北京市2019年初三数学一模试题分类汇编——尺规作图题.doc

2019年北京市各区一模数学试题分类汇编——尺规作图
（房山）17. 下面是小明设计的“作三角形的高线”的尺规作图过程.
已知：△ABC．
求作：BC边上的高线．

作法：如图，
①以点C为圆心，CA为半径画弧；
②以点B为圆心，BA为半径画弧，两弧相交于点D；
③连接AD，交BC的延长线于点E．
所以线段AE就是所求作的BC边上的高线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1） 使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2） 完成下面证明.
证明：∵CA=CD，
∴点C在线段AD的垂直平分线上（ ） （填推理的依据）．
∵ = ，
∴点B在线段AD的垂直平分线上．
∴ BC是线段AD的垂直平分线.
∴AD⊥BC．
∴AE就是BC边上的高线．

（门头沟）19．下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图的过程．
已知：如图1，⊙O．
求作：正方形ABCD，使正方形ABCD内接于⊙O．

图1

作法：如图2，
图2

① 过点O作直线AC，交⊙O于点A和C；
② 作线段AC的垂直平分线MN，交⊙O于点B和D；
③ 顺次连接AB，BC，CD和DA；
则正方形ABCD就是所求作的图形．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明： ∵ AC是⊙O的直径，
∴ ∠ABC =∠ADC = °，
又∵点B在线段AC的垂直平分线上，
∴ AB = BC，
∴ ∠BAC = ∠BCA = °．
同理 ∠DAC = 45°．
∴ ∠BAD = ∠BAC +∠DAC = 45° + 45° = 90°．
∴ ∠DAB = ∠ABC = ∠ADC = 90°，
∴ 四边形ABCD是矩形（　 ）（填依据），
又∵ AB = BC，
∴ 四边形ABCD是正方形．

（密云）17.下面是小明设计的“已知底和底边上的高作等腰三角形”的尺规作图过程.
已知：如图1，已知线段a和线段b.
求作：等腰三角形ABC，使得AC=BC，AB=a，CD⊥AB于D，CD=b.

作法：
①如图2，作射线AM ，在AM上截取AB=a；
②分别以A、B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于E、F两点；
③连结EF，EF交AB与点D；
④以点D为圆心，以b为半径作弧交射线DE于点C.
⑤连结AC，BC.
所以，为所求作三角形.
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留痕迹）；
（2）完成下面的证明.
AE=BE=AF=BF，
四边形AEBF为______________.
AB与EF交于点D，
EF⊥AB，AD=________.
点C在EF上，
BC=AC（填写理由:______________________________________）

（平谷）17．下面是小元设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．
已知：如图，∠AOB．
求作：∠AOB的角平分线OP．
作法：如图，

①在射线OA上任取点C；
②作∠ACD=∠AOB；
③以点C为圆心CO长为半径画圆，交射线CD于点P；
④作射线OP；
所以射线OP即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．
（1）补全图形；
（2）完成下面的证明：
证明：∵ ∠ACD=∠AOB，
∴ CD∥OB（____________）（填推理的依据）．
∴∠BOP=∠CPO．
又∵ OC=CP，
∴∠COP=∠CPO（____________）（填推理的依据）．
∴∠COP=∠BOP．
∴ OP平分∠AOB．

（石景山）17．下面是小立设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l及直线l外一点A．
求作：直线AD，使得AD∥l．

图1

作法：如图2，

图2

①在直线l上任取一点B，连接AB；
②以点B为圆心，AB长为半径画弧，
交直线l于点C；
③分别以点A，C为圆心，AB长为半径
画弧，两弧交于点D（不与点B重合）；
④作直线AD．
所以直线AD就是所求作的直线．
根据小立设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）
证明：连接CD．
∵AD=CD=BC=AB，
∴四边形ABCD是 （ ）．
∴AD∥l（ ）．

（通州）19．已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°.
求作：射线CG，使得CG∥AB．

图1 图2
下面是小东设计的尺规作图过程．
作法：如,2，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点；
②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；
③以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧在∠FCB内部交于点G；
④作射线CG．所以射线CG就是所求作的射线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接FG、DE.
∵△ADE ≌ △_________，
∴∠DAE = ∠_________．
∴CG∥AB（__________________________）（填推理的依据）．

（延庆）17．下面是小东设计的“已知两线段，求作直角三角形”的尺规作图过程．
已知：线段a及线段b（）．
求作：Rt△ABC，使得a，b分别为它的直角边和斜边．

作法：如图，

①作射线，在上顺次截取；
②分别以点，为圆心，以b的长为半径画弧，两弧交于点；
③连接，．则△ABC就是所求作的直角三角形．
　　根据小东设计的尺规作图过程，
　　（1）补全图形，保留作图痕迹；
（2）完成下面的证明．
　　 证明：连接AD
∵　 =AD，CB=　 ，
∴（　 ）（填推理的依据）．

（燕山）19．下面是“过直线外一点作已知直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．

求作：直线PQ，使得PQ⊥l，垂足为Q．

作法：如图，

①在直线l上任取一点A；
②以点P为圆心，PA为半径作圆，交直线l于点B；
③分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，
两弧相交于点C；
④连接PC交直线l于点Q．
则直线PQ就是所求作的垂线．
根据上述尺规作图过程，
(1) 使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
(2) 完成下面的证明：
证明：∵PA＝ ，AC＝ ，
∴PQ⊥l．（ ）（填推理的依据）

（西城）19．下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程．
已知：⊙O．
求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD内接于⊙O，且其对角线AC,BD的夹角为60°．

作法：如图，

①作⊙O的直径AC；
②以点A为圆心,AO长为半径画弧,交直线AC上方的圆弧于点B；
③连接BO并延长交⊙O于点D；
④连接AB，BC，CD，DA.
所以四边形ABCD就是所求作的矩形
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
（2）完成下面的证明
证明：∵点A,C都在⊙O上，
∴OA=OC．
同理OB=OD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°( )(填推理的依据) ．
∴四边形ABCD是矩形．
∵AB= =BO，
∴∠AOB=60°．
∴四边形ABCD是所求作的矩形．

（顺义）19.下面是小明同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.
已知：直线l及直线l外一点P.

求作：直线PQ,使得PQ⊥l.

作法：如图，
① 在直线l上取一点A，以点P为圆心，PA长为半径画弧，与直线l交于另一点B；
② 分别以A，B为圆心，PA长为半径在直线l下方画弧，两弧交于点Q；
③ 作直线PQ.
所以直线PQ为所求作的直线.

根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：连接PA，PB，QA，QB.
∵PA=PB=QA=QB，
∴四边形APBQ是菱形（ ）（填推理的依据）．
∴PQ⊥AB（ ）（填推理的依据）．
即PQ⊥l．

（丰台）17. 下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l上一点A．
求作：直线AB，使得AB⊥l．
作法：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，交直线l于C，D两点；
②分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径画弧，
两弧在直线l一侧相交于点B；
③作直线AB．
所以直线AB就是所求作的垂线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AC =  ，BC =  ，
∴AB⊥l（ ）．（填推理的依据）．

（东城）17.下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线BC及直线BC外一点P.

求作：直线PE，使得PE∥BC．
作法：如图，

①在直线BC上取一点A，连接PA；
②作∠PAC的平分线AD；
③以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AD于点E；
④作直线PE．
所以直线PE就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AD平分∠PAC，
∴∠PAD=∠CAD．
∵PA=PE，
∴∠PAD=________．
∴∠PEA=________．
∴PE∥BC．（____________________________________________________）（填推理的依据）

（海淀）19．下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．

求作：直线PQ，使PQ∥l．
作法：如图，

① 在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；
② 连接PA，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；
③ 作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PB，QB，
∵ PA=QB，
∴ _____，
∴ ∠PBA=∠QPB（____________________）（填推理的依据），
∴ PQ∥l（____________________）（填推理的依据）．

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