惠州市2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试题及答案.doc

惠州市2017—2018学年第一学期期末考试
高二数学（文科）试题
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设命题，则为(　　)
A．　 B．
C． D．
（2）某公司10位员工的月工资(单位：元)为，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为(　　)
A． B． C． D．
（3）已知△ABC的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)
A．8 B．4 C． D．
（4）双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(　　)
A． B． C．1 D．
（5）设，则“”是“”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
（6）十进制数49化成二进制数是(　　)
A． B． C． D．
（7）某校高二年级有1221名同学，现采用系统抽样方法抽取37名同学做问卷调查，将1221名同学按1,2,3,4，...，1221随机编号，则抽取的37名同学中，标号落入区间[496,825]的人数有（ ）
A．12人 B．11人 C．10人 D．9人
（8）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，考虑以下结论：

甲

乙

8
0

4
3
3
6
6
8
3
8
9

1
1
2
3
4
5
2
5
1
4
0
5
4
6
9

1

6

7

9
①甲运动员得分的中位数大于乙运动员
得分的中位数；
②甲运动员得分的中位数小于乙运动员
得分的中位数；
③甲运动员得分的标准差大于乙运动员
得分的标准差；
④甲运动员得分的标准差小于乙运动员
得分的标准差；
其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为(　　)
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
（9）如右图，设直线过椭圆的左焦点和一个顶点，则这个椭圆的离心率(　　)
A．　　　　 B．
C． D．
（10）函数的单调递增区间是(　　)
　A． B．（0，3） C．（1，4） D．
（11）椭圆的左、右顶点分别为，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
（12）某中学早上8点开始上课，若学生小明与小方均在早上7：40至8：00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小明比小方至少早5分钟到校的概率为(　　)
A． B． C． D．
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
（13）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为________.
（14）已知函数且
则________.
（15）如右图，程序框图中，若输入，
则输出的值是________.
（16）设抛物线：的焦点为，斜率为的直线
过点且与抛物线交于两点，则________.

三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分10分）
某种饮料每箱6听，其中4听（标记为1，2，3，4）合格，2听（标记为 ）不合格，质检人员从中随机抽出2听检测.
（1）列出所有可能的抽取结果；
（2）求检测出不合格产品的概率.

（18）（本小题满分12分）
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：

质量指标
值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125)
频数
6
26
38
22
8

（1）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；

（2）估计这种产品质量指标值的平均数.

（19）（本小题满分12分）
设函数．
（1）求函数的极值；
（2）证明: ．

（20）（本小题满分12分）
年生活垃圾无害化处理量y
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；
（2）预测2018年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：
参考公式：设具有线性相关关系的两个变量的一组观察值为，
则回归直线方程的系数为：
， .
参考数据: ，.

（21）（本小题满分12分）
已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2） 已知是椭圆的左顶点，斜率为的直线交椭圆于，两点，
点在上，，，证明：.

（22）（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若当时，成立，求的取值范围.

高二数学试题（文科）参考答案与评分标准
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B(D)
D
A
C
C
C
C
C
A
D
B
D
1.【解析】选B或D．
2.【解析】每个数据都加上了100，故平均数也增加100，而离散程度应保持不变，故选D.
3.【解析】设椭圆的另一个焦点为F，根据椭圆的定义可得，,所以,再根据椭圆的方程可知，可得△ABC的周长为8，故选A
4.【解析】等轴双曲线的焦点坐标是，渐近线是，选其中一个焦点坐标和一条直线方程，直接用点到直线距离公式或画出图形利用三角形知识求得距离为1，故选C．
5.【解析】由不等式x2＋x－2>0，得x>1或x<－2，所以由x>1可以得到不等式x2＋x－2>0成立，但由x2＋x－2>0不一定得到x>1，所以x>1是x2＋x－2>0的充分不必要条件,故选B

6.【解析】直接用“除2取余法” 求得或用验证法可得，故选C.
7.【解析】使用系统抽样方法，从1221人中抽取37人，即从33人抽取1人，所以从区间共330人中抽取10人，故选C.
8.【解析】甲运动员每场比赛得分按从小到排列是：08,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51,中位数是26，乙运动员每场比赛得分按从小到排列是：12,15,24,25,31, 31,36,36,37,39,44,49,50, 中位数是36，所以②对；从叶在茎上的分布情况看，乙运动员的得分更集中于峰值附近，这说明乙运动员的发挥更稳定，即标准差更小，所以③对，所以选C.
9.【解析】由已知得，，，故，，故选A.
10.【解析】，令，得，所以选D.
11.【解析】因为，又，可得，解得，故选B.
12.【解析】设小明到校的时间为x，小方到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|40≤x≤60，40≤y≤60}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小明比小方至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，
则符合题意的区域为△ABC，联立得C（55，60），由得B（40，45），
则S△ABC=×15×15，由几何概率模型可知小明比小方至少早5分钟到校的概率为=，故选D
二．填空题
13. 14. 15. 20 6.
13. 【解析】甲不输概率为
14.【解析】由得解得.
15.【解析】第一次执行循环体时，a=4,判断框的条件不成立，i=2;
第二次执行循环体时，a=8,判断框的条件不成立，i=3;
第三次执行循环体时，a=12,判断框的条件不成立，i=4;
第四次执行循环体时，a=16,判断框的条件不成立，i=5;
第五次执行循环体时，a=20,判断框的条件成立，输出a=20，i=5.
16. 【解析】由题意可得抛物线焦点F(1,0)，直线的方程为，代入并化简得，设, 则
17. .
三．解答题
17.解:（1）所有可能的抽取结果是、、、、、、、、、、、、、、...........5分
（2）不合格产品包含的结果有、、、、、、、、共9种结果。 ..........8分
又由(Ⅰ)知所有可能的抽取结果共15种，
所以检测出不合格产品的概率. .......10分

18．解：（1）频率分布直方图如下：

.....6分
（2）估计这种产品质量指标值的平均数为
..........12分

19.解析：（1）由题设，函数的定义域为， ..........1分
， ..........2分
令，得. .........3分
当，即时；当，即时. .........5分
当变化时， ，的变化情况如下表：

1

+
0
－

单调递增
极大值0
单调递减
.........7分
因此，当，函数有极大值，并且极大值为. ......8分
（2）由（1）可知函数在处取得最大值，且最大值为0....10分
即，得. .........12分
20.解析：（1）由折线图中数据和附注中参考数据得 ....1分
， ..........2分
..........3分
因此 ..........6分
又由 ..........7分
得. ..........8分
所以，关于的回归方程为：. ..........9分
注意：为使系数精确到0.01的值更精准，前面和小数点后应保留3位参与运算.
（2）将2018年对应的 ..........10分
代入回归方程得： .
所以预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约2.02亿吨. .........12分
21.解析：（1）解法一：由焦点的坐标设椭圆标准方程是．
又知半焦距，∴． ① ..........1分
∵点在椭圆上，则． ② ..........2分
由①、②解得，，． ..........3分
∴椭圆的方程为． ..........4分
解法二：由焦点的坐标设椭圆标准方程是．
设左、右焦点是 ∵点在椭圆上，
∴，即．..........2分
由已知半焦距，∴． ..........3分
∴椭圆的方程为． ..........4分
解法三：由焦点的坐标设椭圆标准方程是．设左、右焦点是
又∵点在椭圆上，∴
∴，
∴，即． ..........2分
由已知半焦距，∴． ..........3分
∴椭圆的方程为． ..........4分
（2）由（1）知 ，直线的方程是 ..........5分
将方程代入得. ..........6分
设，则由题意知，由得，
故. ..........7分
由题设，直线的方程为，故同理可得. ..........8分
由得，即. ..........9分
设，则是的零点， ..........10分
，
所以在单调递增，又，.......11分
因此在有唯一的零点，且零点在内，所以. ..........12分
22.解析：（1）的定义域为. ..........1分
当时，所以 .......... 2分
, ..........3分
..........4分
所以曲线在处的切线方程为即 ..........5分
（2）当时，等价于
令， ..........6分
则， ..........7分
（i）当，时， ，
故在上单调递增，因此； ..........9分
（ii）当时，令得，
由和得，
故当时，，在单调递减，因此...........11分
综上，的取值范围是 ..........12分

高二数学（文科）试题 第 14 页，共 14 页