首都师范大学《数学建模》2024-2025学年第一学期期末试卷.doc

自觉遵守考场纪律如考试作弊此答卷无效

密
封
线

首都师范大学《数学建模》2024-2025学年第一学期期末试卷

院(系)_______ 班级_______ 学号_______ 姓名_______

题号
一
二
三
四
总分
得分

批阅人

一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、求极限的值。（ ）
A.0 B.1 C. D.不存在

2、求不定积分。（ ）
A. B. C. D.

3、求由曲线 y = x³和直线 x = 2，y = 0 所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。（ ）
A.8π B.16π C.32π/5 D.64π/5

4、已知级数，判断这个级数是否收敛？（ ）
A.收敛 B.发散 C.条件收敛 D.无法确定

5、设函数 z = f(x,y)由方程 e^z - xyz = 0 确定，求 ∂²z/∂x²（ ）
A.((yz² - yz)/(e^z - xy)²)；B.((yz² + yz)/(e^z - xy)²)；C.((yz² - xy)/(e^z - xy)²)；D.((yz² + xy)/(e^z - xy)²)

6、求定积分的值。（ ）
A. B. C. D.1

7、二重积分，其中 D 是由直线和所围成的区域，则该二重积分的值为（ ）
A. B. C. D.

8、计算定积分∫(0 到 1)x²e^x dx（ ）
A.e - 2；B.e - 1；C.2e - 2；D.2e - 1

9、设函数在[a,b]上可积，且，则一定存在一点，使得（ ）
A.
B.
C.
D. 的正负无法确定

10、求函数的导数是多少？（ ）
A. B. C. D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
1、若函数在处取得极值，且，则的值为____。

2、求定积分的值为____。

3、设函数，则在点处沿方向的方向导数为______。

4、计算曲线在区间[1,2]上绕轴旋转一周所得到的旋转体体积为______________。

5、求曲线在点处的曲率为____。

三、证明题（本大题共3个小题，共30分)
1、（本题10分）设函数在[a,b]上连续，在内可导，，，证明：存在，使得。

2、（本题10分）设函数在[0,1]上二阶可导，且，。证明：存在，使得。

3、（本题10分）设函数在[0,1]上可导，且，对于任意的，有。证明：。

四、解答题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）求极限。

2、（本题10分）已知函数，求函数的最小正周期和单调递增区间。

第3页，共3页