数学建模作业.docx

数学建模作业
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本作业仅供参考，可能会有错误，请自己甄别。
应用运筹学作业

6.某工厂生产A，B，C，D四种产品，加工这些产品一般需要经刨、磨、钻、镗四道工序，每种产品在各工序加工时所需设备台时如表1-18所示，设每月工作25天，每天工作8小时，且该厂有刨床、磨床、钻床、镗床各一台。问：如何安排生产， 才能使月利润最大？又如A，B，C，D四种产品，每月最大的销售量分别为300件、350件、200件和400件，则该问题的线性规划问题又该如何？
表1-18
产 品
A
B
C
D
刨（台时）
0.3
0.5
0.2
0.4
磨（台时）
0.9
0.5
0.7
0.8
钻（台时）
0.7
0.5
0.4
0.6
镗（台时）
0.4
0.5
0.8
0.7
成本（元/件）
150
100
120
200
售价（元/件）
200
130
150
230
解：该问题的目标是使得月利润最大，故设x1,x2,x3,x4分别为生产A，B，C，D四种产品的数量，则得目标函数：
Max=200-150x1+130-100x2+150-120x3+(230-200)x4
=50x1+30x2+30x3+30x4
生产四种产品所用时间：
0.3+0.9+0.7+0.4x1+0.5+0.5+0.5+0.5x2+0.2+0.7+0.4+0.8x3+0.4+0.8+0.6+0.7x4≤25×8
即：2.3x1+2.0x2+2.1x3+2.5x4≤200
又产品数量不可能为负，所以：xi≥0i=1,2,3,4
综上，该问题的线性规划模型如下：
Max Z=50x1+30x2+30x3+30x4
S.T.2.3x1+2.0x2+2.1x3+2.5x4≤200xi≥0i=1,2,3,4
下求解目标函数的最优解：
max=50*x1+30*x2+30*x3+30*x4;
2.3*x1+2.0*x2+2.1*x3+2.5*x4<200;
Global optimal solution found.
Objective value: 4347.826
Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost
X1 86.95652 0.000000
X2 0.000000 13.47826
X3 0.000000 15.65217
X4 0.000000 24.34783

Row Slack or Surplus Dual Price
1 4347.826 1.000000
2 0.000000 21.73913
故此线性规划的最优解为x1=86.95652，x2，x3，x4=0，最优值为4347.826，即每月生产A产品87件即可获利最大。
若A，B，C，D四种产品，每月最大的销售量分别为300件、350件、200件和400件，则其线性规划模型如下：
Max Z=50x1+30x2+30x3+30x4
S.T.2.3x1+2.0x2+2.1x3+2.5x4≤200x1≤300 x2≤350 x3≤200 x4≤400 xi≥0i=1,2,3,4
7.某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，每种产品都要经过A，B两道工序加工，A工序加工合格率为95%，B工序加工合格率为98%，原料价格为每千克8元，原料占用资金不得超过30000元，已知生产单位产品所需工时，原料消耗，产品单价，A，B两道工序有效工时如表1-19所示，要求安排最优的生产计划，使该厂利润最大？
表1-19

Ⅰ
Ⅱ
工序有效工时
A工序（工时）
0.4
0.6
2000
B工序（工时）
0.3
0.4
1500
原料（千克）
1
2

单价（元/件）
20
28

解：该问题的目标是使得利润最大，设产品Ⅰ和产品Ⅱ的生产数量分别为x1、x2，则得目标函数：
Max=0.95×0.98×20x1+0.95×0.98×28x2-8x1-16x2
=10.62x1+10.068x2
由A、B工序有效工时得：
0.4x1+0.6x2≤2000
0.3x1+0.4x2≤1500
而原料占用资金不得超过30000元，即8x1+16x2≤30000
故该问题的线性规划模型为：
Max Z=10.62x1+10.068x2
S.T.0.4x1+0.6x2≤20000.3x1+0.4x2≤15008x1+16x2≤30000 x1 ,x2≥0
下求解目标函数的最优解：
max=10.62*x1+10.068*x2;
0.4*x1+0.6*x2<2000;
0.3*x1+0.4*X2<1500;
8*x1+16*x2<30000;
Global optimal solution found.
Objective value: 39825.00
Total solver iterations: 1

Variable Value Reduced Cost
X1 3750.000 0.000000
X2 0.000000 11.17200

Row Slack or Surplus Dual Price
1 39825.00 1.000000
2 500.0000 0.000000
3 375.0000 0.000000
4 0.000000 1.327500
即生产3750件产品Ⅰ即可获得最大利润39825元。

8.某厂用6米的角钢切割钢窗用料，每付钢窗含长2.5米的料2根、1.6米的料2根、1米的料4根，若需200付钢窗用料，问最少切割6米的角钢多少根？
解：对每根6米的角钢来说，存在如下表的8种下料方案。
方 案
根 数
长 度

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

Ⅴ

Ⅵ

Ⅶ

Ⅷ
2.5
0
0
0
0
1
1
1
2
1.6
0
1
2
3
0
1
2
0
1
6
4
2
1
3
1
0
1
合计(m)
6
5.6
1.2
5.8
5.5
5.1
5.3
6
料头(m)
0
0.4
0.8
0.2
0.5
0.9
0.7
0
设第j种方案下料的原材料根数为xj，则其线性规划模型如下：
Min Z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8
S.T.x5+x6+x7+2x8≥400 x2+2x3+3x4+x6+2x7≥400 6x1+4x2+2x3+x4+3x5+x6+x8≥800xj≥0，j=1,…,8
下求解目标函数的最优解：
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;
x5+x6+x7+2*x8>400;
x2+2*x3+3*x4+x6+2*x7>400;
6*x1+4*x2+2*x3+x4+3*x5+x6+x8>800;

Global optimal solution found.
Objective value: 411.1111
Total solver iterations: 5

Variable Value Reduced Cost
X1 77.77778 0.000000
X2 0.000000 0.5555556E-01
X3 0.000000 0.1111111
X4 133.3333 0.000000
X5 0.000000 0.8333333E-01
X6 0.000000 0.1388889
X7 0.000000 0.2777778E-01
X8 200.0000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price
1 411.1111 -1.000000
2 0.000000 -0.4166667
3 0.000000 -0.2777778
4 0.000000 -0.1666667

故最少切割6米的角钢412根，其中按方案1切割78根，按方案4切割134根，按方案8切割200根。

9.某贸易公司从事某种粮食批发业务，公司现有5000吨的仓库，1月1日公司拥有库存1000吨，并有资金5000000元，估计第一季度该种粮食的价格如表1-20所示。
表1-20
月 份
进货价（元/吨）
出货价（元/吨）
1
2250
2350
2
2350
2470
3
2300
2410
如买进的粮食当月到货，需到下月才能卖出，且买进“货到付款”，卖出“款到发货”，公司希望本季度末库存为1500吨，问应采取什么样的买进与卖出策略才能使三个月的总利润最大？
解：设三个月月末进货分别为x1,x2,x3，出货分别为y1,y2,y3，分析可知x2=0
则该问题的目标函数为：
Max=24700-100y1+2470y2+2410y3-2300x3-2250x1
其线性规划模型如下：
Max=24700-100y1+2470y2+2410y3-2300x3-2250x1
S.T.2250x1≤5000000+2350y1 y1≤1000 y2≤1000+x1-y1 y3≤1000+x1-y1-y2 y3=x1+x3-y1-y2-1000
下求解目标函数的最优解：
max=2470000-100*y1+2470*y2+2410*y3-2300*x3-2250*x1;
2250*x1<5000000+2350*y1;
y1<1000;
1000+x1-y1<5000;
y2<1000+x1-y1;
y3<1000+x1-y1-y2;
y3=x1+x3-y1-y2-1000;

Global optimal solution found.
Objective value: 828888.9
Total solver iterations: 1

Variable Value Reduced Cost
Y1 0.000000 2340.222
Y2 3222.222 0.000000
Y3 0.000000 60.00000
X3 2000.000 0.000000
X1 2222.222 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price
1 828888.9 1.000000
2 0.000000 0.9777778E-01
3 1000.000 0.000000
4 1777.778 0.000000
5 0.000000 0.000000
6 0.000000 170.0000
7 0.000000 2300.000
故1月份买进2222.2吨，3月份买进2000吨，2月份卖出3222.2吨即可获得最大利润828888.9元。

11.某饲料厂用A，B，C三种天然饲料来混合配置甲、乙两种混合饲料，要求在混合饲料甲中含蛋白质不少于0.5%，矿物质不少于0.1%，维生素不少于0.08%；乙中含蛋白质不少于0.4%,矿物质不少于0.11%，维生素不少于0.07%。混合饲料甲的售价为1元/千克，乙的售价为0.9元/千克，加工费甲为0.2元/千克，乙为0.15元/千克。已知天然饲料A，B，C中蛋白质、矿物质、维生素的含量，A，B，C的单价及每周的限用量如表1-22所示。问该厂应如何安排生产，才能使利润收入为最大？
表1-22
天然饲料
蛋白质(%)
矿物质(%)
维生素(%)
单价
(元/千克)
每周限制用量(千克)
A
0.8
0.05
0.19
0.5
5000
B
0.3
0.13
0.05
0.4
1000
C
0.4
0.09
0.09
0.45
8000
解：设每周生产甲饲料用A，B，C天然饲料各x1,x2,x3，每周生产乙饲料用A，B，C天然饲料各y1,y2,y3，则得目标函数：
Max=0.3x1+0.4x2+0.35x3+0.25y1+0.35y2+0.3y3
对甲饲料:
蛋白质含量：0.8x1+0.3x2+0.4x3≥0.5(x1+x2+x3)
矿物质含量：0.05x1+0.13x2+0.09x3≥0.1(x1+x2+x3)
维生素含量：0.19x1+0.05x2+0.09x3≥0.08(x1+x2+x3)
同理，对乙饲料也有上述关系式。
A原料的周限用量为：x1+y1≤5000，对B、C原料同理。
综上，该问题的线性规划模型如下：
Max Z=0.3x1+0.4x2+0.35x3+0.25y1+0.35y2+0.3y3
S.T.0.8x1+0.3x2+0.4x3≥0.5(x1+x2+x3) 0.05x1+0.13x2+0.09x3≥0.1x1+x2+x3 0.19x1+0.05x2+0.09x3≥0.08x1+x2+x3 0.8y1+0.3y2+0.4y3≥0.4(y1+y2+y3) 0.05y1+0.13y2+0.09y3≥0.11(y1+y2+y3) 0.19y1+0.05y2+0.09y3≥0.07(y1+y2+y3) x1+y1≤5000 x2+y2≤1000 x3+y3≤8000 xi≥0,yi≥0(i=1,2,3)
下求解目标函数的最优解：
max=0.3*x1+0.4*x2+0.35*x3+0.25*y1+0.35*y2+0.3*y3;
0.8*x1+0.3*x2+0.4*x3>0.5*(x1+x2+x3);
0.8*y1+0.3*y2+0.4*y3>0.4*(y1+y2+y3);
0.05*x1+0.13*x2+0.09*x3>0.1*(x1+x2+x3);
0.05*y1+0.13*y2+0.09*y3>0.11*(y1+y2+y3);
0.19*x1+0.05*x2+0.09*x3>0.08*(x1+x2+x3);
0.19*y1+0.05*y2+0.09*y3>0.07*(y1+y2+y3);
x1+y1<5000;
x2+y2<1000;
x3+y3<8000;

Global optimal solution found.
Objective value: 487.5000
Total solver iterations: 10

Variable Value Reduced Cost
X1 0.000000 0.000000
X2 0.000000 0.000000
X3 0.000000 0.4500000
Y1 250.0000 0.000000
Y2 1000.000 0.000000
Y3 250.0000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price
1 487.5000 1.000000
2 0.000000 -4.625000
3 0.000000 -1.625000
4 0.000000 -33.75000
5 0.000000 -15.00000
6 0.000000 0.000000
7 15.00000 0.000000
8 4750.000 0.000000
9 0.000000 0.4875000
10 7750.000 0.000000
故该厂每周获得最大利润为487.5元。

数学建模与数学实验作业

1.对以下问题，编写M文件：
(1)用起泡法对10个数由小到大排序，即将相邻两个数比较，将小的调到前面。
解：编写M文件f1.m如下：
function y=f1(x)
[m,n]=size(x);
for i=1:n
for j=1:n-1
if (x(j)>x(j+1))
a=x(j);
x(j)=x(j+1);
x(j+1)=a;
end
end
end
y=x;
例如对12,2,32,34,5,24,78,7,9,97用起泡法排序，则编写程序如下：
>>a=[12 2 32 34 5 24 78 7 9 97];
f1(a)
运行结果如下：
ans =
2 5 7 9 12 24 32 34 78 97
(2)有一个4×5阶矩阵，编程求出其最大值及其所处的位置。
解：编写M文件fun.m如下:
function fun(x)
[c,t]=max(c);
[y,i]=max(c);
t(i);
disp(['最大值为:',num2str(y)]);
disp(['位置为:',num2str(t(i)),'行',num2str(i),'列']);
end
例如有以下矩阵：

则编写程序如下：
>>a=[1 4 2 1 5;3 5 0 8 1;1 2 7 5 2;6 4 5 2 0];
fun(a)
运行结果为：
a =
1 4 2 1 5
3 5 0 8 1
1 2 7 5 2
6 4 5 2 0
最大值为：8
位置为：2行4列
(3)编程求
解：编写M文件JCH.m如下：
function y=JCH(n)
y=1;
for i=1:n
for j=1:i;
z=(i-1)*i;
end
y=y+z;
end
则编写程序：JCH(20)
运行结果为：
>>JCH(20)
ans =
2661
(4)一球从100m的高度自由落下，每次落地后反跳回原来高度的一半，再落下，求它在第10次落地时，共经过多少米？第10次反弹有多高？
解：编写M文件sh.m如下：
function [s,h]=sh(n)
z=100;
s=z;
for i=1:n-1
z=z/2;
s=s+2*z;
end
h=z/2;
则编写程序:sh(10)
运行结果为：
>> sh(10)
ans =
299.6094
(5)有一函数fx,y=x2+sinxy+2y，写一程序，输入自变量的值，输出函数值。
解：编写M文件f.m如下：
function y=f(x,y)
y=x^2+sin(x*y)+2*y;
end
若输入自变量(2,4),则程序运行结果如下：
>> f(2,4)
ans =
12.9894
2.用plot，fplot绘制函数y=cos(tan(πx))的图形。
解：用plot绘制：
>>x=0:1e-4:1
plot(cos(tan(pi*x)))
用fplot绘制：fplot('cos(tan(pi*x))',[0,1],1e-4)
运行结果为：

3.用ezplot绘制exy-sinx+y=0在[-3,3]上的图形。
解：ezplot('exp(x*y)-sin(x+y)',[-3,3])
运行结果为：

4.用ezplot绘制摆线x=at-sint,y=a1-cost,t∈[0,2π] 的图形。
解：取a=1，编程为：
>> ezplot('t-sin(t)','1-cos(t)',[0,2*pi])
运行结果为：

5.用surf，mesh绘制曲面z=2x2+y2。
解：编写如下程序：
用mesh绘制：
x=-3:0.1:3;
y=-3:0.1:3;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=2*X^2+Y^2;
mesh(X,Y,Z)
其运行结果如下：

用surf绘制：
x=-3:0.1:3;
y=-3:0.1:3;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=2*X^2+Y^2;
surf(X,Y,Z)
其运行结果如下：

6.用polar绘制阿基米德螺线r=aθ和三叶玫瑰线r=acos3θ。
解：用polar绘制阿基米德螺线的程序如下：
a=100;
thita=0:0.1:2*pi;
rho=a*thita;
polar(thita,rho)
其运行结果为：

用polar绘制三叶玫瑰线的程序如下：
a=2;
thita=0:0.1:2*pi;
rho=a*sin(3*thita);
polar(thita,rho)
其运行结果如下：

7.在同一平面的两个窗口中分别画出心形线和马鞍面，要求：
(1)在图形上加格栅、图例和标注；
(2)定制坐标；
(3)以不同的角度观察马鞍面。
解：编写以下程序：
subplot(2,2,1);
ezplot('2*(2*cos(t)-cos(2*t))','2*(2*sin(t)-sin(2*t))');
title('心形线');
view(-45,45);
subplot(2,2,2);
[X,Y]=meshgrid(-2:0.1:2);
Z=X.^2-Y.^2; surf(X,Y,Z);
colormap('default');
grid on;view(40,0);
title('以(40,0)视角观看马鞍面');
subplot(2,2,3);surf(X,Y,Z);
colormap('default');
grid on;view(-60,10);
title('以(-60,10)视角观看马鞍面');
subplot(2,2,4);surf(X,Y,Z);
colormap('default');
grid on;view(10,20);
title('以(10,20)视角观看马鞍面');
运行结果为：

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