高考数学全真模拟试题第12577期.docx

高考数学全真模拟试题

1

单选题(共8个，分值共：)
1、已知向量，若，则（       ）
A．B．C．1D．2
2、已知，则下列关系中正确的是（       ）
A．B．C．D．
3、已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且的长分别为，又，侧面与底面成角，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为
A．B．C．D．
4、下列函数是奇函数，且在上单调递增的是(       )
A．B．C．D．
5、已知函数，则是不等式成立的的取值范围是（       ）
A．B．
C．D．
6、函数的定义域是（       ）
A．B．C．D．
7、函数的图象大致为（       ）
A．B．
C．D．
8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（       ）

A．3B．4C．5D．6
多选题(共4个，分值共：)
9、已知，，且，则（       ）
A．B．C．D．
10、设正实数、满足，则下列说法中正确的是（       ）
A．B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为
11、利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”.发生的频数和频率表如下：
序号

频数
频率
频数
频率
频数
频率
1
12
0.6
56
0.56
261
0.522
2
9
0.45
50
0.55
241
0.482
3
13
0.65
48
0.48
250
0.5
4
7
0.35
55
0.55
258
0.516
5
12
0.6
52
0.52
253
0.506
根据以上信息，下面说法正确的有（       ）A．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性
B．试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越少越好；
C．随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近
D．我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率
12、矩形中，，，将此矩形沿着对角线折成一个三棱锥，则以下说法正确的有（       ）
A．三棱锥的体积最大值为
B．当二面角为直二面角时，三棱锥的体积为
C．当二面角为直二面角时，三棱锥的外接球的表面积为
D．当二面角不是直二面角时，三棱锥的外接球的表面积小于
双空题(共4个，分值共：)
13、在中，，，则________；________.
14、已知，，则________；________．
15、函数的图像向左平移_______个长度单位得到函数的图像，若函数在区间单调递增，则的最大值为_______
解答题(共6个，分值共：)
16、已知，集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
17、如图，已知平面，平面，为等边三角形，，F为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值．
18、如图，四棱锥中，侧面是边长为4的正三角形，且与底面垂直，底面是菱形，且，为的中点．

（1）求证：；
（2）求点到平面的距离．
19、我国武汉在2019年的12月份开始出现不明原因的肺炎，在2020年的2月份命名为新型冠状病毒肺炎，新型冠状病毒传染性较强.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息，得到如下表格：
潜伏期
(单位：天)

人数
17
41
62
50
26
3
1
（1）求这200名患者的潜伏期的样本平均数；
（2）该新冠病毒的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述200名患者中抽取40人得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；

潜伏期≤6天
潜伏期>6天
总计
50岁以上(含50岁)

20
50岁以下
9

总计

40
（3）以（2）中40名患者的潜伏期≤6天的频率代替该地区1名患者的潜伏期≤6天的概率，每名患者的潜伏期是否≤6天相互独立，从这40名患者中按潜伏期时间分层抽样抽出5人，再从这5人中随机挑选出2人，求至少有1人是潜伏期大于6天的概率.
附：

0.05
0.025
0.010

3.841
5.024
6.635
，其中
20、已知向量，，.
（1）求向量与夹角的正切值；
（2）若，求的值.
21、已知集合，．
（1）若，，求；
（2）集合A，B能否相等？若能，求出a，b的值；若不能，请说明理由．
双空题(共4个，分值共：)
22、锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小为________；若，则面积的取值范围是_________.

14

高考数学全真模拟试题参考答案
1、答案：B
解析：
根据平行向量的坐标关系，即可求出的值.
由，得，解得.
故选:B.
小提示：
本题考查向量的坐标运算，属于基础题.
2、答案：C
解析：
均化为以为底的形式，然后利用指数函数在上为减函数，而，从而可比较大小
解：，，
而函数在上为减函数，
又，所以，
即.
故选：C.
3、答案：A
解析：
将三棱锥体积用公式表示出来，结合均值不等式和，可得体积最大时，进而得到，带入体积公式求得，根据公式求出外接球的表面积.
解：，当且仅当时取等号，
因为侧面与底面成角，
则，
，
，
所以，
故外接球的表面积为.
故选：A.
小提示：
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
4、答案：D
解析：
利用幂函数的单调性和奇函数的定义即可求解.
当时，幂函数为增函数；当时，幂函数为减函数，
故在上单调递减，、和在上单调递增，
从而A错误；
由奇函数定义可知，和不是奇函数，为奇函数，从而BC错误，D正确.
故选：D.
5、答案：A
解析：
先判断是偶函数，可得，在单调递增，可得，解不等式即可得的取值范围.
的定义域为，
，
所以是偶函数，
所以
当时，单调递增，根据符合函数的单调性知单调递增，
所以在单调递增，
因为，
所以，
所以，
所以，
解得：或，
所以不等式成立的的取值范围是：
故选：A
小提示：
本题主要考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.
6、答案：D
解析：
根据解析式有意义可得关于的不等式组，其解集为函数的定义域.
由解析式有意义可得，故，
故函数的定义域为
故选：D.
7、答案：D
解析：
确定函数图象关于直线对称，排除AC，再结合特殊的函数值的正负或函数零点个数排除B，得出正确结论．
函数定义域是，由于的图象关于直线对称，的图象也关于直线对称，因此的图象关于直线对称，排除AC，
有无数个零点，因此也有无数个零点，且当时，，排除B．
故选：D．
小提示：
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
8、答案：C
解析：
根据空间几何体的三视图的规则，还原空间几何体的直观图，得到一个长方体，截去两个相同三棱锥，结合柱体和椎体的体积公式，即可求解.
根据空间几何体的三视图的规则，还原空间几何体的直观图，可得一个长、宽、高分别为的长方体，截去底面直角边分别为的 等腰直角三角形，高为的两个相同三棱锥，
其中长方体的体积为：，
两个三棱锥的体积为,
所以几何体的体积为：，
故选：C.

小提示：
本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解．
9、答案：BCD
解析：
利用基本不等式可判断ABD的正误，利用不等式的性质可判断C的正误.
因为，，且，由基本不等式可得，
故，当且仅当时等号成立，故A错误.
而，当且仅当等号成立，
故B正确.
又，当且仅当等号成立，
故，故D正确.
而，故，故C正确.
故选：BCD.
10、答案：ABD
解析：
利用不等式的性质以及指数函数的性质可判断A选项的正误，利用基本不等式可判断BCD选项的正误.
对于A选项，因为正实数、满足，则，
，故，A对；
对于B选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，B对；
对于C选项，由基本不等式可得，
因为，故，当且仅当时，等号成立，C错；
对于D选项，，
可得，当且仅当时，等号成立，D对.
故选：ABD.
11、答案：AC
解析：
根据频率和概率的关系判断
A选项，验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性，故正确；
试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越多越好；B错误；
随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近,此固定值就是概率，C正确；
我们要得到某事件发生的概率时，需要进行多次试验才能得到概率的估计值，故D错误.
故选：AC
12、答案：ABC
解析：
求出点C到平面ABD的最大距离即可计算棱锥的最大体积判断选项A，B；求出三棱锥的外接球的半径即可判断选项C，D作答.
过C作于E，在平面DBA内过E作BD的垂线EG，则为二面角的平面角，如图，

平面CEG平面DBA，过C作CFEG于F，则平面，
在直角中，，，
显然，当且仅当点E与F重合时取“=”，即点C到平面ABD距离的最大值为，
而，则三棱锥的体积最大值为，A正确；
当取最大值时，平面，又平面，则平面平面，
即二面角为直二面角，三棱锥的体积为，B正确；
取BD中点O，连接AO，CO，显然有，于是得点A，B，C，D在以O为球心，AO为半径的球面上，
显然，无论二面角如何变化，点A，B，C，D都在上述的球O上，其表面积为，C正确，D不正确.
故选：ABC
13、答案：     6    
解析：
根据的余弦定理列出关于的方程，由此求解出的值；先根据二倍角公式将变形为，然后根据正弦定理以及的值即可计算出的值.
因为，所以，
所以，所以（舍去），
所以，
故答案为：；.
小提示：
关键点点睛：解本题第二空的关键是通过正弦二倍角公式先转化为单倍角的三角函数，然后结合正弦定理将正弦值之比转化为边长之比，对于公式运用以及转化计算有着较高要求.
14、答案：         
解析：
由得，根据换底公式，以及对函数的运算性质，即可得出结果.
因为，所以，又，
因此；.
故答案为：；.
小提示：
本题主要考查对数的运算，考查换底公式的应用，属于基础题型.
15、答案：         
解析：
由平移变换得出第一空，根据正弦函数的单调性得出第二空.
函数的图像向左平移个长度单位得到函数的图象，因为，化简得，所以函数在上单调递增，所以，故的最大值为.
故答案为：；
16、答案：(1)
(2)
解析：
（1）先求出集合A，再求两集合的交集即可，
（2）由可得，然后分和两种情况求解
(1)
当时，，
∵，∴
(2)
若，则.
①当，即时，，符合题意.
②当时，
解得.
综上所述，实数的取值范围为
17、答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
解析：
（Ⅰ）取CE中点G，连接BG，FG，则可证且，根据题意可得，，可得四边形ABGF为平行四边形，所以，根据线面平行的判定定理，即可得证.
（Ⅱ）根据四边形ABGF为平行四边形，根据题意及线面垂直的判定定理，可证平面CDE，则即为直线和平面所成角，在中，求得各个边长，根据三角函数的定义，即可求得答案.
（Ⅰ）取CE中点G，连接BG，FG，如图所示：

因为F、G分别为CD、CE的中点，
所以且，
又因为平面，平面，
所以，,
所以，，
所以四边形ABGF为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
（Ⅱ）因为平面，平面ACD，
所以，所以，
又为等边三角形，F为CD的中点，
所以，
又平面CDE，
所以平面CDE，即平面CDE，
又平面CDE，则，
连接DG，BD，如图所示，

则即为直线和平面所成角，
设，在中，，
在直角梯形ABED中，，
在中，，
所以，
所以直线和平面所成角的正弦值为.
小提示：
解题的关键是熟练掌握线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，并灵活应用，在用定义法处理线面角时，需找到平面的垂线，作出线面角，利用三角函数进行求解，考查分析计算，推理证明的能力，属基础题.
18、答案：（1）证明见解析；（2）.
解析：
(1)取的中点，连接，，，先证明平面，再由平面得，．
(2)等体积法求解.根据题目条件，先证明为三棱锥的高，再求出以为顶点，为底面的三棱锥的体积和以为顶点，为底面的三棱锥的体积，根据，求点到平面的距离.
(1)证明：如图，取的中点，连接，，．
依题意可知，，均为正三角形，
∴，．
又∵，∴平面．
又平面，∴．

(2)由(1)可知，∵平面平面，
平面平面，平面，
∴平面，即为三棱锥的高．
由题意得，∵为的中点，∴．
在中，，∴，，
∴在中，边上的高，
∴的面积．
的面积．
点到平面的距离即点到平面的距离．
设点到平面的距离为，
由，得，
即，解得，
即点到平面的距离为．
19、答案：（1）5.4(天)；（2）列联表答案见解析，没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）.
解析：
（1）由已知数据，根据平均数公式可求得答案；
（2）先完善列联表，再由公式计算可得结论；
（3）运用列举法和古典概率公式计算可得答案.
解：（1）=5.4(天)
（2）用分层抽样，应该抽到潜伏期≤6天的人数为，
根据题意，补充完整的列联表如下：

潜伏期小于或等于6天
潜伏期大于6天
总计
50岁以上(含50岁)
15
5
20
50岁以下
9
11
20
总计
24
16
40
则，
经查表，得，所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关
（3）因为，所以由分层抽样知，5人中有潜伏期小于或等于6天的3人，潜伏期40大于6天的2人.潜伏期大于6天的2人记为A､B，潜伏期小于或等于6天的3人记为a，b，c.从这5人中抽取2人的情况分别是AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共有10种，
其中至少有一人是潜伏期大于6天的种数是7种，分别是AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc.
故至少有1人是潜伏期大于6天的概率是.
20、答案：（1）；（2）.
解析：
（1）根据已知条件可得，然后根据范围可知，最后可知
（2）依据直接计算即可.
（1）因为，所以.
设向量与的夹角，则
，解得.
又，所以，故.
（2）因为，所以，
即，解得.
21、答案：（1），或；（2）能，，．
解析：
（1）代入数据，根据集合的交集和补集运算法则即可求出结论；
（2）根据集合相等的概念即可求出答案．
解：（1）当，时，，
∵，或，
∴，或；
（2）∵，若，则可变成，
∵，则，解得；
若，则可变成，
而，不可能；
综上： ，．
22、答案：         
解析：
用正弦定理化角为边后，应用余弦定理可求得，把三角形面积表示为的函数，由三角函数性质求得范围．
∵，∴，整理得，
∴，又是三角形内角，∴，
是锐角三角形，则，∴．
由正弦定理得，，
∴，
∵，∴，∴．
故答案为：；．
小提示：
方法点睛：在解三角形中，出现边角混合等式时，常常利用正弦定理进行边角互化．而三角形面积或周长范围时，一般把面积或周长表示一个内角的函数，利用三角函数的恒等变换，结合三角函数性质求得结论，解题时注意角的范围的确定．