技巧之二——证明线段或角相等.doc

证题技巧之二——证明线段和角相等
平面几何中，证明线段和角相等是最多的一种题型。做这类题大体有四种思路：利用全等三角形；利用等量传递；应用定理；利用相似形。下面逐一介绍。
一、利用全等三角形
1、分析：①条件中相等的因素多。②图形中存在或者可造全等形。
2、添加辅助线造全等形。
例1 如图，AC=BC，AC⊥BC，BD是中线，CF⊥BD于E。求证：∠ADF=∠BDC
分析：①相等的因素多——全等形
②没有全等形——造全等形
③垂直因素——添垂线
证明：过A作AG⊥AC交CF的
延长线于G
∵CA⊥AG CE⊥BD ∴∠G=∠BDC
又 AC=BC ∴△BCD≌△CAG ∴CD=AG=AD
在△AGF和△ADF中
AG=AD AF=AF ∠GAF=∠DAF=45°∴△AGF≌△ADF
∴∠G=∠ADF
∴∠ADF=∠BDC
例2 如图 已知A、B、C三点共线。DAC、ECB是等边三角形，EA交DC于P，DB交EC于Q
求证：CP=CQ
分析：①相等的因素多，可以考虑用全等形。
②已经有全等形，不用添线。
③先证明ACE≌DCB 再证明CQB≌CPE
证明：略
作业：
1、从平行四边形各顶点向对角线作垂线。求证：依次连接各垂足组成的四边形是平行四边形。
2、以△ABC的两边AB和AC为边向形外作正方形ABEF和ACGH。D是BC的中点。求证：D和两正方形中心的连线相等。
二、利用等量传递 证明二欲证相等者都等于第三者，或分别等于两相等者。
1、分析：二者所在两三角形根本不全等，且不易造全等形。
2、添线问题：
⑴有现成的第三者 不添线。怎样确定第三者呢？从三方面考虑：①欲证二者有公共的端点或顶点，且有第三条直线经过这里；②欲证二者是一四边形的对边或对角；③欲证二者有一个因素在一三角形的中位线上。
⑵没有现成的第三者，需要添线时，从三方面考虑：①使欲证二者建立联系；②创造媒介；③为证与媒介相等，创造相等条件。
例3 圆内接四边形的两条对角线相互垂直，过对角线的交点垂直于一边的直线平分这边的对边。
证明：∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3
∵∠1=∠4 ∠3=∠5
∴∠4=∠5 ∴ND=NP
同理NP=AP
∴AN=ND
例4 AD是△ABC的角平分线，M是BC边上的中点，ME∥DA交BA于E，交CA的延长线于F，求证：BE=CF。
证明：过F作FG∥BE
连接BG、CG
则BG∥MF
又M是BC的中点
∴N是CG的中点。
∵MF∥AD ∴∠MFC=∠DAC ∵FG∥BA ∴∠GFM=∠BAD
又AD是∠A的角平分线 ∴∠DAC=∠BAD ∴∠GFM=∠MFC
∴FG=FC ∴BE=CF
作业：
3、如图，FG切⊙O于G，
EF∥DA，求证：FG=FE
4、三角形ABC的外角∠CAE的平分线交⊙ABC于D。求证：DB=DC
5、四边形的边AD=BC，E、F分别是AB和CD的中点，EF分别交AD、BC的延长线于G、H。求证：∠AGE=∠BHE
三、应用定理
1、当前面讲述的两种方法不能应用时：①分析条件中各个因素所产生的后果，取其有关后果，确定应用的定理。②分析图形与哪一个定理的图形近似，确定应用这个定理。
2、考虑添线，为应用定理制造条件。
例5 过正方形的顶点A作直线MN∥BD，E是MN上一点，且BE=BD，BE交AD于F，求证：DE=DF。
证明：作BG⊥MN，得
BG=BE
∴∠BEG=30°
∴∠DBM=30°
∠BED=75°
∵∠EBG=60°
∴∠EBA=15°∠BFA=75°
∴∠DEF=∠DFE=75°
∴DE=DF
例6 PA、PB切⊙O于A和B，AC是⊙O的直径，BD⊥AC于D，PC交BD于E。求证：EB=ED
证明：过C、B作直线交AP的延长线于F，连接AB。
则∠1=∠2=∠ACB
AC是直径，则∠2+∠3=90°∠1+∠F=90°∴∠3=∠F
∴ PA=PB=PF
∵ PA∥BD ∴ = ∴ ED=EB
例7 ⊙O与直线MN相离，OA⊥MN于A。割线ABC交⊙O于B、C，EB和FC分别切⊙O于B、C交MN于E、F。求证：AE=AF
证明：连接OE、OF、OC、OB
∵ OB⊥EB OA⊥EF
∴A、B、O、E四点共圆
∴∠OEB=∠OAC
又OC⊥CF
∴A、O、C、F四点共圆 ∴∠OFC=∠OAC ∴∠OEB=∠OFC
∵OB=OC ∴Rt△OEB≌Rt△OCF ∴OE=OF ∴AE=AF
作业：
6、在△ABC中，AB=AC，E是AB上一点，AE=AB。以AB为直径作圆，交BC于D，连接AD，交CE于F。求证：AF=FD。
7、AB是⊙O的弦，过A、O两点任作一圆，交直线AB于C，交⊙O于D。求证：CB=CD。
四、利用相似形
1、判断: ①已知条件中含有四条线段的等比式或等积式。②图形中有平行线截直线束。③和圆有关但线段相等的因素少。
2、方法：①利用比例中前两项相等则后两项也必须相等。②证明二欲被证者同是另外两条线段的比例中项。③证明二欲被证者是另外三条线段的比例中项。
3、添线：①造相似形或平行线截直线束。②条件中含有垂直因素时添垂线。③条件中没有垂直因素时添平行线。④为证相似造条件。
例8 D是△ABC的BC边延长线上一点，E是AB上一点，并且=,DE的延长线交AB于F。求证：FA=FB
证明：作CE∥AB交FD于G
= =
∵= ∴= ∴FA=FB
例9 梯形的两腰BA和CD的延长线交于P，对角线AC和BD相交于O,直线PO交AD于E，交BC于F。求证：①AE=DE②BF=CF
证明：过O作MN∥AD交AB、CD于M、N
则= = =
∴ =∴OM=ON
∴ ①AE=DE ②BF=CF
例10 CD是平行于⊙O的直径AB的弦，EB切⊙O于B交AD的延长线于E，EF垂直于AC的延长线于F。求证：CA=CF
证明：连接 BC交AE于G
则∠BC⊥AF BC∥EF
∵CD∥AB ∴=
∴∠CDA=∠ABC
连接GO
则GO⊥AB ∴GO∥BE
∴AG=GE ∴AC=CF
例11 AD是△ABC的角平分线，圆ABD交AC于E，圆ADC交AB于F。求证：BF=CE
证明：连接ED、FD
∵∠BAD=∠CAD
∴FD=DC ED=BD
又 四边形AFDC和
AEDB分别是两个圆的圆内接四边形
∴∠BDF=∠BAC ∠EDC=∠BAC ∴∠BDF=∠EDC∴△BDF≌△EDC ∴BF=CE
作业：
8、圆内接四边形的对角线互相垂直。求证：对角线的交点到一边中点的距离等于圆心到这边的对边的距离。
9、AD、CF是△ABC的高，H是垂心。AD的延长线交⊙ABC于E。求证：DH=DE
10、MN、MA切⊙O于N、A，PA、PB切⊙O于A、B。CD过P且平行于MN，NB的延长线交CD于C，NA的延长线交CD于D。求证：PC=PD