2019高考考纲说明题型示例-理科数学-含简版答案.doc

2019年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明例题
（一）选择题
1. 已知集合，，则中所含元素的个数为
A. 3 B. 6 C. 8 D. 10
2. 若，则
A. 1 B. C. D.
3. 等比数列的前项和为。已知，，则
A. B. C. D.
4. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，一下结论中不正确的是

A. 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B. 2007年我国治理二氧化硫排放量显现成效
C. 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D. 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
5. 已知命题，则为
A. B.
C. D.
6. 设为所在平面内一点，，则
A. B.
C. D.
7. 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名老师和2名学生组成，不同的安排方案共有
A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种
8. 设，则
A. B. C. D.
9. 已知，，，则
A. B. C. D.
10. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的分别为14，18，则输出的
A. 0 B. 2
C. 4 D. 14
11. 某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
A. B.
C. D.
12. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如右图所示。若该几何体的表面积为，则
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
13. 如右图，长方形的边，，是的中点。点沿着边与运动，记。将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为

A. B. C. D.

14. 已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为的左右顶点。为上一点，且轴。过点的直线与线段交于点，与轴交于点。若直线经过的中点，则的离心率为
A. B. C. D.
15. 设函数。若存在的极值点满足，则的取值范围是
A. B.
C. D.

（二）填空题
1. 若满足约束条件则的最大值为　　　　　。
2. 函数的图像可由函数的图像至少向右平移　　　　　个单位长度得到。
3. 甲、乙、丙三位同学被问到知否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市。
由此可以判断乙去过的城市为　　　　　。
4. 的展开式中的奇数次幂的系数之和为32，则　　　　　。
5. 已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点。若，则　　　　　。
6. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则　　　　　。

（三）解答题
1. 为等差数列的前项和，且，。记，其中表示不超过的最大整数，如，。
（1）求，，；
（2）求数列的前1 000项和。

2. 中，是上的点，平分，的面积是的面积的2倍。
（1）求；
（2）若，，求和的长。

3. 某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关系如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费

设该险种一续保人一年内出险次数与相应的概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60％的概率；
（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值。

4. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响。对近8年的年宣传费和年销售量（）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中，。
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润与的关系为。根据（2）的结果回答下列问题：
1）年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？
2）年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，。

5. 如右图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点。
（1）证明平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值。

6. 如右图，三棱柱中，侧面为菱形，。
（1）证明：；
（2）若，，，求二面角的余弦值。

7. 已知圆，圆，动圆与圆外切且与圆内切，圆心的轨迹方程为。
（1）求的方程；
（2）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求。

8. 已知椭圆，直线不过原点且不平行与坐标轴，与有两个交点，且线段的中点为。
（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率；若不能，说明理由。

9. 已知函数，。
（1）当为何值时，轴为曲线的切线；
（2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数。

10. （1）讨论函数的单调性，并证明当时，；
（2）证明：当时，函数有最小值。设的最小值为，求函数的值域。

（四）选做题
1. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）。以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标。

2. 在直角坐标系中，圆的方程为。
（1）以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
（2）直线的参数方程为（为参数），与交于两点，，求的斜率。

3. 已知函数，。
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的图像与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围。

4. 设均为正数，且，证明：
（1）若，则；
（2）是的充要条件。

参考答案
（一）选择题
1~5 DCCDC 6~10 AAAAB 11~15 BBBAC
（二）填空题
1. 2. 3. A 4. 3 5. 4 6.
（三）解答题
1. （1），，；（2）1893。
2. （1）；（2），。
3. （1）0.55；（2）；（3）1.23。
4. （1）；（2）；（3） 1），；2）即。
5. （1）证明略；（2）。
6. （1）证明略；（2）。
7. （1）；（2）圆，倾斜角为时，，倾斜角不为时，。
8. （1）乘积为定值；（2）当的斜率为或时，四边形为平行四边形。
9. （1）；（2）当或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点。
10. （1）在，单调递增；证明略；（2）证明略；当时有最小值，的值域为。
（四）选做题
1. （1），；（2）当且仅当时，取得最小值，此时点的直角坐标为。
2. （1）；（2）。
3. （1）；（2）。
4. 证明略
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