高中数学第一章基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)练习.doc

1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一） A基础达标1给出下列结论：(sin x)cos x；若f(x)，则f(3)；(ex)ex；(log4x).其中正确的有()A1个 B2个C3个 D4个解析：选D.因为(sin x)cos x，所以正确；f(x)(x2)2x3，则f(3)，所以正确；因为(ex)ex，所以正确；因为(log4x)，所以正确2若幂函数f(x)mx的图象经过点A，则它在点A处的切线方程是()A2xy0 B2xy0C4x4y10 D4x4y10解析：选C.因为函数f(x)mx为幂函数，所以m1.又幂函数f(x)x的图象经过点A，所以，所以f(x)x，f(x)，f1，所以f(x)的图象在点A处的切线方程为yx，即4x4y10.3过曲线ycos x上一点P且与曲线在点P处的切线垂直的直线方程为()A2xy0B.x2y10C2xy0D.x2y10解析：选A.因为ycos x，所以ysin x，曲线在点P处的切线斜率是y|xsin，所以过点P且与曲线在点P处的切线垂直的直线的斜率为，所以所求的直线方程为y，即2xy0.4设曲线yxn1(nN*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1x2xn的值为()A. B.C. D1解析：选B.由题意得xn，则x1x2xn，故选B.5已知点P在曲线y2sincos上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是()A. B.C. D.解析：选D.因为y2sincossin x，所以ycos x，设P(x0，y0)由题意，知切线的斜率存在，则曲线在点P处的切线的斜率ktan cos x0，所以1tan 1.因为0，所以，故选D.6已知函数f(x)，且f(a)f(a)2，则a_解析：f(x)，所以f(x)，f(a)f(a)2.即2a2a10，解得a1或a.答案：1或7曲线yx3在点(1，1)处的切线与x轴、直线x2所围成的三角形的面积为_解析：因为y3x2.所以切线的斜率为y|x13123，所以切线方程为y13(x1)，与x轴的交点为，与直线x2的交点为(2，4)所以S4.答案：8设曲线yex在点(0，1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为_解析：设f(x)ex，则f(x)ex，所以f(0)1.设g(x)(x0)，则g(x).由题意可得g(xP)1，解得xP1.所以P(1，1)答案：(1，1)9求与曲线yf(x)在点P(8，4)处的切线垂直，且过点(4，8)的直线方程解：因为y，所以y()x.所以f(8)8，即曲线在点P(8，4)处的切线的斜率为.所以适合条件的直线的斜率为3.从而适合条件的直线方程为y83(x4)，即3xy200.10点P是曲线yex上任意一点，求点P到直线yx的最小距离解：根据题意设平行于直线yx的直线与曲线yex相切于点P(x0，y0)，该切点即为与yx距离最近的点，如图则在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，即y|xx01.因为y(ex)ex，所以ex01，得x00，代入yex，得y01，即P(0，1)利用点到直线的距离公式得距离为.B能力提升11若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质下列函数中具有T性质的是()Aysin x Byln xCyex Dyx3解析：选A.设函数yf(x)的图象上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为k1f(x1)，k2f(x2)，若函数具有T性质，则k1k2f(x1)f(x2)1.对于A选项，f(x)cos x，显然k1k2cos x1cos x21有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，f(x)(x0)，显然k1k21无解，故该函数不具有T性质；对于C选项，f(x)ex0，显然k1k2ex1ex21无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，f(x)3x20，显然k1k3x3x1无解，故该函数不具有T性质故选A.12设f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则f2 018(x)_解析：由已知f1(x)cos x，f2(x)sin x，f3(x)cos x，f4(x)sin x，f5(x)cos x，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为3，则f2 018(x)f2(x)sin x.答案：sin x13若曲线f(x)x2在点(a，a2)(a0)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，求loga的值解：由题意，得f(x)2x3，所以曲线f(x)在点(a，a2)处的切线方程为ya22a3(xa)，令x0，得y3a2，令y0，得x.所以3a2a3，解得a.所以loga2.14(选做题)已知两条曲线y1sin x，y2cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由解：不存在理由如下：由于y1sin x，y2cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，所以两条曲线在P(x0，y0)处切线的斜率分别为k1y1|xx0cos x0，k2y2|xx0sin x0.若使两条切线互相垂直，必须使cos x0(sin x0)1，即sin x0cos x01，也就是sin 2x02，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直