高中数学必修1-5知识点归纳及公式大全.doc

高一数学常用公式及结论
必修1：
一、集合1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性
（2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法
2、集合间的关系：子集：对任意，都有 ，则称A是B的子集。记作
真子集：若A是B的子集，且在B中至少存在一个元素不属于A，则A是B的真子集，
记作AB 集合相等：若：,则
3. 元素与集合的关系：属于 不属于： 空集：
4、集合的运算：并集：由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集，记为
交集：由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集，记为
补集：在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集，
记为
5．集合的子集个数共有 个；真子集有–1个；非空子集有 –1个；
6.常用数集：自然数集：N 正整数集： 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R
二、函数的奇偶性
1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域）
2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；
（2）偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；
（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；
（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
二、函数的单调性
1、定义：对于定义域为D的函数f ( x )，若任意的x1, x2∈D，且x1 < x2
① f ( x1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) – f ( x2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数
② f ( x1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) – f ( x2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数
2、复合函数的单调性: 同增异减
三、二次函数y = ax2 +bx + c（）的性质
1、顶点坐标公式：， 对称轴：，最大（小）值：
2.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式; (2)顶点式;
(3)两根式.
四、指数与指数函数
1、幂的运算法则：
（1）a m • a n = a m + n ，（2），（3）( a m ) n = a m n （4）( ab ) n = a n • b n
（5） （6）a 0 = 1 ( a≠0)（7） （8）（9）
2、根式的性质
（1）.
（2）当为奇数时，； 当为偶数时，.

4、指数函数y = a x (a > 0且a≠1)的性质：
（1）定义域：R ； 值域：( 0 , +∞) （2）图象过定点（0，1）

Y
0
X
1
a > 1
0
Y
X
1
0 < a < 1

5.指数式与对数式的互化： .
五、对数与对数函数
1对数的运算法则：
（1）a b = N <=> b = log a N（2）log a 1 = 0（3）log a a = 1（4）log a a b = b（5）a log a N = N
（6）log a (MN) = log a M + log a N （7）log a () = log a M -- log a N
（8）log a N b = b log a N （9）换底公式：log a N =
（10）推论 (,且,,且,, ).
（11）log a N = （12）常用对数：lg N = log 10 N （13）自然对数：ln A = log e A （其中 e = 2.71828…） 2、对数函数y = log a x (a > 0且a≠1)的性质：
（1）定义域：( 0 , +∞) ； 值域：R （2）图象过定点（1，0）
X
0
Y
1
0 < a < 1
0
Y
X
1
a >1

六、幂函数y = x a 的图象:（1） 根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 .
a < 0
0 < a < 1
a > 1

例如： y = x 2
七.图象平移：若将函数的图象右移、上移个单位，
得到函数的图象； 规律：左加右减，上加下减
八. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.
九、函数的零点：1.定义：对于，把使的X叫的零点。即
的图象与X轴相交时交点的横坐标。
2.函数零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条
曲线，并有，那么在区间内有零点，即存在，
使得，这个C就是零点。
3.二分法求函数零点的步骤：（给定精确度）
（1）确定区间，验证;(2)求的中点
（3）计算①若，则就是零点；②若，则零点
③若，则零点；
（4）判断是否达到精确度，若，则零点为或或内任一值。否
则重复（2）到（4）
必修2：一、直线与圆 1、斜率的计算公式：k = tanα= （α ≠ 90°，x 1≠x 2）
2、直线的方程（1）斜截式 y = k x + b,k存在 ；（2）点斜式 y – y 0 = k ( x – x 0 ) ，k存在；
（3）两点式 （） ；4）截距式 （）
（5）一般式
3、两条直线的位置关系：

l1：y = k1 x + b1
l2：y = k 2 x + b2
l1： A1 x + B1 y + C1 = 0
l2： A2 x + B2 y + C2 = 0
重合
k1= k 2且b1= b2

平行
k1= k 2且b1≠ b2

垂直
k1 k 2 = – 1
A1 A2 + B1 B2 = 0
4、两点间距离公式：设P1 ( x 1 , y 1 ) 、P 2 ( x 2 , y 2 )，则 | P1 P2 | =
5、点P ( x 0 , y 0 )到直线l ：A x + B y + C = 0的距离：
7、圆的方程

圆的方程
圆心
半径
标准方程
x 2+ y 2= r 2
（0，0）
r
(x – a ) 2 + ( y – b ) 2 = r 2
（a，b）
r
一般方程
x 2 + y 2 +D x + E y + F = 0

8.点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种若，则 点在圆外;点在圆上;点在圆内.
9.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d)
直线与圆的位置关系有三种:
;;.
10.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
;
;
;
;
.
11.圆的切线方程
(1)已知圆．
①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是
.
当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程．
②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆．
①过圆上的点的切线方程为;
②斜率为的圆的切线方程为
二、立体几何 （一）、线线平行判定定理：1、平行于同一条直线的两条直线互相平行。
2、垂直于同一平面的两直线平行。3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（二）、线面平行判定定理
1、若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
2、若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行。
（三）、面面平行判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
（四）、线线垂直判定定理：
若一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。
（五）、线面垂直判定定理
1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
（六）、面面垂直判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

（七）．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.
（八）．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.
（九）．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.
（十）．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）利用三垂线定理或逆定理；
（十一）．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
C
B
A
P
D
O
（十二）．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.
三、空间几何体
（一）、正三棱锥的性质
1、底面是正三角形，若设底面正三角形的边长为a，则有

图形
外接圆半径
内切圆半径
面积
正三角形
D
O
B
A

2、正三棱锥的辅助线作法一般是：
作PO⊥底面ABC于O，则O为△ABC的中心，PO为棱锥的高，
取AB的中点D，连结PD、CD，则PD为三棱锥的斜高，CD为△ABC的AB边上的高，
且点O在CD上。∴△POD和△POC都是直角三角形，且∠POD =∠POC = 90°
（二）、正四棱锥的性质
P
D
A
C
B
O
E
1、底面是正方形，若设底面正方形的边长为a，则有

图形
外接圆半径
内切圆半径
面积
正方形
O
A
B

OB =
OA =
S = a 2

2、正四棱锥的辅助线作法一般是：
作PO⊥底面ABCD于O，则O为正方形ABCD的中心，PO为棱锥的高，取AB的中点E，连结PE、OE、OA，则PE为四棱锥的斜高，点O在AC上。∴△POE和△POA都是直角三角形，且∠POE =∠POA = 90°
（三）、长方体
长方体的一条对角线长的平方等于这个长方体的长、宽、高的平方和。
特殊地，若正方体的棱长为a ，则这个正方体的一条对角线长为a 。
（四）、正方体与球
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
1、设正方体的棱长为a，它的外接球半径为R1，它的内切球半径为R2，则
O

（五）几何体的表面积体积计算公式
1、圆柱: 表面积:2π+2πRh 体积:πR²h
2、圆锥: 表面积:πR²+πRL 体积: πR²h/3 (L为母线长)
3、圆台：表面积: 体积：V＝πh(R²＋Rr＋r²)/3
4、球：S球面 = 4πR2 V球 = πR3 （其中R为球的半径）
5、正方体： a－边长， S＝6a² ，V＝a³
6、长方体 a－长 ,b－宽 ,c－高 S＝2(ab+ac+bc) V＝abc
7、棱柱：全面积=侧面积+2X底面积 V＝Sh
8、棱锥：全面积=侧面积+底面积 V＝Sh/3
9、棱台：全面积=侧面积+上底面积+下底面积
四、三视图 1.投影：把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影。
把在一束平行光线照射下形成的投影，称为平行投影。平行投影按照投射方向是否正对着投影面，可以分为斜投影和正投影两种。
2、光线从几何体的前面向后面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的正视图(也叫主视图)；光线从几何体的上面向下面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的俯视图；光线从几何体的左面向右面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的侧视图(或左视图)
3、“长对正,高平齐,宽相等”是三视图之间的投影规律,是画图和读图的重要依据.
画几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示。
必修4
一、三角函数与三角恒等变换
1、三角函数的图象与性质
函数
正弦函数
余弦函数
正切函数
图象

定义域
R
R
{x| x≠+kπ,k∈Z}
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
增区间[-+2kπ,+2kπ]
减区间[+2kπ, +2kπ]
增区间[-π+2kπ, 2kπ]
减区间[2kπ,π+2kπ]
( k∈Z )
增区间
(-+kπ,+kπ)
( k∈Z )
对称轴
x = + kπ( k∈Z )
x = kπ ( k∈Z )
无
对称中心
( kπ,0 ) ( k∈Z )
(+ kπ,0 )( k∈Z )
( k,0 ) ( k∈Z )
2、同角三角函数公式 sin 2α+ cos 2α= 1 tanαcotα=1
3、二倍角的三角函数公式
sin2α= 2sinαcosα cos2α=2cos2α-1 = 1-2 sin2α= cos2α- sin2α
4、降幂公式
5、升幂公式 1±sin2α= (sinα±cosα) 2 1 + cos2α=2 cos2α 1- cos2α= 2 sin2α
6、两角和差的三角函数公式
sin (α±β) = sinαcosβ土cosαsinβ cos (α±β) = cosαcosβ干sinαsinβ

7、两角和差正切公式的变形：
tanα±tanβ= tan (α±β) (1干tanαtanβ)
== tan (+α) == tan (-α)
8、两角和差正弦公式的变形（合一变形）
（其中）
9、半角公式：

10、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。”
sin (π－α) = sinα， cos (π－α) = －cosα， tan (π－α) = －tanα；
sin (π+α) = －sinα cos (π+α) = －cosα tan (π+α) = tanα
sin (2π－α) = －sinα cos (2π－α) = cosα tan (2π－α) = －tanα
sin (－α) = －sinα cos (－α) = cosα tan (－α) = －tanα
sin (－α) = cosα cos (－α) = sinα tan (－α) = cotα
sin (+α) = cosα cos (+α) = －sinα tan (+α) = －cotα

11.三角函数的周期公式
函数，x∈R及函数，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期；函数，(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期.

二、平面向量 （一）、向量的有关概念
1、向量的模计算公式：（1）向量法：|| =；
（2）坐标法：设=（x，y），则|| =
2、单位向量的计算公式：
（1）与向量=（x，y）同向的单位向量是；
（2）与向量=（x，y）反向的单位向量是；
3、平行向量
规定：零向量与任一向量平行。设=（x1，y1），=（x2，y2），λ为实数
向量法：∥（≠）<=> =λ
坐标法：∥（≠）<=> x1 y2 – x2 y1 = 0 <=> （y1 ≠0 ，y 2 ≠0）
4、垂直向量
规定：零向量与任一向量垂直。设=（x1，y1），=（x2，y2）
向量法：⊥<=> ·= 0 坐标法：⊥<=> x1 x 2 + y1 y 2 = 0
5.平面两点间的距离公式
=(A，B).
（二）、向量的加法
（1）向量法：三角形法则（首尾相接首尾连），平行四边形法则（起点相同连对角）
（2）坐标法：设=（x1，y1），=（x2，y2），则+=（x1+ x2 ，y1+ y2）
（三）、向量的减法
（1）向量法：三角形法则（首首相接尾尾连，差向量的方向指向被减向量）
（2）坐标法：设=（x1，y1），=（x2，y2），则-=（x1 - x2 ，y1- y2）
（3）、重要结论：| || - || | ≤ |±| ≤ || + ||
（四）、两个向量的夹角计算公式：（1）向量法：cos =
（2）坐标法：设=（x1，y1），=（x2，y2），则cos =
（五）、平面向量的数量积计算公式：（1）向量法：·= || || cos
（2）坐标法：设=（x1，y1），=（x2，y2），则·= x1 x2 + y1 y2
（3） a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
（六）.1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
2.向量的数量积的运算律：(1) a·b= b·a （交换律）;
(2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）;(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.
3.平面向量基本定理：如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
（七）.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐
标是
必修5 一、解三角形：ΔABC的六个元素A, B, C, a , b, c满足下列关系：
1、角的关系：A + B + C = π，
特殊地，若ΔABC的三内角A, B, C成等差数列，则∠B = 60º，∠A +∠C = 120º
2、诱导公式的应用：sin ( A + B ) = sinC , cos ( A + B ) = --cosC ,
sin () = cos , cos () = sin
3、边的关系：a + b > c , a – b < c（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。）
4、边角关系：（1）正弦定理： （R为ΔABC外接圆半径）
a : b : c = sinA : sinB : sinC 分体型a = 2R sinA , b = 2R sinB , c = 2R sinC ,
（2）余弦定理：a 2 = b 2 + c 2 – 2bc•cosA , b 2 = a 2 + c 2 – 2a c•cosB ,
c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b•cosC
, ,
5、面积公式：S = a h = ab sinC = bc sinA = ac sinB
二、数列 （一）、等差数列{ a n }
1、通项公式：a n = a 1 + ( n – 1 ) d ，推广：a n = a m + ( n – m ) d ( m , n∈N )
2、前n项和公式：S n = n a 1 +n ( n – 1 ) d =
3、等差数列的主要性质
① 若m + n = 2 p，则 a m + a n = 2 a p（等差中项）( m , n∈N )
② 若m + n = p + q，则 a m + a n = a p + a q ( m , n , p , q∈N )
③S n , S 2 n -- S n , S 3 n – S 2 n 组成等差数列，公差为n d。
（二）、等比数列{ a n }1、通项公式：a n = a 1 q n – 1 ，推广：a n = a m q n – m ( m , n∈N )
2、等比数列的前n项和公式：
当q≠1时，S n = =， 当q = 1时，S n = n a 1
3、等比数列的主要性质
① 若m + n = 2 p，则a p2 = a m • a n（等比中项）( m , n∈N )
② 若m + n = p + q，则 a m • a n = a p • a q ( m , n , p , q∈N )
③S n , S 2 n -- S n , S 3 n – S 2 n 组成等比数列，公比为q n。
（三） 、一般数列{ a n }的通项公式：记S n = a 1 + a 2 + … + a n ，则恒有

三．数列求和方法总结：
1.等差等比数列求和可采用求和公式(公式法).
2.非等差等比数列可考虑(分组求和法) ,(错位相减法)等转化为等差或等比数列再求和,
若不能转化为等差或等比数列则采用(拆项相消法)求和.
注意(1):若数列的通项可分成两项之和（或三项之和）则可用（分组求和法）。
(2)若一个等差数列与一个等比数列的对应相乘构成的新数列求和,采用(错位相减法).
过程:乘公比再两式错位相减
(3)若数列的通项可拆成两项之差,通过正负相消后剩有限项再求和的方法为(拆项相消法).
常见的拆项公式:

四.数列求通项公式方法总结:
1..找规律(观察法). 2..若为等差等比(公式法) 3.已知Sn,用（Sn法）即用公式
（四） 4. 叠加法 5.叠乘法等
三、不等式
（一）、均值定理及其变式（1）a , b ∈ R , a 2 + b 2 ≥ 2 a b
（2）a , b ∈ R + , a + b ≥ 2 （3）a , b ∈ R + , a b ≤
（4） ，以上当且仅当 a = b时取“ = ”号。
（二）.一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. 设
；
（三）.含有绝对值的不等式：当a> 0时，有
. 或.
（四）.指数不等式与对数不等式
(1)当时, ;
.
(2)当时, ;

（五）. 或所表示的平面区域： 直线定界，特殊点定域。
一．解一元二次不等式三部曲：1.化不等式为标准式ax2+bx+c>0或 ax2+bx+c<O(a>0)。
3.根据图象写出不等式的解集.
特别的：若二次项系数a为正且有两根时写解集用口决：（不等号）大于0取两边，小于0取中间
二.分式不等式的求解通法：
（1）标准化：①右边化零，②系数化正.
（2）转 换：化为一元二次不等式（依据：两数的商与积同号）

三.二元一次不等式Ax+By+C＞0（A、B不同时为0），确定其所表示的平面区域用口诀：同上异下
（注意：包含边界直线用实线，否则用虚线）
四.线性规划问题求解步骤：画（可行域）移（平行线）求（交点坐标，最优解，最值）答.
五.基本不等式：（当且仅当a=b时，等号成立）
利用基本不等式求最值应用条件：一正数 二定值 三相等
旧知识回顾：1.
（1）十字相乘法：左列分解二次项系数a，右列分解常数项c，交叉相乘再相加凑成一次项系数b。

2．韦达定理：
3．对数类:logaM+logaN=logaMN logaM-logaN=loga logaMN=NlogaM（M.>0,N>0）

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