数学建模——碎片化趋势下的奥运会商业模式.docx

数学建模校内选拔赛

题 目:碎片化趋势下的奥运会商业模式
学院(直属系): 数学与计算机学院
年级、 专业: 2010级信息与计算科学
姓 名:杨尚安
:刘 洋
:谭 笑
完 成 时 间: 2012年 5 月 25 日

碎片化趋势下的奥运会商业模式

摘要
本文通过分析碎片化趋势下的奥运会商业模式，建立数学模型，研究了碎片化趋势下的奥运会期间网络推广的资金使用和用人方案问题。并得到了较为合理的最优结果。
针对问题一，考虑要使得产品推广的效果能够达到最大，故20万的资金将会全部用出。本文一共建立了四个数学模型。首先，考虑到社会上掌握某项技能的人数与其价值（即工资）之间的关系，建立微分方程模型，利用matlab求出其原函数，即得到了专业推广者人数与其每天工资之间的函数关系。其次，为得到每天使用多少专业推广者来进行粉丝扩充，利用递归思想，建立了线性规划模型，利用lingo软件求出结果。最后，在得到了每天使用多少个专业推广者的结果后，利用递归模型，得到每个专业推广者在剩余时间内所能影响到的粉丝数目，由于考虑到粉丝的重复问题及对博主信息的转化率与天数、粉丝数量有着的很大的关系，因此再建立了传染病模型之SIS模型，结合题目中已有数据，利用excel及sql数据库得到粉丝数的重复率。（结果见问题求解及附表）
对上述建模得到结果应用题目中Jamie beck案例的相关数据进行检验，得到了的结果与实际情况相符，故所建模型方法合理，所得结果准确。（结果见问题求解及附表）
针对问题二，由于假设由黑客软件添加的粉丝不会转发博主的信息，所以只需考虑黑客软件发出的好友申请，其同意率的值，即可得到相应的粉丝数目。最后，结合第一问所得结果，建立线性规划模型进行优化处理，最后得出同意率与资金使用和用人方案之间的关系。（结果见问题求解及附表）

关键词： 微分方程模型 线性规划模型 递归 传染病模型

一、 问题叙述
1.1问题背景：
1984 年的美国洛杉矶奥运会开始，奥运会就不在成为一个“非卖品”，它在向观众诠释更高更快更强的体育精神的同时，也在攫取着巨大的商业价值，它与电视结盟，在运动员入场仪式、颁奖仪式、热门赛事、金牌榜发布等受关注的时刻发布赞助商广告，它在每个行业中仅挑选一家奥运全球合作伙伴，这就是“Top赞助商”的前身。
这个模式经过 28 年的发展之后，现在已经是商业社会里最重要的公司的展示舞台。品牌选择奥运会的理由，是因为这里凝聚了观众的大量时间。他们希望在观众关注比赛的同时也注意到自己的品牌和产品，而 Top 赞助商们，则可以获得在电视奥运频道里排除行业里其他竞争对手广告的特权。每届奥运会， Top 赞助商的赞助费用都以 10% 至 20% 的速度在增长。
2008 年，北京奥运会全球合作伙伴最低赞助为 6000 万美元， 2012 年伦敦奥运会就变成 8000 万美元。这种模式被奥运会主办方发挥到了极致，宣传费用的门槛把绝大多数企业排除在了奥运会之外。但是越来越多的企业不甘心错过奥运会这个吸引大众眼球的宣传机会，他们在寻找新的新闻传播渠道。
因此，传统的商业模式在当今互联网飞速发展的时代已经不再具有优势。随着社交网络对人们的影响的深入，营销模式也不可避免的受到社交网络化趋势的
影响和冲击，对商业来说，如何利用社交网络化趋势，更好地发展社交网络化的营销模式，才是今天乃至未来的核心问题。
[1]

图一 四大微博在谷歌趋势上的关注度

[2]
图二 四大门户的流量对比
[3]
图3 传统营销模式和社交网络化营销模式的区别

1.2设计材料及背景
一家企业想利用社交网络在奥运会期间进行企业宣传，假设现在距离奥运会开幕还有 100 天，一个社交网络的专业推广者平均每天可以新增 500 个粉丝，这些粉丝会把推广者发布的和奥运会相关的所有信息都分享给自己粉丝们，普通网络用户平均每天可以新增 20 个粉丝。
1.3问题提出：
问题一：专业推广者是一种稀缺资源，假设能够找到的专业推广者仅有10人，他们是否愿意为公司工作，取决于公司开出的薪水。由于工资是按日结算，他们随时可能转投工资更高的其它公司。兼职推广者可以大量雇到，但他们必须由专业推广者培训后才能上岗工作，一个专业推广者一天最多培训20人，培训将占用专业推广者的工作时间。甲公司现有网络推广资金20万元，想利用网络推广扩大产品的知名度。该公司的一个竞争对手乙公司也同样计划利用奥运期间进行商品的网络推广，他们同样预算了20万元的推广资金，乙公司目前产品的市场占有率是甲公司的1.5倍。请建立合理的数学模型，帮助甲公司制定一份奥运期间的网络推广的资金使用和用人方案，使得产品推广的效果能够达到最大。
问题二：某黑客公司研制了一个能够自动添加粉丝的软件，售价10000元，该软件一天可以自动发出100000个粉丝添加邀请，待添加的目标用户都是从社交网络中按照广度优先的原则搜索到的，但是其中仅有一些粉丝数较少或者经常无目的添加关注的网友愿意接受邀请。请建立数学模型说明这个软件的出现对上一问题的用人和资金使用方案是否有影响？如果有影响，该如何对方案进行调整？

二、模型假设

1、假设在专业推广者在推广之前，没有人浏览过此奥运信息。
2、假设专业推广者最初粉丝数为零。
3、假设一个兼职推广者经专业推广者培训后就会成为专业推广者。
4、兼职推广者经培训后成为专业推广者不能在培训兼职推广者。
5、假设一个专业推广者或经培养后的兼职推广者从加入公司后，除了工资不会有其他因素影响其离开公司。
6、假设专业推广者在第二天初始增加500个粉丝，普通用户在第二天初始增加20个。
7、假设专业推广者每天增加最多的粉丝即每天500人，普通用户每天也是增加最多的粉丝即每天20人。
8、假设使用黑客软件添加的粉丝，不会转发博主的信息。
9、假设在社交网络中用户发布或者转发了这条含有企业广告的奥运会新闻，看到这条含有企业广告的奥运会新闻的人将会成为用户的粉丝。
10、假设用户的粉丝没有转发这条新闻，则用户的粉丝的粉丝将不可以看到这条新闻。
11、假设没有其他因素对信息到达率和普通用户分享率产生影响。
12、twitter社交网站follow关系数据能正确反映社交网络中粉丝重复率。
题目所给例子的转发率代表大部分实际情况.

三、符号说明

r(y)表示某项技能的价值增长率与人数之间的关系
x表示掌握专业推广者技能的人数
y（x）表示在x人时对应的工资
y0表示当专业推广者为最初10人时的工资
ym表示专业推广者工资的最大值
表示最大工作天数
表示第几个工作日
表示第个工作日分配进来的专业推广者人数
表示总共分配的专业推广者人数。
表示工作天数所构成的向量
表示推广者人数所构成的向量
t 表示的时间（天）
a(t) 表示第t天的转发率
N（t表示专业推广者t天所关注的粉丝数
表示重复率
m 表示专业推广者每天可关注的粉丝数
n 表示普通粉丝每天可以关注的粉丝数
w 表示专业推广者的人数
M 表示人口总数
表示普通粉丝关注的粉丝所占比例
表示由黑客软件发出好友申请的同意率
a 表示第二个工作日的专业推广者100天影响到的粉丝数
b 表示第九个工作日的专业推广者100天影响到的粉丝数

四、问题分析
4.1问题一分析
本文讨论的是在碎片化趋势下奥运会前一百天公司怎样应用固定资金使得自己产品的推广效果得到最大的最优方案。首先考虑到掌握某项技能的人数与他们价值（工资）之间的关系，可建立微分方程模型实现，得到关系后，甲公司为避免和乙公司争抢专业推广者及控制专业推广者每天的工资，可首先聘用专业推广者数名花费一定的时间专门将兼职推广者培训为专业推广者（此专业推广者不能培训兼职推广者）。然后，由题目可知，本题是基于SNS(Social Networking Services）的信息传播问题。通过利用SNS开放的平台，建立“滚雪球”式的宣传模式。而基于SNS的信息传播的方向主要表现为: 小范围有明确指向，大范围呈网状发散[4] 如下图就是一个类似于Twitter用户的社交网络呈网状发散的模拟图：

某个企业的社交网络的专业推广者，本身没有有一定的粉丝，当公司招用以后其每天可增加500个粉丝，推广者在社交网络上发布消息，会被第一层粉丝看到，新增粉丝会把所有相关信息分享给自己的粉丝们（以后简称普通用户），这些普通用户每天又会增加20 粉丝，但这些粉丝并不会都转发这些信息，因此就需要转发率来计算。这样一层一层算下去，看到的人就会很多，即赢得一定的印象度。但是又因为同一个人可能成为两个人的粉丝，因此有重复率，将题中所给的明星粉丝的海量参考数据复制到excel中，然后将excel中的数据导入SQL中在利用SQL数据库的查询功能即可得到粉丝的重复率，最后将总粉丝数减去重复的粉丝数即可得到不重复的粉丝数。
粉丝的增加和信息的转发都是与时间有关的函数，可以分层考虑即，第一层：推广者可以影响到的人即专业推广者的粉丝。第二层：推广者的粉丝可以影响到的人是他们所有的粉丝，包括每天增加的粉丝。第三层，推广者的粉丝的粉丝可以影响到的人。从第三层的这些人开始以后的粉丝都只有一定比例的人会转发原博主的信息，因此只能造成一部分的影响，随着时间的推移（层数的推移），这些影响会越来越小。这即是所谓的递归思想。
利用以上第一个掌握某项技能的人数与他们价值（工资）之间的关系的结果就可以确定出甲公司在培训完兼职推广者后可以剩余多少钱来进行公司的推广，也就能确定甲公司一共用于推广的总天数（用于推广的钱/专业推广者每天的工资）。为使最后得到的粉丝数最多，建立线性规划模型即可得出在培训完后某天招入多少专业推广者可使得最后的粉丝数最多。最后利用传染病模型考虑重复率的情况下即可得到最后能影响的人数。
可利用题中题目中Jamie beck案例的相关数据对建立的模型进行检验。

4.2问题二分析
在问题一的基础上问题二增加了利用黑客软件自动发出好友申请，而这个申请的同意率是一个未知数（我们可设为某个变量）。这样就可以得到使用一个黑客软件能得到多少个粉丝，由于假设黑客软件添加的粉丝不会转发博主的信息，因此，可结合黑客软件的购买费用10000元与这10000元用于开专业推广者资金而得到的影响度进行对比，即可得出最后调整后的甲公司资金使用及用人方案。

五、模型建立与求解
5.1数据分析
本题中所涉及的数据一共可分为三种类型：第一种数据为无关数据，即与本题计算过程及结果无关的数据，例如TOP赞助商的赞助费用变化情况。第二种数据为检验数据，即可用于检验所建模型是否准确的数据，例如题中Jamie Beck案例设计的数据。第三种是相关数据，即与本题计算有密切关联的数据，又可分为三部分。第一部分为题中所说的每天粉丝的扩充数据，第二部分为问题中所说的使用资金等数据，第三部分为另附文件中的数据，由于此数据有80多万条，所以首先将数据复制到excel中，再将其导入SQL数据库中，利用SQL数据库的查询功能得出其重复率。
针对问题二中所涉及的黑客软件的购买费用，每天发送好友申请数量及好友同意率等数据只需利用简单的四则运算，结合第一问的相关数据进行对比即可得出最后的结果。

5.2第一问 模型建立与求解
5.2.1微分方程模型的建立与求解
1.1模型建立
由于甲公司目前的影响力没有乙公司大，而乙公司又支出与甲公司相同的宣传费用，因此考虑到甲公司可能会在录用专业推广者时遇到麻烦，在只有两家公司同时录用的前提下结合到掌握某项技能与其价值（每天的工资）之间的关系，可建立微分方程模型。首先，考虑掌握某项技能的价值增长率与掌握人数之间的比例为常数，建立微分方程并求解，得到最后的结果与实际相差颇大。因此，调整模型，假设掌握某项技能的价值增长率与掌握人数之间的比例为一个与价值有关的函数，可设为r(y)即

建立模型如下：

其中r（y）为价值与人数之间的比例关系，x为掌握专业推广者技能的人数，y(x)为在具有x名专业推广者时每名专业推广者每天的工资。y0为最初只有十名专业推广者时每天的工资。

1.2模型求解
根据上面建立的微分方程，利用matlab求解可得掌握专业推广者技能的人数与每名专业推广者工作一天工资之间的函数关系为：

其中ym为人数增长过程中的工资最大值，根据资料可知在两家公司竞争的条件下可取800元每天，而r是利用人口增长曲线可以得出，在未过峰值以前为0.12，过了峰值以后为0.05.代入这写数据可得：

利用matlab作图可得图形为：（代码见附录1）

由此模型可知：当甲乙两公司竞争专业推广者时，他们的人数在60多一点时工资最高，而在两百人时工资为500元，当人数超过450人时工资差不多维持在200元左右。所以，首先让甲公司利用550元每天的工资将原有的10名专业推广者招入，并且要求他们第一天都进行兼职推广者培训工作，这样经过一天以后具有专业推广者找粉丝技能的人数将变为210人，具有找粉丝及培训兼职推广者的人数任为10人。
这样第一天用于培训兼职推广者为专业推广者（不具有培训兼职推广者技能）所用费用为10*550=5500元，剩余200000-5500=194500元。为使甲公司最后的影响力最大，因此，培训完以后剩余的钱将全部用于后面招纳专业推广者进行粉丝扩充。由于经过第一天以后专业推广者为210人，可以当做200人进行考虑，因为此模型是开始就会开出对应的工资，相当于工资随着时间由低到高总和的平均数。因此，当甲公司招入专业推广者以后，他们都会尽全力为公司招纳粉丝而不会在中途离开。此时，甲公司剩余的钱还能使得专业推广者进行找粉丝的天数为194500/500=389天。在利用以下模型进行进一步求解。

5.2.2线性规划与递归模型的建立与求解
2.1模型建立

要使得最终的粉丝数最多，可将问题转化为如何分配推广者人数使总共工作天数最多。要使工作天数最多，即尽量将人分配到前天，假设为9。则在后面的90天，人会一直工作天。只要使个推广者在前9天的工作时间最多，则能达到总工作时间最多。
假设为第个工作日分配进来的专业推广者人数，根据上面得出的培训天数为1天，而前9天要分配完人，只考虑工作时间，则工作日是从1到9天，分配的人总工作天数为：

对于一个专业推广者，工作第一天增加粉丝数500个，第二天个···采用递归思想可知，当工作第天，增加粉丝数，这天总共增加了个粉丝，结合上述条件，可建立如下线性规划模型，
其中：为最大工作天数，为第几个工作日，为分配的专业推广者人数。

2.2模型求解
由于只能取1,2,3,4，故代入数据，当为4时，可达最大，此时人数为4人。将4人分配到9天里，利用lingo，求解得出：（代码见附录2）

Global optimal solution found.
Objective value: 0.4042105E+14
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost
X( 1) 3.000000 -0.1347368E+14
X( 2) 0.000000 -0.6736842E+12
X( 3) 0.000000 -0.3368421E+11
X( 4) 0.000000 -0.1684210E+10
X( 5) 0.000000 -0.8421050E+08
X( 6) 0.000000 -4210500.
X( 7) 0.000000 -210500.0
X( 8) 1.000000 -10500.00
X( 9) 0.000000 -500.0000

Row Slack or Surplus Dual Price
1 0.4042105E+14 1.000000
2 0.000000 0.000000
3 0.000000 0.000000
4 0.000000 0.000000
5 0.000000 0.000000
6 0.000000 0.000000
7 0.000000 0.000000
8 0.000000 0.000000
9 0.000000 0.000000
10 0.000000 0.000000
11 0.000000 0.000000
即：
第二天，即第一个工作日，分配3个专业推广者工作。
第九天，即第八个工作日，分配1个专业推广者工作。
以后这4个专业推广者会一直工作。
综上，根据人员分配，利用递归思想可算出在不考虑粉丝重复率的情况下的所得的粉丝总数约为：1800000000人。
将题中所给数据复制到excel中然后将数据导入SQL数据库中在利用SQL的查询功能即可得到粉丝重复率为44.3%。因此，排除粉丝重复率以后可得经过上面模型建立的资金使用及用人安排下能得到的粉丝总数为：1002600000人。（查询语句代码见附录:3）

在以下模型进一步求解出此资金使用及用人安排下所能影响到的人数。

5.2.3传染病SIS模型建立与求解
3.1模型建立
设在总的专业推广者的总的宣传工作天数中，有个人工作了天，专业推广者每天可关注的粉丝数为m，普通粉丝每天可以关注的粉丝数为n，重复率为常数，某专业推广者的粉丝在他工作的第t天对该广告的转发率为a(t)，（t<=i），专业推广者在t天中关注的粉丝数量为N(t)。首先，只考虑w个人工作(宣传)了t天，则
第一天：
第二天：
第三天：

以此类推，到第t天的时候

当有个人工作了天时,总粉丝数为

本模型建立以后，考虑到了变化转发率，重复率这两个至关重要的因素，接近实际情况，是一个比较完整的数学模型。但是由于转发率a(t)的不确定性，我们下一步只需将转发率与天数的变化关系模型建立起来就可以了。由于建立以上模型的时候，对于转化率只是笼统的用a(t)表示，并没有真正的数据，但我们知道a(t)的数据是随时间的变化情况而定，所以我们需要计算出变化率随时间的变化情况。
首先，我们先看一个基础模型——传染病模型
（1）不考虑人口的出生、死亡流动等群动力因素。人口始终保持一个常数M。人群分为易感染者和已感染者，时刻这两类人在总人口所占比例分别记作s(t)和i(t)。
（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。设每个病人每天有效接触的平均的人数为，当易感染者与病人接触时就会变成病人。
（3）每天被治愈的病人占总人口的比例为，病人治愈后成为仍可以被感染的健康者。
结合假设（3）得模型应为：
再记初始时刻（）的病人比例为，则
，
为了简化模型设，由的实际意义易知是整个传染期每个病人有效接触的平均人数。利用模型可以写作

以上的文字以及公式叙述是我们上面所讲的传染病模型，然而在本题中，粉丝的重复率和上面的“被治愈的病人总数占总人口的比重所代表的含义相同,转化率a(t)和上面的i(t)所代表的含义相同。故而可直接应用此模型求解。

与传染病模型中的sis模型类似，我们可以利用sis模型的公式加以变形利用。
设粉丝的重复率为，a(t)为第t天粉丝的转发率，为普通粉丝每天可以关注的粉丝数(比例)，即n。再设刚开始宣传时专业推广者的人数所占比例为,则由a(t)+s(t)=1,可得到初值问题
Logistic模型
以上问题中，易通过分离变量法求得结果，其中，。得到a(t)随时间的变化情况为

3.2模型求解

和在上面的模型求解中已得出结果为 ,可理解为=3, =1, =99, =92。再将数据m=500,n=20带入模型进行求解，即可得出结论：
通过专业推广者的宣传后，该企业的广告可被个人看到。代入相关数据以后可得最终由博主发的信息能被46119600人看到，即影响度为46119600人。
综上所述：问题一的资金分配及用人安排为，
100天的第二天，即第一个工作日，分配3个专业推广者工作。
100天的第九天，即第八个工作日，分配1个专业推广者工作。
总使用资金为20万。影响度为46119600人。

5.2.4模型的检验
根据题中所给的信息，Jamie Back有200万粉丝，其中2.5*0.6万人转发了这张图片，在100天的时间里，获得了600万到700万的转发量，而根据我们的转发图形，而应用我们的模型，最终获得了6926583的转发量，与实际数据相符，故本模型值得建立的比较完备，比较精确。

5.3第二问 模型建立与求解
5.3.1模型建立
由题意可知该黑客软件每天能自动100000个好友邀请，而最终的同意率又是一个未知数，因此我们可以设这个同意率为这样就可以得到使用一个黑客软件在100天时间内所能添加到的粉丝数，而题中又假设其所添加的粉丝不会转发其博主的信息，因此，所填加的粉丝数即为其影响力，在100天时间内为：

在第一问中由模型可以知道当一个人从第二天（即第一个工作日）开始到最后结束可以影响到的人数为：a人，当一个人从第九天（即第八个工作日）开始到最后结束可以影响到的人数为：b人。
为使影响力最大，可建立优化模型：

或
或
或
或

5.3.2模型求解

根据问题一可知a=12000000人，b=10000000人。
因此，当>25%时可将100天的第九天，即第八个工作日，分配的那个专业推广者取消而换为使用该黑客软件；此时的总使用资金为：194000元，剩余的6000元还可以在12天找一个专业推广者进行招粉丝。
当<25%时还是按原方案进行。

六、模型评价与推广

6.1模型的优点
通过建立微分方程模型, 在假设的条件下，很好的解决了专业推广者人数和每天工资之间的关系；在计算每天的专业推广者人数和每个专业推广者所影响到的粉丝人数时，使用的模型另辟蹊径，采用了特殊的递归思想求解问题，使文中思路更加清晰，主线明显；同时在粉丝的转化率方面，随着粉丝人数的增加，转化率也会相应的发生变化，重复率也是一个很重要的指标，模型中均做了考虑。

6.2模型的缺点
在设定假设的时候，理想条件太多，这与实际并不是十分符合

6.3模型的改进
本文中的模型仍有些需要改进的地方，比如在考虑粉丝的重复率的时候，我们只是根据数据来得出的一个平均值，而实际上，重复率在粉丝数不断增加的过程中，会有逐渐增大的趋势，用平均值计算难免会产生误差。所以本文中的模型仍有待改进。

6.4模型的推广
每类模型都有其适用的范围和擅长解决的问题，本文所建的模型可以应用在各类信息传播以及推广的实例，具有很强的实用性。例如在人口增长，传染病的传播等一类的预测问题中都可以适用。

七、 参考文献
[1] 月光博客 中国微博市场2011年度数据分析 2012.5.27.
[2] 月光博客 中国微博市场2011年度数据分析 2012.5.27.
[3]陈杨波,营销革命——社交网络化营销时代,市场营销,2011(10)P36-39.
[4]赵静，但琪，数学建模与数学实验，高等教育出版社，2007.

八、 附录
附录1：
ezplot('y+5/3*exp(-0.12*x)*y-800',[10,200,500,800])

附录2：
sets:
days/1..9/:x;
endsets
@for(days:@gin(x));

max=@sum(days(k)|k#ge#1 #and# k#le#9:x(k)*((500/19)*(20^(10-k)-1)));

@for(days(i):@sum(days(j)|j#ge#1 #and# j#le#9:x(j)*(9-j+1))=29);
@sum(days(j)|j#ge#1 #and# j#le#9:x(j))<=4;

附录3：
select (fans),count(fans) from [socialgraph].[dbo].[excel$]
group by stars

select count(fans),count(distinct fans),count(fans)-count(distinct fans)
from[socialgraph].[dbo].[excel$]

16