高中数学必修1-5知识点归纳及公式大全.doc

高一数学常用公式及结论必修1： 一、集合1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性（2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法2、集合间的关系：子集：对任意，都有 ，则称A是B的子集。记作 真子集：若A是B的子集，且在B中至少存在一个元素不属于A，则A是B的真子集， 记作AB 集合相等：若：,则3. 元素与集合的关系：属于 不属于： 空集：4、集合的运算：并集：由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集，记为 交集：由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集，记为 补集：在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集，记为5集合的子集个数共有 个；真子集有1个；非空子集有 1个； 6.常用数集：自然数集：N 正整数集： 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R二、函数的奇偶性1、定义： 奇函数 f ( x ) = f ( x ) ，偶函数 f (x ) = f ( x )（注意定义域）2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；（2）偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数二、函数的单调性1、定义：对于定义域为D的函数f ( x )，若任意的x1, x2D，且x1 x2 f ( x1 ) f ( x 2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 0 f ( x )是增函数 f ( x1 ) f ( x 2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 0 f ( x )是减函数2、复合函数的单调性: 同增异减三、二次函数y = ax2 +bx + c（）的性质1、顶点坐标公式：， 对称轴：，最大（小）值：2.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式; (2)顶点式;(3)两根式.四、指数与指数函数1、幂的运算法则：（1）a m a n = a m + n ，（2），（3）( a m ) n = a m n （4）( ab ) n = a n b n（5） （6）a 0 = 1 ( a0)（7） （8）（9）2、根式的性质（1）.（2）当为奇数时，； 当为偶数时，.4、指数函数y = a x (a 0且a1)的性质：（1）定义域：R ； 值域：( 0 , +) （2）图象过定点（0，1）Y0X1a 10YX10 a 15.指数式与对数式的互化： .五、对数与对数函数1对数的运算法则：（1）a b = N b = log a N（2）log a 1 = 0（3）log a a = 1（4）log a a b = b（5）a log a N = N（6）log a (MN) = log a M + log a N （7）log a () = log a M - log a N（8）log a N b = b log a N （9）换底公式：log a N = （10）推论 (,且,且, ).（11）log a N = （12）常用对数：lg N = log 10 N （13）自然对数：ln A = log e A （其中 e = 2.71828） 2、对数函数y = log a x (a 0且a1)的性质：（1）定义域：( 0 , +) ； 值域：R （2）图象过定点（1，0）X0Y10 a 1六、幂函数y = x a 的图象:（1） 根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 .a 00 a 1例如： y = x 2 七.图象平移：若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象； 规律：左加右减，上加下减八. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.九、函数的零点：1.定义：对于，把使的X叫的零点。即 的图象与X轴相交时交点的横坐标。2.函数零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并有，那么在区间内有零点，即存在，使得，这个C就是零点。3.二分法求函数零点的步骤：（给定精确度） （1）确定区间，验证;(2)求的中点 （3）计算若，则就是零点；若，则零点 若，则零点； （4）判断是否达到精确度，若，则零点为或或内任一值。否 则重复（2）到（4）必修2：一、直线与圆 1、斜率的计算公式：k = tan= （ 90，x 1x 2）2、直线的方程（1）斜截式 y = k x + b,k存在 ；（2）点斜式 y y 0 = k ( x x 0 ) ，k存在；（3）两点式 （） ；4）截距式 （）（5）一般式3、两条直线的位置关系： l1：y = k1 x + b1 l2：y = k 2 x + b2l1： A1 x + B1 y + C1 = 0l2： A2 x + B2 y + C2 = 0重合k1= k 2且b1= b2平行k1= k 2且b1 b2垂直k1 k 2 = 1A1 A2 + B1 B2 = 04、两点间距离公式：设P1 ( x 1 , y 1 ) 、P 2 ( x 2 , y 2 )，则 | P1 P2 | =5、点P ( x 0 , y 0 )到直线l ：A x + B y + C = 0的距离：7、圆的方程圆的方程圆心半径标准方程x 2+ y 2= r 2（0，0）r(x a ) 2 + ( y b ) 2 = r 2（a，b）r一般方程x 2 + y 2 +D x + E y + F = 08.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种若，则 点在圆外;点在圆上;点在圆内.9.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d)直线与圆的位置关系有三种:;.10.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，;.11.圆的切线方程(1)已知圆若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是 .当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线(2)已知圆过圆上的点的切线方程为;斜率为的圆的切线方程为二、立体几何 （一）、线线平行判定定理：1、平行于同一条直线的两条直线互相平行。2、垂直于同一平面的两直线平行。3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。（二）、线面平行判定定理1、若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。2、若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行。（三）、面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（四）、线线垂直判定定理：若一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。（五）、线面垂直判定定理1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（六）、面面垂直判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（七）证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.（八）证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.（九）证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.（十）证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）利用三垂线定理或逆定理；（十一）证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；CBAPDO（十二）证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.三、空间几何体（一）、正三棱锥的性质1、底面是正三角形，若设底面正三角形的边长为a，则有图形外接圆半径内切圆半径面积正三角形DOBA2、正三棱锥的辅助线作法一般是：作PO底面ABC于O，则O为ABC的中心，PO为棱锥的高，取AB的中点D，连结PD、CD，则PD为三棱锥的斜高，CD为ABC的AB边上的高，且点O在CD上。POD和POC都是直角三角形，且POD =POC = 90（二）、正四棱锥的性质PDACBOE1、底面是正方形，若设底面正方形的边长为a，则有图形外接圆半径内切圆半径面积正方形OABOB =OA = S = a 22、正四棱锥的辅助线作法一般是：作PO底面ABCD于O，则O为正方形ABCD的中心，PO为棱锥的高，取AB的中点E，连结PE、OE、OA，则PE为四棱锥的斜高，点O在AC上。POE和POA都是直角三角形，且POE =POA = 90（三）、长方体长方体的一条对角线长的平方等于这个长方体的长、宽、高的平方和。特殊地，若正方体的棱长为a ，则这个正方体的一条对角线长为a 。（四）、正方体与球A1B1C1D1ABCD1、设正方体的棱长为a，它的外接球半径为R1，它的内切球半径为R2，则O（五）几何体的表面积体积计算公式 1、圆柱: 表面积:2+2Rh 体积:Rh 2、圆锥: 表面积:R+RL 体积: Rh/3 (L为母线长)3、圆台：表面积: 体积：Vh(RRrr)/34、球：S球面 = 4R2 V球 = R3 （其中R为球的半径）5、正方体： a边长， S6a ，Va6、长方体 a长 ,b宽 ,c高 S2(ab+ac+bc) Vabc 7、棱柱：全面积=侧面积+2X底面积 VSh 8、棱锥：全面积=侧面积+底面积 VSh/3 9、棱台：全面积=侧面积+上底面积+下底面积 四、三视图 1.投影：把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影。把在一束平行光线照射下形成的投影，称为平行投影。平行投影按照投射方向是否正对着投影面，可以分为斜投影和正投影两种。 2、光线从几何体的前面向后面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的正视图(也叫主视图)；光线从几何体的上面向下面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的俯视图；光线从几何体的左面向右面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的侧视图(或左视图)3、“长对正,高平齐,宽相等”是三视图之间的投影规律,是画图和读图的重要依据.画几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示。 必修4 一、三角函数与三角恒等变换1、三角函数的图象与性质函数正弦函数余弦函数正切函数图象定义域RRx| x+k,kZ值域-1,1-1,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性增区间-+2k,+2k减区间+2k, +2k增区间-+2k, 2k减区间2k,+2k( kZ )增区间(-+k,+k)( kZ )对称轴x = + k( kZ )x = k ( kZ )无对称中心( k,0 ) ( kZ )(+ k,0 )( kZ )( k,0 ) ( kZ )2、同角三角函数公式 sin 2+ cos 2= 1 tancot=13、二倍角的三角函数公式sin2= 2sincos cos2=2cos2-1 = 1-2 sin2= cos2- sin2 4、降幂公式 5、升幂公式 1sin2= (sincos) 2 1 + cos2=2 cos2 1- cos2= 2 sin26、两角和差的三角函数公式sin () = sincos土cossin cos () = coscos干sinsin 7、两角和差正切公式的变形：tantan= tan () (1干tantan)= tan (+) = tan (-)8、两角和差正弦公式的变形（合一变形） （其中）9、半角公式： 10、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。”sin () = sin， cos () = cos， tan () = tan；sin (+) = sin cos (+) = cos tan (+) = tan sin (2) = sin cos (2) = cos tan (2) = tan sin () = sin cos () = cos tan () = tan sin () = cos cos () = sin tan () = cot sin (+) = cos cos (+) = sin tan (+) = cot 11.三角函数的周期公式 函数，xR及函数，xR(A,为常数，且A0，0)的周期；函数，(A,为常数，且A0，0)的周期.二、平面向量 （一）、向量的有关概念1、向量的模计算公式：（1）向量法：| =；（2）坐标法：设=（x，y），则| =2、单位向量的计算公式：（1）与向量=（x，y）同向的单位向量是；（2）与向量=（x，y）反向的单位向量是；3、平行向量规定：零向量与任一向量平行。设=（x1，y1），=（x2，y2），为实数向量法：（） = 坐标法：（） x1 y2 x2 y1 = 0 （y1 0 ，y 2 0）4、垂直向量规定：零向量与任一向量垂直。设=（x1，y1），=（x2，y2）向量法： = 0 坐标法： x1 x 2 + y1 y 2 = 05.平面两点间的距离公式 =(A，B).（二）、向量的加法（1）向量法：三角形法则（首尾相接首尾连），平行四边形法则（起点相同连对角）（2）坐标法：设=（x1，y1），=（x2，y2），则+=（x1+ x2 ，y1+ y2）（三）、向量的减法（1）向量法：三角形法则（首首相接尾尾连，差向量的方向指向被减向量）（2）坐标法：设=（x1，y1），=（x2，y2），则-=（x1 - x2 ，y1- y2）（3）、重要结论：| | - | | | | + |（四）、两个向量的夹角计算公式：（1）向量法：cos = （2）坐标法：设=（x1，y1），=（x2，y2），则cos =（五）、平面向量的数量积计算公式：（1）向量法：= | | cos （2）坐标法：设=（x1，y1），=（x2，y2），则= x1 x2 + y1 y2 （3） ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积（六）.1、实数与向量的积的运算律：设、为实数，那么(1) 结合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.2.向量的数量积的运算律：(1) ab= ba （交换律）;(2)（a）b= （ab）=ab= a（b）;(3)（a+b）c= a c +bc.3.平面向量基本定理：如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得a=1e1+2e2不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底（七）.三角形的重心坐标公式 ABC三个顶点的坐标分别为、,则ABC的重心的坐 标是必修5 一、解三角形：ABC的六个元素A, B, C, a , b, c满足下列关系：1、角的关系：A + B + C = ，特殊地，若ABC的三内角A, B, C成等差数列，则B = 60，A +C = 1202、诱导公式的应用：sin ( A + B ) = sinC , cos ( A + B ) = -cosC , sin () = cos , cos () = sin3、边的关系：a + b c , a b 0时，有. 或.（四）.指数不等式与对数不等式 (1)当时, ; .(2)当时, ;（五）. 或所表示的平面区域： 直线定界，特殊点定域。 一解一元二次不等式三部曲：1.化不等式为标准式ax2+bx+c0或 ax2+bx+c0)。 3.根据图象写出不等式的解集.特别的：若二次项系数a为正且有两根时写解集用口决：（不等号）大于0取两边，小于0取中间二.分式不等式的求解通法：（1）标准化：右边化零，系数化正.（2）转 换：化为一元二次不等式（依据：两数的商与积同号）三.二元一次不等式Ax+By+C0（A、B不同时为0），确定其所表示的平面区域用口诀：同上异下（注意：包含边界直线用实线，否则用虚线）四.线性规划问题求解步骤：画（可行域）移（平行线）求（交点坐标，最优解，最值）答.五.基本不等式：（当且仅当a=b时，等号成立）利用基本不等式求最值应用条件：一正数 二定值 三相等旧知识回顾：1.（1）十字相乘法：左列分解二次项系数a，右列分解常数项c，交叉相乘再相加凑成一次项系数b。2韦达定理：3对数类:logaM+logaN=logaMN logaM-logaN=loga logaMN=NlogaM（M.0,N0）- 11 -