群论在固体物理中应用市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第四章 群论在固体物理中应用,在固体物理中，对晶体研究占据了相当大比重。,晶体：“三维空间中一个规则排列无限重复原子、分子、离子或原子集团集合”。,晶体含有高度对称性，从而形成了一系列对称群、对称群对晶体能级分裂，能带形成等起主导作用。,第1页,4.1 点群,晶体对称性能够用三种形式几何变换或操作描述：,其中，反演,+,（真）转动,非真转动（转反轴）,第2页,例：,n,重旋转轴 ，,n,为一些整数,n=4,对称性阶等于,4=,h,（即对称群阶）,对称面,O,D,C,A,B,C,4,h,=2,第3页,对称中心,旋转反演轴（转反轴）,旋转和反演复合操作,A,是,A,转反像,以上四种对称要素对应操作中，空间中最少有一个点保持不动。,对称中心,O,A,B,A,第4页,定义：,由真转动和非真转动各种组合都可保持一个点（原点）位置不动，称之点群操作，它们集合称为点群。,定义：,由平移操作和点群操作各种组合叫作空间群操作，它们集合称为空间群。,注意：,严格讲：空间群操作，空间每一点都要动，所以，空间对称操作只有对无限延伸物体才能进行。,普通采取周期性边界条件处理这类问题。,第5页,4.1.1,晶体点群对称操作,晶体含有平移对称性，所以，,晶体中点群操作受到严格限制。,晶体中真转动是绕某一轴正向（逆时针）转动某一角度,。,即,=360,，,180,，,120,，,90,，,60,以及它们组合：,240,，,270,，,300,。,证实,n,=1,2,3,4,6,A和B是 （晶格常数）方向上两点阵,设绕A点转动角,，则B点转到B,点,设,绕,B,点转动角,，则,A,点转到,A,点,A,A,B,B,第6页,转动后原子点阵应重合，故 是一点阵矢量,即：，,m,整数,由图可知：,，n=1,2,3,4,6,在非真转动中角度转动部分也是如此。,第7页,4.1.2,立方晶系群（Cubic Crystal System）,立方晶系群,T,群（,T,，,T,d,，,T,h,）,O,群（,O,，,O,h,）,1、,O,群（Octahedron Group),正八面体群,对称元素：,3个四度轴：x,y,z轴,4个三度轴：oA,1,，oA,2,，oA,3,，oA,4,轴,6个二度轴：oa，ob，oc，od，oe，of,不变操作,x,y,z,A,1,A,8,A,7,A,6,A,5,A,4,A,3,A,2,o,a,b,c,d,e,f,第8页,总操作数为:33（四度轴有三个操作）=9,42（三度轴有二个操作）=8,61（二度轴有一个操作）=6,不变操作 =1,共有24个真转动操作。,x,y,z,A,1,A,8,A,7,A,6,A,5,A,4,A,3,A,2,o,a,b,c,d,e,f,1C,1,，不动，群元E,第9页,6C,2,，绕对边中点连线转动180,o,（2-度对称）,x,y,z,A,1,A,8,A,7,A,6,A,5,A,4,A,3,A,2,o,a,b,c,f,d,g,第10页,x,y,z,A,1,A,8,A,7,A,6,A,5,A,4,A,3,A,2,o,a,b,c,f,d,g,第11页,8C,3,，绕对角线转动120,o,和240,o,（3-度对称）,x,y,z,A,1,A,8,A,7,A,6,A,5,A,4,A,3,A,2,o,a,b,c,f,d,g,第12页,x,y,z,A,1,A,8,A,7,A,6,A,5,A,4,A,3,A,2,o,a,b,c,f,d,g,第13页,x,y,z,A,1,A,8,A,7,A,6,A,5,A,4,A,3,A,2,o,a,b,c,f,d,g,第14页,6C,4,，绕xyz轴转动90,o,（4-度对称）,x,y,z,A,1,A,8,A,7,A,6,A,5,A,4,A,3,A,2,o,a,b,c,f,d,g,第15页,x,y,z,A,1,A,8,A,7,A,6,A,5,A,4,A,3,A,2,o,a,b,c,f,d,g,第16页,x,y,z,A,1,A,8,A,7,A,6,A,5,A,4,A,3,A,2,o,a,b,c,f,d,g,第17页,x,y,z,A,1,A,8,A,7,A,6,A,5,A,4,A,3,A,2,o,a,b,c,f,d,g,3C,2,，绕xyz轴转动180,o,（2-度对称）,第18页,O群有5类，24个群元，有5个不可约表示,O群有两个1-维表示，一个2-维表示，两个3-维表示。,上述表示是O群个3-维表示,第19页,2、,O,h,群,8个全同原子位于立方体8个顶点,O群24个真转动，加上中心反演，又有24个非真转动，所以共有48个操作。共分为10个类。,1C,1,，不动，群元E,6C,2,，绕对边中点连线转动180,o,（2-度对称）,8C,3,，绕对角线转动120,o,和240,o,（3-度对称）,6C,4,，绕xyz轴转动90,o,（4-度对称）,3C,2,，绕xyz轴转动180,o,（2-度对称）,i，关于中心反演,6iC,2,，绕对边中点连线转动180,o,，接着中心反演,8iC,3,，绕对角线转动120,o,和240,o,，接着中心反演,6iC,4,，绕xyz轴转动90,o,，接着中心反演,3iC,2,，绕xyz轴转动180,o,，接着中心反演,x,y,z,A,1,A,8,A,7,A,6,A,5,A,4,A,3,A,2,o,a,b,c,d,e,f,第20页,3、T群（Tetrahedton Group，正四面体群),A,2,A,1,A,3,A,4,与O群比，少6C,4，,6C,2,两种对称性,1C,1,，不动，群元E,4C,3,，绕对角线转动120,o,（3-度对称）,3C,2,，绕xyz轴转动180,o,（2-度对称）,4C,2,3,，绕对角线转动240,o,（3-度对称）,T群有4类，12个群元，有4个不可约表示,T群有三个1-维表示，一个3-维表示。,第21页,4、,T,h,群,T群12个真转动，加上中心反演，又有12个非真转动，所以共有24个操作。共分为8个类。,1C,1,，不动，群元E,4C,3,，绕对角线转动120,o,（3-度对称）,3C,2,，绕xyz轴转动180,o,（2-度对称）,4C,2,3,，绕对角线转动240,o,（3-度对称）,i，关于中心反演,4iC,3,，绕对角线转动120,o,，接着中心反演,3iC,2,，绕xyz轴转动180,o,，接着中心反演,4iC,2,3,，绕对角线转动240,o,，接着中心反演,T,h,群有6个1-维表示，2个3-维表示。,第22页,4、,T,d,群,(两种原子组成四方晶体),除T群12个操作外。还有12个操作：6iC,2,和6iC,4,。共24个操作，分为5个类。,1C,1,，不动，群元E,8C,3,，绕对角线转动120,o,和240,o,（3-度对称）,T群中4C,3,和4C,2,3,合并成一类,3C,2,，绕xyz轴转动180,o,（2-度对称）,6iC,2,，绕对边中点连线转动180,o,，接着中心反演,将T群中4C,3,和4C,2,3,合并成一类,6iC,4,，绕对角线转动90,o,和270,o,，接着中心反演,T,d,群有2个1-维表示，1个2-维表示，2个3-维表示。,第23页,5个立方体群相互关系,第24页,4.1.3,点群符号和图示,点群符号有两种：,IS制（也叫Hermann-Mauguin）符号：简写IS符号，H.M符号,Schoenflies,（熊夫利斯符号）符号，简写,Sch,符号,第25页,注意：,四度反轴,不等于四度轴加反演中心,C,3,h,六重转反轴六重轴加垂直于它对称面,S,4,四重转反轴,C,3,i,三重转反轴三重轴加对称中心,S,2,=,C,S,同对称面,二重转反轴垂直于轴对称面,C,i,=,S,1,1,无,一重转反轴对称中心,C,6,6,六重旋转轴,C,4,4,四重旋转轴,C,3,3,三重旋转轴,C,2,2,二重旋转轴,C,1,1,无,一重旋转轴,C,S,=,S,2,m,直线或圆圈,对称面,C,i,=,S,1,1,无,对称中心,Sch.,I.S,图示（标识）,对称要素,第26页,晶体含有对称操作：,C,n,：绕晶体主轴作 角度转动，n1，2，3，4，6,D,n,：含有C,n,对称晶体，同时存在n根与主轴垂直2-度轴，n2，3，4，6,C,nh,：含有C,n,对称晶体，同时含有一个与主轴垂直水平面作为反射镜面，n1，2，3，4，6，n为偶数时，C,nh,还含有反演操作,C,nv,：含有C,n,对称晶体，同时含有包含主轴竖直平面作为反射镜面，n2，3，4，6,S,n,：含有n重非正当转动对称晶体，n2，3，6 n3时，S,3,C,3h,第27页,晶体含有对称操作：,D,nh,：含有D,n,对称晶体，同时含有一个水平面反射镜面，n2，3，4，6,C,nv,：含有D,n,对称晶体，同时含有包含主轴竖直平面作为反射镜面，n2，3,立方晶系5种点群：T，T,d,，T,h,，O，O,h,第28页,立方系晶体和六方系晶体等可能含有最多操作能够查表。,普通，对称性较低晶体含有对称操作要少一些。,晶体可能含有点群操作可组成一个群晶体点群，它决定晶体宏观对称性。,能够证实：独立点操作对称要素有：,（IS）1，2，3，4，6，I，m，,这,8,个点对称要素共有,32,种组合（见书）。对应地，每种组合操作组成一个点群，所以，共有,32,个点群。,比如：不可能有垂直于三重轴或六重轴四垂轴（因为垂直于四重轴三重轴或六重轴都将“破坏”四重轴对称性）,第29页,32个晶体点群,第30页,第31页,32个晶体点群不可约表示特征标表,三斜晶系：,单斜晶系：,第32页,正交晶系：,第33页,四角晶系：,第34页,第35页,第36页,第37页,六角晶系：,第38页,第39页,第40页,立方晶系：,第41页,第42页,第43页,4.1.4,晶格对称性对固体性质影响,各向同性物体中：物理性质与空间方向无关，可用一标量来描述，如电导率，介电常数，极化系数等,晶体中：物理性质量通常是各向异性，普通用二阶张量来描述，如电导率张量,不一样固体电导率相差很大，其原因是与晶格对称性相关。,第44页,a,b,c,长方晶体：,以x，y，z为基矢表示矩阵为,第45页,电导率张量在对称操作作用下，相关系式：,第46页,对称操作,第47页,第48页,对称操作,其它操作作用无改变,长方晶体电导率普通形式，表明长方晶体电导率在x，y，z三个方向上数值是不相等。,第49页,如晶体为四方晶体:,四方晶体物理性张量只有两个独立量，一个代表横向，另一个代表纵向。,如晶体为立方晶体:,立方晶体物理性质量可用一个标量来表示。,第50页,