC，
∴OO1⊥OA，OO1⊥OB，又OA⊥OB，………………2分
建立如图所示的空间直角坐标系（如图）
∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形，
∴OA=2，OB=2，
则A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），O1（0，0，3）………………3分
设平面O1BC的法向量为=（x，y，z），
则⊥，⊥，
∴，则z=2，则x=－，y=3，
∴=（－，3，2），而平面AC的法向量=（0，0，3）………………5分
∴cos<，>=，
设O1－BC－D的平面角为α， ∴cosα=∴α=60°.
故二面角O1－BC－D为60°. ………………6分
（2）设点E到平面O1BC的距离为d，
∵E是O1A的中点，∴=（－，0，），………………9分
则d=∴点E到面O1BC的距离等于。……………12分
S
A
B
C
6、(江苏省启东中学高三综合测试一)如图在三棱锥S中，，，，。
（1）证明。
（2）求侧面与底面所成二面角的大小。
（3）求异面直线SC与AB所成角的大小。
解：（1）∵∠SAB=∠SCA=900

（2）

（3）

7、已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知。
（I）求证：平面；
（II）求到平面的距离；
（III）求二面角的大小。
解：（I）因为平面，
所以平面平面，
又，所以平面，
得，又
所以平面；……………4分
（II）因为，所以四边形为
菱形，
故，又为中点，知。
取中点，则平面，从而面面，
过作于，则面，
在中，，故，
即到平面的距离为。
（III）过作于，连，则，
从而为二面角的平面角，
在中，，所以，
在中，，
故二面角的大小为。……………12分

解法2：（I）如图，取的中点，则，因为，
所以，又平面，
以为轴建立空间坐标系，
则，，，
，，
，，
，由，知，
又，从而平面；……………4分
（II）由，得。
设平面的法向量为，，，所以
，设，则
所以点到平面的距离。……………8分
（III）再设平面的法向量为，，，
所以
，设，则，
故，根据法向量的方向，
可知二面角的大小为。
8、(四川省成都市一诊)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝2，E为PA的中点，过E作平行于底面的平面EFGH，分别与另外三条侧棱相交于点F、G、H. 已知底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，∠BCD=135°.
（1） 求异面直线AF与BG所成的角的大小；
（2） 求平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小.
解：由题意可知：AP、AD、AB两两垂直，可建立空间直角坐标系A-xyz
由平面几何知识知：AD＝4,D(0,4,0),B(2,0,0),
C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(1,0,1),G(1,1,1) ……2分
(1)＝(1,0,1),＝(－1,1,1)
∴·＝0
∴AF与BG所成角为 ……4分
(2)可证明AD⊥平面APB
∴平面APB的法向量为n＝(0,1,0)
设平面CPD的法向量为m＝(1，y，z)
由 Þ
故m＝(1,1,2)
∵cos<m,n>＝
∴平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小为arccos
C
A
B
O
P
D
E
9、(四川省成都市新都一中高月考)如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，
AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC中点，AO交BD于E.
(1)求证：PA⊥BD；
(2)求二面角P－DC－B的大小；
(3)求证：平面PAD⊥平面PAB.
本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角，
空间想想能力，以及综合解题能力
方法一：(1)证明：
又平面平面ABCD
平面平面ABCD＝BC，平面ABCD ……2分
在梯形ABCD中，可得
，即
在平面ABCD内的射影为AO， ……4分
(2)解：，且平面平面ABCD
∴DC⊥平面PBC 平面PBC，
∴∠PCB为二面角P—DC—B的平面角 ……6分
∵△PBC是等边三角形，∴∠PCB＝60°，即二面角P—DC—B的大小为60° ……8分

(3)证明：取PB的中点N，连结CN
∵PC＝BC，∴CN⊥PB ①
，且平面平面ABCD
平面PBC ……………10分
平面PAB 平面平面PAB ②
由①、②知CN⊥平面PAB
连结DM、MN，则由MN∥AB∥CD
MN＝AB＝CD，得四边形MNCD为平行四边形
∴CN∥DM

∴DM⊥平面PAB
∵DMÌ平面PAD 平面PAD⊥平面PAB ………………12分
方法二：取BC的中点O，因为△PBC是等边三角形，
由侧面PBC⊥底面ABCD 得PO⊥底面ABCD ……1分
以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与
AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系
O—xyz……2分
(1)证明：∵CD＝1，则在直角梯形中，
在等边三角形PBC中，

，即 ……4分
(2)解：取PC中点N，则

平面PDC，显然，且平面ABCD
所夹角等于所求二面角的平面角 ……6分

二面角的大小为 ……8分
(3)证明：取PA的中点M，连结DM，则M的坐标为
又 ……10分

即
平面PAB，平面平面PAB.
10、(安徽省淮南市高三第一次模拟考试)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45°.
(1)求此正三棱柱的侧棱长；
(2)求二面角A-BD-C的大小；
(3)求点C到平面ABD的距离.
解：（Ⅰ）设正三棱柱—的侧棱长为．取中点，连．
是正三角形，．
又底面侧面，且交线为．
侧面．
连，则直线与侧面所成的角
为．
在中，，解得．
此正三棱柱的侧棱长为． ……………………5分
注：也可用向量法求侧棱长．
（Ⅱ）解法1：过作于，连，
侧面．
为二面角的平面角．
在中，，又
， ．
又
在中，．
故二面角的大小为． …………………………10分
解法2：（向量法，见后）
（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，平面,平面平面，且交线为，过作于，则平面．
在中，．
为中点，点到平面的距离为． …………14分
解法2：（思路）取中点，连和，由，易得平面平面，且交线为．过点作于，则的长为点到平面的距离．
解法3：（思路）等体积变换:由可求．
解法4：（向量法，见后）
题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：
（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系．
则．
设为平面的法向量．
由 得．
取
又平面的一个法向量
．
结合图形可知，二面角的大小为． …………10分
（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，
点到平面的距离＝