费马点与中考试题.doc

识别“费马点” 思路快突破
解题的成功取决于多种因素，其中最基本的有：解题的知识因素、解题的能力因素、解题的经验因素和解题的非智力因素，这也就是我们常说的解题基本功．可见解题的知识因素是第一位的，足以说明它的重要性．下面我们从解题的知识因素上关注两道中考题的思路获取．
例1 （2010湖南永州）探究问题：
（1）阅读理解：
①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA＋PB＋PC的值为△ABC的费马距离.
②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB·CD＋BC·DA＝AC·BD.此为托勒密定理.

（2）知识迁移：
①请你利用托勒密定理，解决如下问题：
如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的上任意一点.求证：PB＋PC＝PA.
②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在上任取一点P′，连结P′A、P′B、P′C、P′D.易知P′A＋P′B＋P′C＝P′A＋（P′B＋P′C）＝P′A＋ ；
第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段 的长度即为△ABC的费马距离.

（3）知识应用：
2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水.
已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值.
思路探求：（2）知识迁移 ①问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相等，将所得等式两边都除以等边三角形的边长，即可获证. ②问，借用①问中对于费马点的定义结论容易获解. （3）知识应用，模仿（2）的图形，先构造正三角形，由（2）中的结论，再计算AD即为最小距离.
简解：（2）①证明：由托勒密定理可知PB·AC＋PC·AB＝PA·BC
∵△ABC是等边三角形
∴ AB＝AC＝BC
∴PB＋PC＝PA
②P′D AD

（3）解：如图，以BC为边长在△ABC的外部作等边△BCD，连接AD，则知线段AD的长即为△ABC的费马距离.

∵△BCD为等边三角形，BC＝4，
∴∠CBD＝60°，BD＝BC＝4.
∵∠ABC＝30°， ∴∠ABD=90°.
在Rt△ABD中，∵AB＝3，BD＝4
∴AD＝＝＝5（km）
∴从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度的最小值为5km.
点评：此题集阅读理解、创新探究、实际应用于一体，题型新颖别致，综合考查自主探究、创新应用能力，是一道不可多得的好题.命题者设置成递进式问题，后续问题的思路获取、求解都靠对上一结论的解读、利用，这也是近年“课题学习”考查的一大风向，值得重视.
如果说例1只是以“费马点”为课题学习的素材进行了考查，为了帮助同学们更好的理解三角形的费马点，我们补充几点：
（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小.
特殊三角形中：
(2)三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB，BC，CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1，ACB1，BCA1，然后连接AA1，BB1，CC1，则三线交于一点P，则点P就是所求的费马点.
(3)若三角形有一内角大于或等于120度，则此钝角的顶点就是所求.
(4)当△ABC为等边三角形时，此时外心与费马点重合.
可见，永州卷这道考题对于费马点只是以课题学习为问题载体，考得比较直截了当；巧合的是2010年福建宁德一道考题对这个知识考查显得隐蔽了，请看：
例2 （2010福建宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.
E
A D
B C
N
M

思路探求：⑴略；
⑵ ①要使AM＋CM的值最小，根据“两点之间线段最短”，需设法将AM＋CM转化为一条线段，连接AC即可获取；
②要使AM＋BM＋CM的值最小，由例3积累的知识经验：点M应该是△ABC的费马点.由例3中（2）的求解示范，只要连接CE即可获得CE为AM＋BM＋CM的值最小.这样获到M点至少帮助我们在思路获取上提高了效率.理由说明供助于第（1）问的全等获得BM=BN，将三条线段转化到CE上去，问题化为两点之间线段最短.
⑶根据题意，添加辅助线，构造直角三角形，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F. 设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.在Rt△EFC中，由勾股定理得（）2＋（x＋x）2＝，解得即可.
简答：⑴略；
⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.
F
E
A D
B C
N
M
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM＋BM＋CM的值最小.
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.
根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.
⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.
在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，∴（）2＋（x＋x）2＝.
解得，x＝（舍去负值）.∴正方形的边长为.
点评：本题中“AM＋BM＋CM的值最小”如果没有费马点的知识积累，会在探究点M的位置上花费不少时间，这对紧张的考试来说，势必造成“隐性失分”．