广东省实验中学高一上学期期中考试(数学).doc

广东省实验中学高一上学期期中考试（数学）
本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分。考试用时1．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷上，并用2B铅笔填涂学号．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
第一部分 基础检测(共100分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合的所有真子集个数为（ ）
A．8个 B. 7个 C. 6个 D. 4个
2．若A、B、C为三个集合，，则一定有（ ）
A． B． C． D.
3．已知不等式的解集是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．下列是的图象的是（ ）

A B C D

5．已知映射，其中，对应法则，，对于集合B中的元素1，下列说法正确的是（ ）
A．在A中有1个原象 B．在A中有2个原象
C．在A中有3个原象 D．在A中没有原象
6．设函数，则满足的的值是（ ）
A．2 B．16 C．2或16 D．-2或16
7．若为偶函数，则在区间上（ ）
A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增
x
－1
0
1
2
3

0.37
1
2.72
7.39
9

1
2
3
4
5
8．根据表格中的数据，可以判定方程的一个零点所在的区间为，则的值为（ ）
A．-1 B．0
C．1 D．2
9．若，则（ ）
A． 　B． 　　C．　　　D．
10．函数（a>0，且a≠1）的图像过一个定点，则这个定点坐标是（ ）
A．（5，1） B．（1，5） C．（1，4） D．（4，1）
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
11．函数的值域是 .
12．函数是定义域为R的奇函数，当时，，则时函数的解析式 .
13．已知函数R)，若方程至少有一正根，则的取值范围是__ __.
三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．（本题满分12分）(1)设，求的值；
（2）计算：
15．（本题满分13分）已知全集为R，函数的定义域为集合A，集合B，
（1）求；
（2）若，，求实数m的取值范围.

第二部分 能力检测(共50分)
四、选择题：本大题共2小题，每小题6分，共12分．
16．函数的单调递减区间为（　　）
A．（－∞，－3） B．（－∞，－1） C．(1，+∞) D．(－3，－1)
17．下列函数，值域是的是（ ）
A． B．
C． D．

五、解答题：本大题共3小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本题满分12分）已知函数，其中．
（1）若，作函数的图像；
（2）设在区间上的最小值为，求的表达式；

19．（本题满分13分）若函数对任意恒有.
（1）指出的奇偶性，并给予证明；
（2）如果时，，证明的单调性；
（3）在（2）的条件下，若对任意实数，恒有成立，求的取值范围.

本题满分13分）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
（1）已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
（2）当时，对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.
参考答案

第一部分 基础检测(共100分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
D
B
D
C
C
C
A
B
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
11. ； 12. ； 13. .
三、解答题：本大题共2小题，共25分．
14、（本题满分12分）(1)设，求的值；
（2）计算：
解：（1）， ……2分
……4分
……6分
（2）原式= ……3分
= ……6分

15、（本题满分13分）已知全集为R，函数的定义域为集合A，集合B，
（1）求；
（2）若，，求实数m的取值范围.
解：(1)由得，函数的定义域 ……2分
，，得B ……4分
∴， ……5分
， ……6分
(2) ，
①当时，满足要求，此时，得； ……8分
②当时，要，则， ……10分
解得； ……12分
由①②得， ……13分

第二部分 能力检测(共50分)
四、选择题：本大题共2小题，每小题6分，共12分．
16、A 17、C
五、解答题：本大题共3小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18、（本题满分12分）已知函数，其中．
（1）若，作函数的图像；
10
5
-2
3
2
1
y
x
O
-1
-3
1
（2）设在区间上的最小值为，求的表达式；
解：（1）当时，
． ……1分；
作图（如右所示） ……3分
（2）当时，．
若，则在区间上是减函数，
． ……5分
若，则，图像的对称轴是直线．
当，即时，在区间上是增函数，
． ……7分
当，即时，， ……9分
当，即时，在区间上是减函数，
． ……11分
综上可得 ． ……12分

19、（本题满分13分）若函数对任意恒有.
（1）指出的奇偶性，并给予证明；
（2）如果时，，证明的单调性；
（3）在（2）的条件下，若对任意实数，恒有成立，求的取值范围.
解：（1）令，得，. ……1分
令，得，， ……2分
即，所以是奇函数. ……3分
（2）令，则，得 ……4分
设，时， ……5分
则，即
所以为R上的减函数. ……7分
（3）由，得，
是奇函数，有， ……9分
又是R上的减函数，， ……10分
即对于恒成立， ……11分
由， ……12分
解得 ……13分

本题满分13分）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
（1）已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
（2）当时，对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.
解：(1) ， ……2分
设，，则， ……3分
由已知性质得，
当，即时，单调递减；所以减区间为 ……4分
当，即时，单调递增；所有增区间为 ……5分
由，，，得的值域为. ……6分
（2）设，且，
则（*）
，；
又，，，，
所以（*）式，即，所以单调递减 ……8分
对于，，所以 ……9分
由题意，即要的值域是的值域的子集， ……10分
所以只需：， ……11分
解得. ……13分