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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,机器人运动学,数学基础,第1页,2.1,位置和姿态表示,2.2,坐标变换,2.3,齐次坐标变换,2.4,旋转矩阵,机器人技术数学基础,Mathematic Preparation for Robotics,第2页,2.1,机器人位置和姿态描述,机器人能够用一个开环关节链来建模,由数个驱动器驱动转动或移动关节串联而成,一端固定在基座上，另一端是自由，安装工具，用以操纵物体,人们感兴趣是操作机末端执行器相对于固定参考坐标数空间几何描述，也就是机器人运动学问题,机器人运动学即是,研究机器人手臂末端执行器位置和姿态与关节变量空间,之间关系,第3页,运动学研究问题,Where is my hand?,Direct Kinematics,HERE!,How do I put my,hand here?,I,nverse,Kinematics:,Choose these angles!,运动学正问题,运动学逆问题,第4页,研究两类问题,:,运动学正问题,-,已知杆件几何参数和关节角矢量，求操作机末端执行器相对于固定参考作标位置和姿态（,齐次变换问题,）。,运动学逆问题,-,已知操作机杆件几何参数，给定操作机末端执行器相对于参考坐标系期望位置和姿态（位置），操作机能否使其末端执行器到达这个预期位姿？如能到达，那么操作机有几个不一样形态能够满足一样条件？,第5页,研究对象,机器人从机构形式上分为两种，一个是关节式串联机器人，另外一个是并联机器人。,PUMA560,Hexapod,Fanuc manipulator,第6页,这两种机器人有所不一样：,串联机器人：,工作空间大，灵活，刚度差，负载小，误差累积并放大。,并联机器人：,刚性好，负载大，误差不积累，工作空间小，姿态范围不大。,本章讲解以串联机器人为主。,第7页,第8页,第9页,D-H,方法基本思想,给每个关节指定一个参考坐标系，然后，确定从一个关节到下一个关节（一个坐标系到下一个坐标系）来进行变换步骤。假如将从基座到第一个关节，再从第一个关节到第二个关节直至到最终一个关节全部变换结合起来，就得到了机器人总变换矩阵。,D-H,模型表示了对机器人连杆和关节进行建模一个非常简单方法，可用于任何机器人构型，而不论机器人结构次序和复杂程度怎样。它也可用于表示已经讨论过在任何坐标中变换，比如直角坐标、圆柱坐标、球坐标、欧拉角坐标及,RPY,坐标等。另外，它也能够用于表示全旋转链式机器人、,SCARA,机器人或任何可能关节和连杆组合。,第10页,a,0,v,z,y,x,z,y,x,p,c,b,0,u,E,H,图,2.1,点向量描述,数学基础,齐次坐标和齐次变换,点向量（,Point vectors,）,点向量描述空间一个点在某个坐标系空间位置。同一个点在不一样坐标系描述及位置向量值也不一样。如图,2.1,中，点,p,在,E,坐标系上表示为,E,v,，在,H,坐标系上表示为,H,u,，且,v,u,。一个点向量可表示为,v=a,i,+b,j,+c,k,通惯用一个（,n+1,）维列矩阵表示，即除,x,、,y,、,z,三个方向上分量外，再加一个百分比因子,w,，即,v=x y z w,T,其中,a=x/w,b=y/w,c=z/w,。,第11页,已知两个向量,a=a,x,i,+a,y,j,+a,z,k,b=b,x,i,+b,y,j,+b,z,k,（,2.1,）,向量,点积,是标量。用“,”,来定义向量点积，即,a b=a,x,b,x,+a,y,b,y,+a,z,b,z,（,2.2,）,向量,叉积,是一个垂直于由叉积两个向量组成平面向量。用“,”,表示叉积，即,a b=(a,y,b,z,a,z,b,y,),i,+(a,z,b,x,a,x,b,z,),j,+(a,x,b,y,a,y,b,y,),k,（,2.3,）,可用行列式表示为,i j k,a b =a,x,a,y,a,z,（,2.4,）,b,x,b,y,b,z,第12页,2.2,点齐次坐标,2.2.1,点齐次坐标,普通来说，,n,维空间齐次坐标表示是一个（,n+1,）维空间实体。有一个特定投影附加于,n,维空间，也能够把它看作一个附加于每个矢量特定坐标,百分比系数,。,式中,i,j,k,为,x,y,z,轴上单位矢量，,a=,b=,c=,，,w,为百分比系数,显然，齐次坐标表示并不是唯一，随,w,值不一样而不一样。在计算机图学中，,w,作为通用百分比因子，它可取任意正值，但在机器人运动分析中，总是取,w,=1,。,列矩阵,第13页,为何引入齐次坐标？,在欧几里得几何空间里，两条平行线永远都不会相交。不过在投影空间中，如右图中两条铁轨在地平线处却是会相交，因为在无限远处它们看起来相交于一点。,第14页,在欧几里得（或称笛卡尔）空间里描述,2D/3D,几何物体是很理想，但在投影空间里面却并不见得。,我们用,(,x,y,),表示笛卡尔空间中一个,2D,点，而处于无限远处点,(,),在笛卡尔空间里是没有意义。投影空间里两条平行线会在无限远处相交于一点，但笛卡尔空间里面无法搞定这个问题（因为无限远处点在笛卡尔空间里是没有意义），所以数学家想出,齐次坐标,这个点子来了。,第15页,由,August Ferdinand Mbius,提出齐次坐标（,Homogeneous coordinates,）让我们能够在投影空间里进行图像和几何处理，齐次坐标用,N+1,个分量来描述,N,维坐标。比如，,2D,齐次坐标是在笛卡尔坐标,(X,Y),基础上增加一个新分量,w,，变成,(x,y,w),，其中笛卡尔坐标系中大,X,，,Y,与齐次坐标中小,x,，,y,有以下对应关系：,X=x/wY=y/w,笛卡尔坐标中点,(1,2),在齐次坐标中就是,(1,2,1),。假如这点移动到无限远,(,),处，在齐次坐标中就是,(1,2,0),，这么我们就防止了用没意义,来描述无限远处点。,第16页,点,(1,2,3),(2,4,6),和,(4,8,12),对应笛卡尔坐标中同一点,(1/3,2/3),。任意数量积,(1a,2a,3a),一直对应于笛卡尔坐标中同一点,(1/3,2/3),。所以这些点是“齐次”，因为他们一直对应于笛卡尔坐标中同一点。换句话说，,齐次坐标描述缩放不变性,（,scale invariant,）。,第17页,例,：,能够表示为：,V=3 4 5 1,T,或,V=6 8 10 2,T,或,V=-12 -16 -20 -4,T,第18页,齐次坐标与三维直角坐标区分,V,点在,O,XYZ,坐标系中表示是,唯一,（,x,、,y,、,z,）,而在齐次坐标中表示能够是多值。,不一样表示方法代表,V,点在空间位置上不变。,第19页,第20页,旋转矩阵,设固定参考坐标系直角坐标为,Oxyz,，动坐标系为,Ouvw,，研究旋转变换情况。,初始位置时，动静坐标系重合，,O,、,O,重合，如图。各轴对应重合，设,P,点是动坐标系,O,uvw,中一点，且固定不变。则,P,点在,O,uvw,中可表示为：,、为坐标系,Ouvw,单位矢量，则,P,点在,oxyz,中可表示为：,第21页,当动坐标系,Ouvw,绕,O,点回转时，求,P,点在固定坐标系,oxyz,中位置,已知：,P,点在,Ouvw,中是不变依然成立，因为,Ouvw,回转，则：,用矩阵表示为,:,（,2-7,）,第22页,反过来：,由刚体等距变换可知,：,将上式代入，可得：,R,为正交矩阵,。,第23页,由图可知，在,y,轴上投影为 ，在,z,轴上投影为,在,y,轴上投影为 ，在,z,轴上投影为,，所以有：,方向余弦阵,第24页,同理：,三个基本旋转矩阵,:,第25页,2.2,旋转齐次变换,用齐次坐标变换来表示式旋转变换：,第26页,2.2.3,合成旋转矩阵,:,例,1,：在动坐标中有一固定点 ，相对固定参考坐标系 做以下运动：,R,（,x,90,）；,R(z,90),；,R(y,90),。求点 在固定参考坐标系 下位置。,解,1,：用画图简单方法,第27页,解,2,：用分步计算方法,R,（,x,90,）,R,（,z,90,）,R,（,y,90,）,（,2-14,）,（,2-15,）,（,2-16,）,第28页,上述计算方法非常繁琐，能够经过一系列计算得到上述结果。将式（,2-14,）（,2-15,）（,2-16,）联写为以下形式：,R,4,x4,为二者之间关系矩阵，我们令：,定义,1,：,当动坐标系 绕固定坐标系 各坐标轴次序有限次转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转次序左乘。,注意：旋转矩阵间不能够交换,第29页,平移齐次变换矩阵,注意：,平移矩阵间能够交换，,平移和旋转矩阵间不能够交换,所以对向量,u=x y z w T,，经,H,变换为向量,v,可表示为,x+aw x/w+a,y+bw y/w+b,z+cw z/w+c,w 1,第30页,2.2.4,相对变换,举例说明：,例,1,：动坐标系,0,起始位置与固定参考坐标系,0,重合,动坐标系,0,做以下运动：,R(Z,90)R,（,y,90,）,Trans(4,，,-3,7),，求合成矩阵,解,1,：用画图方法：,第31页,解,2,：用计算方法,依据定义,1,，我们有：,以上均以固定坐标系多轴为变换基准，所以矩阵左乘。,假如我们做以下变换，也能够得到相同结果：,例,2,：先平移,Trans(4,-3,7),；绕当前 轴转动,90,；,绕当前 轴转动,90,；求合成旋转矩阵。,（,2-20,）,第32页,解,1,：用画图方法,解,2,：用计算方法,第33页,式（,2-20,）和式（,2-21,）不论在形式上，还是在结果上都是一致。所以我们有以下结论：,动坐标系在固定坐标系中齐次变换有,2,种情况：,定义,1,：,假如全部变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。,定义,2,：,假如动坐标系相对于本身坐标系当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。,结果均为动坐标系在固定坐标中位姿（位置,+,姿态）。相对于固定坐标系，,也就是说，,动坐标系绕本身坐标轴做齐次变换，要到达绕固定坐标系相等结果，就应该用相反次序,。,第34页,机器人用到相对变换时候比较多,比如机械手抓一个杯子，如右图所表示，手爪需要转动一个角度才抓牢，相对于固定坐标系表示太麻烦，能够直接依据手爪坐标系表示,但也要知道在,O,中位姿，就用右乘概念。,o,H,第35页,2.2.5,绕经过原点任意轴旋转齐次变换,有时动坐标系,O,可能绕过原点,O,而分量分别为,r,x,、,r,y,、,r,z,任意单位矢量,r,转动,角。,研究这种转动好处是可用,O,绕某轴,r,一次转动代替绕,O,各坐标轴数次转动,为推导此旋转矩阵，可作下述变换：,绕,X,轴转,角，,使,r,轴处于,XZ,平面内,绕,Y,轴转,-,角，使,r,轴与,OZ,轴重合,绕,OZ,轴转动,角,绕,Y,轴转,角,绕,X,轴转,-,角,第36页,由上图轻易求出：,由定义,1,和定义,2,，上述,5,次旋转合成旋转矩阵为：,（,2-25,）,第37页,带入式,（,2-25,），得,第38页,2.2.6,齐次交换矩阵几何意义,设,T=,，有一个手爪，已知其在,O,位置，设一个,该坐标系,O,，已知，那么,O,在,O,中齐次坐,标变换为 ，假如手爪转了一个角度，,则：,第39页,T,反应了,O,在,O,中位置和姿态，即表示了该坐标系原点和各坐标轴单位矢量在固定坐标系中位置和姿态。,该矩阵能够由,4,个子矩阵组成，写成以下形式：,为姿态矩阵，表示动坐标系,O,在固定参考坐标系,O,中姿态，即表示,O,各坐标轴单位矢量在,O,各轴上投影,为位置矢量矩阵，代表动坐标系,O,坐标原点在固定参考坐标系,O,中位置,为透视变换矩阵，在视觉中进行图像计算，普通置为,0,为百分比系数,第40页,假如需要求解,O,在,O,中位置和姿态，此时齐次变换矩阵为 ，即求逆矩阵：,其中：,这些式子以后经常碰到，在机器人计算中，所要求就是齐次变换矩阵,第41页,第42页,习题,1,：,O,与,O,初始重合，,O,作以下运动：绕,Z,轴转动,30,；绕,X,轴转动,60,；绕,Y,轴转动,90,。求,T,。,第43页,习题,2,：,O,与,O,初始重合，,O,作以下运动：绕,X,轴转动,90,；绕,w,轴转动,90,；绕,Y,轴转动,90,。求,T,；改变旋转次序，怎样旋转才能取得相同结果。,解：,解：,绕,Z,（,w,）轴转动,90,；,绕,X,轴转动,90,；,绕,Y,轴转动,90,。,第44页,第45页,
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