19-抛物线的简单几何性质(1).doc

2.4.2 抛物线的简单几何性质（1）

教材分析
本节内容是数学选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 的第四节，是在学习了前三节 曲线与方程 椭圆 双曲线 的知识后，对圆锥曲线的再学习，可以看作是对前面学习过的三节内容的延续，要求特别注重学生类比能力的培养.此外，本节又是圆锥曲线的结束课，对前面内容的学习有着一定的归纳作用.本课题的重点是抛物线的简单几何性质，难点是正确地根据抛物线方程讨论抛物线的几何性质，并注意椭圆、双曲线、抛物线的性质的联系与区别．通过对抛物线标准方程的研究，得出抛物线的几何性质，并应用抛物线的性质解决有关抛物线的实际问题，培养学生数形结合，化归和方程等思想，提高学生的综合能力.
课时分配
本节内容用2课时的时间完成，主要讲解抛物线的简单几何性质，以及抛物线几何性质的简单应用.
教学目标
重点: 抛物线的简单几何性质.
难点：正确地根据方程讨论曲线的几何性质，并注意椭圆、双曲线、抛物线的性质的联系与区别．
能力点：正确运用抛物线的简单几何性质.
教育点：通过与双曲线、椭圆的类比，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情.
自主探究点：抛物线中过焦点的弦长问题.
考试点：抛物线的简单几何性质的应用.
易错易混点：直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
拓展点：直线与抛物线的位置关系.
教具准备 多媒体课件，三角板
课堂模式 学案导学
一、 引入新课
我们前面学习椭圆与双曲线时，根据它们的标准方程，可以得到它们的一些几何性质，那么根据抛物线的标准方程可以得到抛物线的那些几何性质呢？
【师生活动】
师：开门见山点明本节要学内容.
生：思考前面如何由椭圆和双曲线得到它们的相应的一些性质．
【设计意图】 通过类比前面所学的椭圆和双曲线，来得到抛物线的性质，来激发学生的学习兴趣．
二、探究新知
抛物线的主要性质如下：
1、 范围：在轴右侧．
2、 对称性：关于轴对称．
3、 顶点：坐标原点．
4、 离心率：．
【师生活动】
师：让学生根据抛物线的图像，自己推得抛物线的几何性质．
生：自己思考，动手，一名学生回答推导结论．
师：补充，完善．
【设计意图】把问题放给学生，让学生自主解决，培养学生独立思考，学习的习惯．
师：我们知道了的几何性质，那么其他三种标准形式有哪些性质呢？
【师生活动】 让学生自己思考，推导，教师总结完善．
【设计意图】培养学生对类比思想的运用，发展学生的创新能力．

三、理解新知
分析抛物线几何性质的特点：对称轴是一次项的字母；顶点是坐标原点；离心率是1．
[设计意图]为准确地运用新知，作必要的铺垫.
四、运用新知
例1 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程．
解：因为抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，所以可设它的标准方程为
．
因为点在抛物线上，所以
，
即 ．
因此，所求抛物线的标准方程是
．
思考：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有几条？求出它们的标准方程．
师：让学生分析与例1有何区别．
生：过点的抛物线可设为与两种情况．
生：让学生根据分析，快速完成．
师：核对答案，共同评价，总结解题方法．
[设计意图] 培养学生发散思维的能力及良好的解题习惯，拓展学生思路，及时巩固所学知识．
例2 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，抛物线上的点到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和的值．
解法一：设抛物线方程，焦点．
由题可得，从而求得或．
师：上面方法很好，但运算量较大，有没有其他方法呢？
解法二：抛物线，焦点，准线方程为．根据抛物线定义到焦点的距离等于5，也就是到准线的距离等于5，则，又点在抛物线上，求出点．
[设计意图] 一题多解，培养学生的发散思维，选取好的解题方法．
例3 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交与两点，求线段的长．
【分析】由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线的斜率为1，所以可以求得直线的方程；与抛物线的方程联立，可以求出两点的坐标，利用两点间的距离公式可以求出；另外也可采用“设而不求”的思想结合弦长公式来求．这种方法思路简单，也不需要复杂的代数运算，属于同学们需要掌握的常规方法．在这里我们再介绍另外一种方法——数形结合的方法．
如右图所示，过交点分别作准线的垂线，
垂足为，则有
．
只要求出两点的横坐标之和，就可以求出．
解：如右图，设，到准线的距离分别为
．由抛物线的定义可知

于是
，
由已知得抛物线的焦点为,所以直线的方程为
． ①
将①代入方程，得

化简得

由根与系数的关系得

于是

所以，线段的长是8.
[设计意图]此例题有多种解法．思路简单易想，运算复杂；运算简洁，方法不是每个同学都能想到．开拓学生的思维,便于学生发现同一题目不同解题方法的区别与联系,有利于学生用联系的观点看问题，不能思维单一，要把思维发散开．
五、课堂小结
教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：
1．知识：抛物线的简单几何性质：范围 ；对称性；顶点；离心率．
2．思想：分类讨论的思想、数形结合的思想、设而不求的思想．
教师总结: 性质的推导过程用到了前面两节——椭圆、双曲线的类似研究方法．引导学生: 在学习抛物线的性质时，回顾一下前面性质归纳的方法,要注意“举一反三”．在应用中增强对知识的理解，一题多解,从而更好地运用知识,加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．
[设计意图] 注意引导学生类比椭圆，双曲线的学习方法，要做到“学以致用”．
六、布置作业
1．复习回顾课本P60—61；
2.书面作业
必做题：P64 习题2.3 A组 1，2，3，4.
选做题：1.已知抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离为7，则抛物线的方程为 .
2. (2011●江西高考)已知过抛物线的焦点，斜率为 的直线交抛物线于两点，且 .
（1）求该抛物线的方程；
（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值
3．课外思考 ：已知为抛物线上的动点，过分别作轴与直线的垂线，垂足分别为,求的最小值.
[设计意图]设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，起到对知识的巩固作用.书面作业的布置，是为了让学生能够运用抛物线的简单几何性质，解决简单的数学问题；课外思考的安排，是让学生理解性质与抛物线定义的联系，从而让学生深刻地体会到抛物线的性质在求最值中的应用，培养学生用联系的观点看问题，起到归纳转化的作用．

七、教后反思
1.本教案的亮点例3.在例1的教学中，让学生注意分类讨论、说明讨论的由来及标准，考虑问题的全面性．例2、例3一题多解，既注重了与原问题的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了学生分析问题、解决问题的能力，注意多种方法的思维碰撞．
2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在性质的运用上下足功夫.
3.本节课的弱项是在推导不同轴上的抛物线的性质，应该放开手让学生自己归纳总结，分别从两个方面：图像和方程来归纳出.相信学生完全有能力解决好，而不要包办代替，因为有前面的经验，应该充分展示学生的思维过程，不可操之过急.
八、板书设计
2.4.2抛物线的简单几何性质
一、抛物线的简单几何性质

例1
例2
例3

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