中考二次函数压轴题(共23道题目).doc

中考二次函数压轴题（共23道题目）
一．选择题（共10小题）
1．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图是某二次函数的图象，将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），则下列结论中正确的有（　　）
（1）a＞0；（2）c＜0；（3）2a﹣b=0；（4）a+b+c＞0．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，在下列代数式中（1）a+b+c＞0；（2）﹣4a＜b＜﹣2a（3）abc＞0；（4）5a﹣b+2c＜0； 其中正确的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都在抛物线y=x2+bx上，x1、x2、x3为△ABC的三边，且x1＜x2＜x3，若对所有的正整数x1、x2、x3都满足y1＜y2＜y3，则b的取值范围是（　　）
A．b＞﹣2 B．b＞﹣3 C．b＞﹣4 D．b＞﹣5
5．如图，点A（m，n）是一次函数y=2x的图象上的任意一点，AB垂直于x轴，垂足为B，那么三角形ABO的面积S关于m的函数关系的图象大致为（　　）
A． B． C D．
6．抛物线y=ax2+bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（　　）
A．a＞0，b＞0，c=0 B．a＞0，b＜0，c=0 C．a＜0，b＞0，c=0 D．a＜0，b＜0，c=0
7．已知抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，那么m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．全体实数
8．函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
9．已知抛物线y=x2+bx+c（c＜0）经过点（c，0），以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S，则S可表示为（　　）
A．|2+b||b+1| B．c（1﹣c） C．（b+1）2 D．
10．下列关于函数y=（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2的图象与坐标轴的公共点情况：
①当m≠3时，有三个公共点；②m=3时，只有两个公共点；③若只有两个公共点，则m=3；④若有三个公共点，则m≠3．
其中描述正确的有（　　）个．
A．一个 B．两个 C．三个 D．四个

二．填空题（共10小题）
11．已知：如图，过原点的抛物线的顶点为M（﹣2，4），与x轴负半轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，点P是抛物线上一个动点，过点P作PQ⊥MA于点Q．
（1）抛物线解析式为　 　．
（2）若△MPQ与△MAB相似，则满足条件的点P的坐标为　 　．

12．将抛物线y=x2﹣2向左平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为　 　．
13．如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM=|CE﹣EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO．令m=，则m=　 　；又若CO=1，CE=，Q为AE上一点且QF=，抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点，则抛物线与边AB的交点坐标是　 　．

15．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w=xy取得最大值时，点P的坐标是　 　．
16．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列结论中：
①ac＞0；
②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=5；
③a+b+c＜0；
④当x＜2时，y随着x的增大而增大．
正确的结论有　 　（请写出所有正确结论的序号）．

17．已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是　 　．
18．如图，已知一动圆的圆心P在抛物线y=x2﹣3x+3上运动．若⊙P半径为1，点P的坐标为（m，n），当⊙P与x轴相交时，点P的横坐标m的取值范围是　 　．

19．如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y=﹣x2+6x上．设OA=m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为　 　．

20．若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（﹣1，0），则y=a+b+c的取值范围是　 　．

三．解答题（共4小题）
21．已知抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C，对称轴为x=1，顶点为E，直线y=﹣x+1交y轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△BCE∽△BOD；
（3）点P是抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，△BDP的面积等于△BOE的面积？

22．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

23．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．
①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？
②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

24．如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．
①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积；
②当m=﹣3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

二次函数压轴题（共24道题目）
参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）
1．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，
与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，
对称轴为x=＜1，
∵a＜0，
∴2a+b＜0，
而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，
当x=2时，y=4a+2b+c＜0，
当x=1时，a+b+c=2．
∵＞2，
∴4ac﹣b2＜8a，
∴b2+8a＞4ac，
∵①a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，
②4a+2b+c＜0，
③a﹣b+c＜0．
由①，③得到2a+2c＜2，
由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，
上面两个相加得到6a＜﹣6，
∴a＜﹣1．
故选：D．

2．如图是某二次函数的图象，将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），则下列结论中正确的有（　　）
（1）a＞0；（2）c＜0；（3）2a﹣b=0；（4）a+b+c＞0．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】如图是y=ax2+bx+c的图象，根据开口方向向上知道a＞0，又由与y轴的交点为在y轴的负半轴上得到c＜0，由对称轴x==﹣1，可以得到2a﹣b=0，又当x=1时，可以判断a+b+c的值．由此可以判定所有结论正确与否．
【解答】解：（1）∵将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）（如虚线部分），
∴y=ax2+bx+c的对称轴为：直线x=﹣1；
∵开口方向向上，
∴a＞0，故①正确；
（2）∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上
∴c＜0，故②正确；
（3）∵对称轴x==﹣1，
∴2a﹣b=0，故③正确；
（4）当x=1时，y=a+b+c＞0，故④正确．
故选：D．

3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，在下列代数式中（1）a+b+c＞0；（2）﹣4a＜b＜﹣2a（3）abc＞0；（4）5a﹣b+2c＜0； 其中正确的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线开口向上得到a大于0，再由对称轴在y轴右侧得到a与b异号，即b小于0，由抛物线与y轴交于正半轴，得到c大于0，可得出abc的符合，对于（3）作出判断；由x=1时对应的函数值小于0，将x=1代入二次函数解析式得到a+b+c小于0，（1）错误；根据对称轴在1和2之间，利用对称轴公式列出不等式，由a大于0，得到﹣2a小于0，在不等式两边同时乘以﹣2a，不等号方向改变，可得出不等式，对（2）作出判断；由x=﹣1时对应的函数值大于0，将x=﹣1代入二次函数解析式得到a﹣b+c大于0，又4a大于0，c大于0，可得出a﹣b+c+4a+c大于0，合并后得到（4）正确，综上，即可得到正确的个数．
【解答】解：由图形可知：抛物线开口向上，与y轴交点在正半轴，
∴a＞0，b＜0，c＞0，即abc＜0，故（3）错误；
又x=1时，对应的函数值小于0，故将x=1代入得：a+b+c＜0，故（1）错误；
∵对称轴在1和2之间，
∴1＜﹣＜2，又a＞0，
∴在不等式左右两边都乘以﹣2a得：﹣2a＞b＞﹣4a，故（2）正确；
又x=﹣1时，对应的函数值大于0，故将x=﹣1代入得：a﹣b+c＞0，
又a＞0，即4a＞0，c＞0，
∴5a﹣b+2c=（a﹣b+c）+4a+c＞0，故（4）错误，
综上，正确的有1个，为选项（2）．
故选：A．

4．已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都在抛物线y=x2+bx上，x1、x2、x3为△ABC的三边，且x1＜x2＜x3，若对所有的正整数x1、x2、x3都满足y1＜y2＜y3，则b的取值范围是（　　）
A．b＞﹣2 B．b＞﹣3 C．b＞﹣4 D．b＞﹣5
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，结合已知条件，可知x1、x2、x3的最小一组值是2、3、4；根据抛物线，知它与x轴的交点是（0，0）和（﹣b，0），对称轴是x=﹣．因此要满足已知条件，则其对称轴应小于2.5．
【解答】解：∵x1、x2、x3为△ABC的三边，且x1＜x2＜x3，
∴x1、x2、x3的最小一组值是2、3、4．
∵抛物线y=x2+bx与x轴的交点是（0，0）和（﹣b，0），对称轴是x=﹣，
∴若对所有的正整数x1、x2、x3都满足y1＜y2＜y3，则﹣＜2.5
解，得b＞﹣5．
故选：D．

5．如图，点A（m，n）是一次函数y=2x的图象上的任意一点，AB垂直于x轴，垂足为B，那么三角形ABO的面积S关于m的函数关系的图象大致为（　　）

A． B． C． D．
【分析】因为A（m，n）是一次函数y=2x的图象上的任意一点，所以n=2m．根据三角形面积公式即可得出S与m之间的函数关系，根据关系式即可解答．
【解答】解：由题意可列该函数关系式：S=|m|•2|m|=m2，
因为点A（m，n）是一次函数y=2x的图象上的任意一点，
所以点A（m，n）在第一或三象限，
又因为S＞0，
所以取第一、二象限内的部分．
故选：D．

6．抛物线y=ax2+bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（　　）
A．a＞0，b＞0，c=0 B．a＞0，b＜0，c=0 C．a＜0，b＞0，c=0 D．a＜0，b＜0，c=0
【分析】先根据图象经过象限的情况判断出a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理．
【解答】解：∵抛物线经过原点，
∴c=0，
∵抛物线经过第一，二，三象限，
可推测出抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧
∴a＞0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴对称轴为x=＜0，
又因为a＞0，
∴b＞0．
故选：A．

7．已知抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，那么m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．全体实数
【分析】因为抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，且抛物线开口向上，所以令f（x）=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1，则f（2）＜0，解不等式可得m＞，又因为抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，所以f（0）＜﹣，解得m＜，即可得解．
【解答】解：根据题意，
令f（x）=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1，
∵抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，且抛物线开口向上，
∴f（2）＜0，即4﹣2（4m+1）+2m﹣1＜0，解得：m＞，
又∵抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，
∴f（0）＜﹣，解得：m＜，
综上可得：＜m＜，
故选：A．

8．函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
【解答】解：由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．
故选：B．

9．已知抛物线y=x2+bx+c（c＜0）经过点（c，0），以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S，则S可表示为（　　）
A．|2+b||b+1| B．c（1﹣c） C．（b+1）2 D．
【分析】把点（c，0）代入抛物线中，可得b、c的关系式，再设抛物线与x轴的交点分别为x1、x2，则x1、x2满足x2+bx+c=0，根据根的判别式结合两点间的距离公式可求|x1﹣x2|，那么就可得到以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积．
【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c（c＜0）经过点（c，0），
∴c2+bc+c=0；
∴c（c+b+1）=0；
∵c＜0，
∴c=﹣b﹣1；
设x1，x2是一元二次方程x2+bx+c=0的两根，
∴x1+x2=﹣b，x1•x2=c=﹣b﹣1，
∴抛物线与x轴的交点间的距离为|x1﹣x2|=====|2+b|，
∴S可表示为|2+b||b+1|．
故选：A．

10．下列关于函数y=（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2的图象与坐标轴的公共点情况：
①当m≠3时，有三个公共点；②m=3时，只有两个公共点；③若只有两个公共点，则m=3；④若有三个公共点，则m≠3．
其中描述正确的有（　　）个．
A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
【分析】令y=0，可得出（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2=0，得出判别式的表达式，然后根据m的取值进行判断，另外要注意m的取值决定函数是一次函数还是二次函数，不要忘了考虑一次函数的情况．
【解答】解：令y=0，可得出（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2=0，
△=（3m﹣1）2﹣8（m2﹣1）=（m﹣3）2，
①当m≠3，m=±1时，函数是一次函数，与坐标轴有两个交点，故错误；
②当m=3时，△=0，与x轴有一个公共点，与y轴有一个公共点，总共两个，故正确；
③若只有两个公共点，m=3或m=±1，故错误；
④若有三个公共点，则m≠3且m≠±1，故错误；
综上可得只有②正确，共个．
故选：A．

二．填空题（共10小题）
11．已知：如图，过原点的抛物线的顶点为M（﹣2，4），与x轴负半轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，点P是抛物线上一个动点，过点P作PQ⊥MA于点Q．
（1）抛物线解析式为　y=﹣x2﹣4x　．
（2）若△MPQ与△MAB相似，则满足条件的点P的坐标为　（﹣，）、（﹣，）　．

【分析】（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2+4，因为抛物线过原点，把（0，0）代入，求出a即可．
（2）由于PQ⊥MA，即∠MQP=∠MBA=90°；所以只要满足∠PMQ=∠MAB或∠PMQ=∠AMB．
①∠PMQ=∠AMB时，先找出点B关于直线MA的对称点（设为点C），显然有AC=AB=2、MC=MB=4，可根据该条件得到点C的坐标，进而求出直线MC（即直线MP）的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标；
②∠PMQ=∠MAB时，若设直线MP与x轴的交点为D，那么△MAD必为等腰三角形，即MD=AD，根据此条件先求出点D的坐标，进而得出直线MP的解析式，联立抛物线的解析式即可得解．
【解答】解：（1）∵过原点的抛物线的顶点为M（﹣2，4），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2+4，
将x=0，y=0代入可得：4a+4=0，
解得：a=﹣1，
∴抛物线解析式为：y=﹣（x+2）2+4，
即y=﹣x2﹣4x；

（2）∵PQ⊥MA
∴∠MQP=∠MBA=90°；
若△MPQ、△MAB相似，那么需满足下面的其中一种情况：
①∠PMQ=∠AMB，此时MA为∠PMB的角平分线，如图①；
取点B关于直线MA的对称点C，则AC=AB=2，MC=MB=4，设点C（x，y），有：
，解得（舍），
∴点C的坐标为（﹣，）；
设直线MP的解析式：y=kx+b，代入M（﹣2，4）、（﹣，）得：
，解得
∴直线MP：y=x+
联立抛物线的解析式，有：
，解得，
∴点P的坐标（﹣，）；
②∠PMQ=∠MAB，如右图②，此时△MAD为等腰三角形，且MD=AD，若设点D（x，0），则有：
（x+4）2=（x+2）2+（0﹣4）2，解得：x=1
∴点D（1，0）；
设直线MP的解析式：y=kx+b，代入M（﹣2，4）、D（1，0）后，有：
，解得：
∴直线MP：y=﹣x+
联立抛物线的解析式有：
，解得：，
∴点P的坐标（﹣，）
综上，符合条件的P点有两个，且坐标为（﹣，）、（﹣，）．
故答案：（1）y=﹣x2﹣4x；（2）（﹣，）、（﹣，）．

12．将抛物线y=x2﹣2向左平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为　y=x2+6x+7　．
【分析】根据二次函数图象的平移规律：左右平移，x改变：左加右减，y不变；上下平移，x不变，y改变，上加下减进行计算即可．
【解答】解：根据平移规律：将抛物线y=x2﹣2向左平移3个单位得到：
y=（x+3）2﹣2，
y=x2+6x+7．
故答案为：y=x2+6x+7．

13．如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM=|CE﹣EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO．令m=，则m=　1　；又若CO=1，CE=，Q为AE上一点且QF=，抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点，则抛物线与边AB的交点坐标是　（，）　．

【分析】求出CM=OE﹣CE，求出四边形CFGH的面积是CO×（OE﹣CE），求出四边形CMNO的面积是（OE﹣CE）×CO，即可求出m值；求出EF值，得出EF=QF，得出等边三角形EFQ，求出EQ，求出∠CEF、∠OEA，过Q作QD⊥OE于D，求出Q坐标，代入抛物线求出抛物线的解析式，把x=代入抛物线即可求出y，即得出答案．
【解答】解：∵沿AE折叠，O和F重合，
∴OE=EF，
∵在Rt△CEF中，EF＞CE，
即OE＞CE，
∴CM=|CE﹣EO|=OE﹣CE，
∵S四边形CFGH=CF2=EF2﹣EC2=EO2﹣EC2=（EO+EC）（EO﹣EC）=CO×（EO﹣EC），
S四边形CMNO=CM×CO=（OE﹣CE）×OC，
∴m==1；
∵CO=1，CE=，QF=，
∴EF=EO==QF，C（0，1），
∴sin∠EFC==，
∴∠EFC=30°，∠CEF=60°，
∴∠FEA=×（180°﹣60°）=60°，
∵EF=QF，
∴△EFQ是等边三角形，
∴EQ=，
过Q作QD⊥OE于D，
ED=EQ=．
∵由勾股定理得：DQ=，
∴OD=﹣=，
即Q的坐标是（，），
∵抛物线过C、Q，m=1代入得：，
解得：b=﹣，c=1，
∴抛物线的解析式是：y=x2﹣x+1，
AO=EO=，
∵把x=代入抛物线得：y=，
∴抛物线与AB的交点坐标是（，），
故答案为：1，．

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15．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w=xy取得最大值时，点P的坐标是　（，5）　．
【分析】分别求得线段AB、线段AC、线段BC的解析式，分析每一条线段上横、纵坐标的乘积的最大值，再进一步比较．
【解答】解：线段AB的解析式是y=x+1（0≤x≤4），
此时w=x（x+1）=+x，
则x=4时，w最大=8；
线段AC的解析式是y=x+1（0≤x≤2），
此时w=x（x+1）=+x，
此时x=2时，w最大=12；
线段BC的解析式是y=﹣2x+10（2≤x≤4），
此时w=x（﹣2x+10）=﹣2x2+10x，
此时x=时，w最大=12.5．
综上所述，当w=xy取得最大值时，点P的坐标是（，5）．

16．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列结论中：
①ac＞0；
②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=5；
③a+b+c＜0；
④当x＜2时，y随着x的增大而增大．
正确的结论有　②④　（请写出所有正确结论的序号）．

【分析】根据抛物线的开口向下判断出a＜0，再根据与y轴的交点判断出c＞0，然后判断出①错误；根据与x轴的交点坐标判断出②正确；取x=1的函数值判断出③错误；先求出抛物线对称轴为直线x=2，然后根据二次函数的增减性判断出④正确．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴ac＜0，故①错误；

∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（5，0），
∴方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=5，故②正确；

由图可知，当x=1时，函数值y＞0，即a+b+c＞0，故③错误；

抛物线对称轴为直线x==2；
当x＜2时，y随着x的增大而增大，故④正确；
综上所述，正确的结论是②④．
故答案为：②④．

17．已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是　m＞﹣　．
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出a最小为2，再根据二次函数的增减性和对称性判断出对称轴在2、3之间偏向2，即小于2.5，然后列出不等式求解即可．
【解答】方法一：
解：∵正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且a＜b＜c，
∴a最小是2，
∵y1＜y2＜y3，
∴﹣＜2.5，
解得m＞﹣2.5．
方法二：
解：当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，
即，
∴，
∴，
∵a，b，c恰好是一个三角形的三边长，a＜b＜c，
∴a+b＜b+c，
∴m＞﹣（a+b），
∵a，b，c为正整数，
∴a，b，c的最小值分别为2、3、4，
∴m＞﹣（a+b）≥﹣（2+3）=﹣，
∴m＞﹣，
故答案为：m＞﹣．

18．如图，已知一动圆的圆心P在抛物线y=x2﹣3x+3上运动．若⊙P半径为1，点P的坐标为（m，n），当⊙P与x轴相交时，点P的横坐标m的取值范围是　3﹣＜m＜2或4＜m＜3+　．

【分析】由圆心P在抛物线y=x2﹣3x+3上运动，点P的坐标为（m，n），可得n=m2﹣3m+3，又由⊙P半径为1，⊙P与x轴相交，可得|m2﹣3m+3|＜1，继而可求得答案．
【解答】解：∵圆心P在抛物线y=x2﹣3x+3上运动，点P的坐标为（m，n），
∴n=m2﹣3m+3，
∵⊙P半径为1，⊙P与x轴相交，
∴|n|＜1，
∴|m2﹣3m+3|＜1，
∴﹣1＜m2﹣3m+3＜1，
解m2﹣3m+3＜1，得：3﹣＜m＜3+，
解m2﹣3m+3＞﹣1，得：m＜2或m＞4，
∴点P的横坐标m的取值范围是：3﹣＜m＜2或4＜m＜3+．
故答案为：3﹣＜m＜2或4＜m＜3+．

19．如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y=﹣x2+6x上．设OA=m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为　l=﹣2m2+8m+12　．

【分析】求l与m的函数解析式就是把m当作已知量，求l，先求AD，它的长就是D点的纵坐标，再把D点纵坐标代入函数解析式求C点横坐标，C点横坐标与D点横坐标的差就是线段CD的长，用l=2（AD+CD），建立函数关系式．
【解答】解：把x=m代入抛物线y=﹣x2+6x中，得AD=﹣m2+6m
把y=﹣m2+6m代入抛物线y=﹣x2+6x中，得
﹣m2+6m=﹣x2+6x
解得x1=m，x2=6﹣m
∴C的横坐标是6﹣m，故AB=6﹣m﹣m=6﹣2m
∴矩形的周长是l=2（﹣m2+6m）+2（6﹣2m）
即l=﹣2m2+8m+12．

20．若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（﹣1，0），则y=a+b+c的取值范围是　0＜y＜2　．
【分析】由二次函数的解析式可知，当x=1时，所对应的函数值y=s=a+b+c．把点（0，1），（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c，得出c=1，a﹣b+c=0，然后根据顶点在第一象限，可以画出草图并判断出a与b的符号，进而求出y=a+b+c的变化范围．
【解答】
解：∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（﹣1，0），
∴易得：c=1，a﹣b+c=0，a＜0，b＞0，
由a=b﹣1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①，
由b=a+1＞0得到a＞﹣1，结合上面a＜0，所以﹣1＜a＜0②，
∴由①②得：﹣1＜a+b＜1，且c=1，
得到：0＜a+b+c＜2，
则y=a+b+c的取值范围是0＜y＜2．
故答案为：0＜y＜2

三．解答题（共4小题）
21．已知抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C，对称轴为x=1，顶点为E，直线y=﹣x+1交y轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△BCE∽△BOD；
（3）点P是抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，△BDP的面积等于△BOE的面积？

【分析】（1）在抛物线y=ax2﹣2x+c中，已知对称轴x=﹣=1，可求出a的值；再将点A的坐标代入抛物线的解析式中，可确定c的值，由此得解．
（2）首先由抛物线的解析式，确定点B、C、E的坐标，由直线BD的解析式能得到点D的坐标；在求出△BCE、△BOD的三边长后，由SSS来判定这两个三角形相似．
（3）△BOE的面积易得，而在（2）中求出了BD的长，由△BDP、△BOE的面积相等先求出点P到直线BD的距离，如何由这个距离求出点P的坐标？这里需要进行适当的转化；首先在y轴上取一点（可设为点M），使得点M到直线BD的距离等于点P到直线BD的距离，通过解直角三角形先求出DM的长，由此确定点M的坐标，然后过M作平行于直线BD的直线，再联立抛物线的解析式即可确定点P的坐标．
【解答】解：（1）抛物线y=ax2﹣2x+c中，对称轴x=﹣=﹣=1，∴a=1；
将点A（﹣1，0）代入y=ax2﹣2x+c中，得：1+2+c=0，c=﹣3；
∴抛物线的解析式：y=x2﹣2x﹣3．

（2）∵抛物线的解析式：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4=（x+1）（x﹣3），
∴点C（0，﹣3）、B（3，0）、E（1，﹣4）；
易知点D（0，1），则有：
OD=1、OB=3、BD=；
CE=、BC=3、BE=2；
∴==，
∴△BCE∽△BOD．

（3）S△BOE=×BO×|yE|=×3×4=6；
∴S△BDP=×BD×h=S△BOE=6，即 h=．
在y轴上取点M，过点M作MN1⊥BD于N1，使得MN1=h=；
在Rt△MN1D中，sin∠MDN1=，且 MN1=；则 MD==4；
∴点M（0，﹣3）或（0，5）．
过点M作直线l∥MN2，如右图，则 直线l：y=﹣x﹣3或y=﹣x+5，联立抛物线的解析式有：
或
解得：、、、
∴当点P的坐标为（0，﹣3）、（，﹣）、（，）、（，）时，△BDP的面积等于△BOE的面积．

22．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

【分析】（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．
（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．
（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．
【解答】解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，
∴m=4+2=6，
∴B（4，6），
∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．

（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），
∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），
=﹣2n2+9n﹣4，
=﹣2（n﹣）2+，
∵PC＞0，
∴当n=时，线段PC最大且为．

（3）∵△PAC为直角三角形，
i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．
由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；
ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．
如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=．
过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，
∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，
∴M（3，0）．
设直线AM的解析式为：y=kx+b，
则：，解得，
∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①
又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ②
联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）
∴C（3，0），即点C、M点重合．
当x=3时，y=x+2=5，
∴P1（3，5）；

iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．
∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x=2．
如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C，
则点C在抛物线上，且C（，）．
当x=时，y=x+2=．
∴P2（，）．
∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，
∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．

23．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．
①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？
②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）已知了A，B的坐标，可用待定系数法求出函数的解析式．
（2）①QP其实就是一次函数与二次函数的差，二次函数的解析式在（1）中已经求出，而一次函数可根据B，C的坐标，用待定系数法求出．那么让一次函数的解析式减去二次函数的解析式，得出的新的函数就是关于PQ，x的函数关系式，那么可根据函数的性质求出PQ的最大值以及相对应的x的取值．
（3）分三种情况进行讨论：
当∠QOA=90°时，Q与C重合，显然不合题意．因此这种情况不成立；
当∠OAQ=90°时，P与A重合，因此P的坐标就是A的坐标；
当∠OQA=90°时，如果设QP与x轴的交点为D，那么根据射影定理可得出DQ2=OD•DA．由此可得出关于x的方程即可求出x的值，然后将x代入二次函数式中即可得出P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线过A（3，0），B（6，0），
∴，
解得：，
∴所求抛物线的函数表达式是y=x2﹣x+2．

（2）①∵当x=0时，y=2，
∴点C的坐标为（0，2）．
设直线BC的函数表达式是y=kx+h．
则有，
解得：．
∴直线BC的函数表达式是y=﹣x+2．
∵0＜x＜6，点P、Q的横坐标相同，
∴PQ=yQ﹣yP=（﹣x+2）﹣（x2﹣x+2）
=﹣x2+x
=﹣（x﹣3）2+1
∴当x=3时，线段PQ的长度取得最大值．最大值是1．

②解：当∠OAQ′=90°