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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,3.2立体几何中向量方法,第1课时空间向量与平行关系,第1页,问题,引航,1.用空间向量确定空间点、直线、平面表示式分别是怎样?,2.怎样用空间向量方法判断与证实空间平行位置关系?,第2页,1.点位置向量,(1)基点:在空间中,我们取一定点O作为基点.,(2)向量表示:空间中任意一点P位置能够用_来表示.,我们把_称为点P位置向量.,第3页,2.用向量表示空间直线,(1)确定空间直线,l,位置两个条件:,直线,l,上一个_;一个_.,(2)向量表示式:点A是直线,l,上一个点,向量,a,表示直线,l,方向,向量,在直线,l,上取 =,a,那么对于直线,l,上任意一点P,一定存在,实数t,使得 =_.,定点A,定方向,第4页,(3)空间直线向量表示式两点作用:,定位置:点A和向量,a,能够确定直线_;,定点:能够详细表示出,l,上任意_.,3.向量,a,为平面法向量应满足两个条件,(1)向量,a,表示直线,l,_;,(2)直线,l,_平面.,位置,一点,方向向量,第5页,4.用向量描述空间平行关系,设空间两条直线,l,m方向向量分别为,a,=(a,1,a,2,a,3,),b,=(b,1,b,2,b,3,),两个平面,法向量分别为,u,=(u,1,u,2,u,3,),v,=(v,1,v,2,v,3,),则有以下结论,第6页,位置关系,向量关系,向量运算关系,坐标关系,l,m,_,_,a,1,=kb,1,a,2,=kb,2,a,3,=kb,3,l,_,_,_,_,u,=k,v,kR,u,1,=kv,1,u,2,=kv,2,u,3,=kv,3,a,b,a,=k,b,kR,a,u,a,u,=0,a,1,u,1,+a,2,u,2,+a,3,u,3,=0,u,v,第7页,1.判一判(正确打“”,错误打“”),(1)直线上任意两个不一样点A,B表示向量 都可作为该直,线方向向量.(),(2)若向量,n,1,n,2,为平面法向量,则以这两个向量为方向向,量两条不重合直线一定平行.(),(3)若平面外一条直线方向向量与平面法向量垂直,则,该直线与平面平行.(),第8页,【解析】,(1)正确.直线方向向量有没有数多个,与直线平行向量都可作为直线方向向量,故此种说法正确.,(2)正确.若向量,n,1,n,2,为平面法向量,则以这两个向量为方向向量两条直线可能重合,也可能平行.因为两条直线不重合,所以它们一定平行,故此种说法正确.,(3)正确.由线面平行判定定理知,若平面外一条直线方向向量与平面法向量垂直,则该直线与平面平行.,答案:,(1)(2)(3),第9页,2.做一做(请把正确答案写在横线上),(1)若点A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线,l,上,则直线,l,一个方向向量坐标能够是,.,(2)若直线,l,方向向量是,u,=(1,3,0),平面法向量是,v,=,(-3,1,5),则直线,l,与平面位置关系为,.,(3)空间两平面,法向量分别是,u,=(1,3,0),v,=(-3,-9,0),则平面,位置关系为,.,第10页,【解析】,(1)向量 能够作为直线,l,方向向量,又已知A(-1,0,1),B(1,4,7),故 =(2,4,6).,答案:,(2,4,6),(2)因为,u,v,=(1,3,0)(-3,1,5)=0,所以直线,l,与平面位置关系为平行或直线在平面内.,答案:,l,或,l,(3)由,u,=(1,3,0),v,=(-3,-9,0)得(-3,-9,0)=-3(1,3,0),故,u,v,所以平面,位置关系为平行.,答案:,平行,第11页,【关键点探究】,知识点1,点、直线、平面位置向量表示,1.点、直线、平面位置确定关键,(1)确定点:用向量确定空间中任意一个点,关键是确定一个基点.,(2)确定直线:用向量确定一条直线,关键是确定一个点和一个方向向量.,第12页,(3)确定平面:,一个定点两个向量:用向量确定一个平面,关键是了解平面向,量基本定理,即存在有序实数对(x,y)使得 =x,a,+y,b,这么点O,与向量,a,b,不但能确定一个平面,而且还能详细表示出平面内,一个点.,一个点一个向量:给定一个点和一个向量,过这个点,以这个,向量为法向量平面惟一确定.,第13页,2.对直线方向向量三点说明,(1)方向向量选取:在直线上任取两点P,Q,可得到直线一个,方向向量,(2)方向向量不惟一性:直线方向向量不是惟一,能够分,为方向相同和相反两类,它们都是共线向量.解题时,能够选取,坐标最简方向向量.,(3)非零性:直线方向向量是非零向量.,第14页,3.对平面法向量两点说明,(1)平面法向量选取:平面一个法向量垂直于与平面共面全部向量.即只需作一条垂直于平面直线,选取该直线方向向量.,(2)平面法向量不惟一性:一个平面法向量不是惟一,一个平面全部法向量共线.在应用时,能够依据需要进行选取.,第15页,【微思索】,(1)若点A为定点，向量,a,为给定向量，对任给实数t，有 ,t,a,，那么点P轨迹是什么？,提醒：,点P轨迹是过A平行于向量,a,一条直线,(2)已知两定点A，B，点M满足 试确定点M,位置,提醒：,因为 所以 所以,所以点M为线段AB中点,第16页,(3)在求平面法向量时，所列方程组中有三个变量，但只有两个方程，怎样求法向量？,提醒：,给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组一组非零解，即可作为法向量坐标,第17页,【即时练】,若,a,=(1,2,3)是平面一个法向量,则以下向量中能作为平面法向量是(),A.(0,1,2)B.(3,6,9),C.(-1,-2,3)D.(3,6,8),【解析】,选B.因为,a,=(1,2,3),(3,6,9)=3(1,2,3)=3,a,所以向量(3,6,9)能作为平面法向量.,第18页,知识点2,用向量法处理空间中平行问题,空间中平行问题确实定策略,(1)直线与直线平行:关键看直线方向向量是否共线.,(2)直线与平面平行:关键看直线方向向量与平面法向量是否垂直;或者看直线方向向量与平面内直线方向向量是否共线.尤其要强调直线在平面外.,(3)平面与平面平行:关键看两平面法向量是否共线.,第19页,【知识拓展】,利用空间向量处理立体几何问题普通步骤,(1)适当地选取基底,a,b,c,普通情况下要知道,a,b,c,长度和两向量夹角.,(2)用,a,b,c,表示已知条件和明确需要处理问题,将立体几何问题转化为空间向量问题.,(3)依据详细问题要求经过空间向量运算进行计算和证实.,第20页,【微思索】,(1)空间两向量平行与空间两直线平行含义相同吗?,提醒:,空间两向量平行与空间两直线平行是不一样,直线平行是不允许重合,而两向量平行,它们所在直线能够平行也能够重合.,(2)若两平面平行,则其中一个平面内任一条直线方向向量,a,=(a,1,a,2,a,3,)与另一平面法向量,b,=(b,1,b,2,b,3,)关系是什么?,提醒:,两向量关系为垂直,即,a,b,(a,1,a,2,a,3,)(b,1,b,2,b,3,)=0 a,1,b,1,+a,2,b,2,+a,3,b,3,=0.,第21页,【即时练,】,依据以下条件,判断对应平面与平面、直线与平面位置关系.,(1)空间两平面,法向量分别,为u,=(1,3,6),v,=(-2,-6,-12).,(2)直线,l,方向向量、平面法向量分别是,a,=(3,2,1),v,=(1,-2,1).,第22页,【解析】,(1)因为,u,=(1,3,6),v,=(-2,-6,-12),所以,v,=-2(1,3,6)=-2,u,所,以,u,v,所以.,(2)因为,a,=(3,2,1),v,=(1,-2,1),所以,a,v,=3-4+1=0,a,v,所以,l,或,l,.,第23页,【题型示范】,类型一,求直线方向向量、平面法向量,【典例1,】,(1)已知直线,l,1,一个方向向量为(-7,3,4),直线,l,2,一个方向向量为(x,y,8),且,l,1,l,2,则x=,y,=,.,第24页,(2)四边形ABCD是直角梯形,ABC=90,SA平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.在如图所表示坐标系Axyz中,分别求平面SCD和平面SAB一个法向量.,第25页,【解题探究】,1.题(1)中两条直线平行,两条直线对应方向向量关系怎样?,2.题(2)中直线AD与平面SAB是否垂直,其方向向量能否作为平面SAB法向量,平面SCD法向量所在直线与直线DC,DS是否垂直?,第26页,【探究提醒】,1.若两条直线平行则两条直线方向向量共线,其坐标对应成百分比.,2.直线AD与平面SAB垂直,直线AD方向向量能够作为平面SAB法向量;平面SCD法向量所在直线与直线DC,DS垂直.,第27页,【自主解答】,(1)因为,l,1,l,2,，所,以,所以x-14，y6,.,答案：,-14 6,(2)A(0，0，0)，D(1，0，0)，C(2，2，0)，S(0，0，2),因为AD平面SAB，所,以,(1，0，0)是,平,面SAB一,个法,向量,第28页,设平面SCD法向量为,n,(1，y，z)，,则,n,(1，y，z)(1，2，0)12y0，所以y,又,n,(1，y，z)(1，0，2)12z0，所以z,所以,n,即为平面SCD一个法向量,.,第29页,【方法技巧】,1.利用待定系数法求平面法向量步骤,第30页,2.求平面法向量三个注意点,(1)选向量:在选取平面内向量时,要选取不共线两个向量.,(2)取特值:在求,n,坐标时,可令x,y,z中一个为一特殊值得另两个值,就是平面一个法向量.,(3)注意0:提前假定法向量,n,=(x,y,z)某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.,第31页,【变式训练】,如图，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC中点,(1)指出直线MN一个以A为起点方向向量.,(2)若PDA45，求,证,为平面PCD一个法向量,第32页,【解析】,(1)取PD中点E，,连接NE，AE，,因为N是PC中点，,所以NEDC，NE=DC.,又DCAB，DC=AB，,AM AB，,所以AM CD，AM=CD，所以NEAM，NE=AM.,所以四边形AMNE是平行四边形，所以MNAE.,所以 为直线MN一个以A为起点方向向量,第33页,(2)在RtPAD中，PDA45，,所以APAD，所以AEPD，,又因为MNAE，所以MNPD.,因为PA平面ABCD，所以PACD，,又因为CDAD，PAAD=A，所以CD平面PAD，,因为AE平面PAD，所以CDAE.,又因为MNAE，所以CDMN，又因为CDPD=D，,所以MN平面PCD.,所以 为平面PCD一个法向量,第34页,【赔偿训练】,两不重合直线,l,1,和,l,2,方向向量分别为,v,1,=(1,0,-1),v,2,=(-2,0,2),则,l,1,与,l,2,位置关系是,.,【解析】,由直线,l,1,和,l,2,方向向量分别为,v,1,=(1,0,-1),v,2,=(-2,0,2),所以,v,2,=-2,v,1,即,v,2,v,1,所以,l,1,与,l,2,位置关系是平行.,答案:,平行,第35页,类型二,利用空间向量证实空间平行问题,【典例2】,(1)已知直线,l,方向向量为,u,=(2,0,-1),且直线,l,上有一点P不在平面内,平面一个法向量为,v,=(-2,1,-4),则,l,与位置关系为,.,第36页,(2)如图所表示,正方体ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,M,N,E,F分别是棱A,1,B,1,A,1,D,1,B,1,C,1,C,1,D,1,中点.,求证:平面AMN平面EFDB.,第37页,【解题探究】,1.题(1)中直线,l,上有一点P不在平面内,则直线与平面位置关系怎样?向量,u,与,v,共线还是垂直?,2.题(2)中依据正方体特点怎样建立空间直角坐标系才能使尽可能多点落在坐标轴或坐标面上?,第38页,【探究提醒】,1.因为直线,l,上有一点P不在平面内,则直线在平面外;向量,u,与,v,数量积为0,故两向量垂直.,2.分别以DA,DC,DD,1,所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.可使大部分点落到坐标轴或坐标面上.,第39页,【自主解答】,(1)因为,u,v,=(2,0,-1)(-2,1,-4)=-4+0+4=0,所以,u,v,又因为直线,l,上有一点P不在平面内,所以,l,.,答案:,l,第40页,(2)如图,分别以DA,DC,DD,1,所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a,则A(a,0,0),A,1,(a,0,a),D,1,(0,0,a),B,1,(a,a,a),B(a,a,0),C,1,(0,a,a).,第41页,所以,所以,设平面AMN与平面EFDB法向量分别为,m,=(x,1,y,1,z,1,)和,n,=(x,2,y,2,z,2,),第42页,则,所以,所以y,1,x,1,2z,1,.取z,1,1，,所以平面AMN一个法向量为,m,(2，2，1),第43页,同理由 可得x,2,y,2,，y,2,2z,2,.,令z,2,1，,所以平面EFDB一个法向量为,n,(2，2，1),因为,m,n,，所以,m,n,，,所以平面AMN平面EFDB.,第44页,【延伸探究】,若把题(1)中条件“直线,l,上有一点P不在平面内”去掉，则结果怎样？,【解析】,因为直线,l,上有一点P不在平面内说明了直线在平面外，若没有这个条件则直线也有可能在平面内所以,l,或,l,.,第45页,【方法技巧】,1.向量法处理空间平行问题两个应用,(1)求字母值：经过线线、线面、面面平行转化为向量共线、垂直关系，再利用向量关系结构关于字母等量关系，进而求出字母值.,(2)求点坐标：可设出对应点坐标，再利用点与向量关系，写出对应向量，利用空间中点、线、面位置关系，转化为向量位置关系，进而建立与所求点坐标相关等式.,第46页,2.应用向量法证实线面平行问题方法,(1)证实直线方向向量与平面法向量垂直.,(2)证实直线方向向量与平面内某一直线方向向量共线.,(3)证实直线方向向量可用平面内任两个不共线向量表示.即用平面向量基本定理证实线面平行.,第47页,3.证实面面平行方法,设平面法向量为,n,1,=(a,1,b,1,c,1,),平面法向量为,n,2,=(a,2,b,2,c,2,),则/,n,1,n,2,(a,1,b,1,c,1,)=k(a,2,b,2,c,2,)(kR).,第48页,【变式训练】,如图,已知正方体ABCD,-,ABCD,点M,N分,别是面对角线AB与面对角线AC中点.,求证:MN侧面AD;MNAD,而且MN=AD.,第49页,【解题指南】,证实MN侧面AD能够先选取基底利用共面向量,定理证实向量 与平面AD内两不共线向量共面.,第50页,【证实】,设 ,a,，,b,，,c,，,则 (,a,+,c,)，,c,+(,a,+,b,)，,所以 (,b,+,c,),因为M不在平面AD内，,所以MN平面AD.,又因为,b,+,c,=,所以,所以MNAD，MN AD.,第51页,【赔偿训练】,在底面是菱形四棱锥,P-ABCD中，F为PC中点，点E在PD上，,且 2.求证：BF平面AEC.,【证实】,因为,所以 共面,又BF,平面AEC，从而BF平面AEC.,第52页,【巧思妙解】,利用平面向量基本定理巧证平行问题,【典例】,如图所表示,在正方体ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,M,N分别是C,1,C,B,1,C,1,中点.求证:MN平面A,1,BD.,第53页,【教你审题】,第54页,【常规解法】,如图所表示，以D为原点，DA，,DC，DD,1,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建,立空间直角坐标系设正方体棱长为1，,则可求得 D(0，0，0)，,A,1,(1，0，1)，B(1，1，0)，,于是 (1，0，1)，(1，1，0),第55页,设平面A,1,BD法向量是,n,(x，y，z)，,则,n,0，且,n,0，得,取x1，得y1，z1.所以,n,(1，1，1),又 (1，1，1)0，所以 ,n,.,又MN平面A,1,BD，所以MN平面A,1,BD.,第56页,【巧妙解法】,因为,所以 而MN平面A,1,BD，DA,1,平面A,1,BD，所以MN,平面A,1,BD.,第57页,【方法对比】,常规法利用建系设点求向量处理，切入点好找，缺点是计算量大易犯错，而巧妙解法则是利用平面向量基本定理直接判断直线与平面平行，降低了计算量.,第58页,【教你一招】,平面向量基本定理妙用,(1)共面向量证实线面平行:已知两个不共线向量,v,1,v,2,与平面共面,一条直线,l,一个方向向量为,v,则由共面向量定理,得,l,或,l,在内存在两个实数x,y,使,v,=x,v,1,+y,v,2,.,(2)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间相互转化,得到向量共线关系.,(3)利用直线方向向量证实直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意向量所在直线与所证直线或平面无公共点.,第59页,【类题试解】,在长方体ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,|AB|=3,|AD|=4,|AA,1,|=2.点M在棱BB,1,上,且|BM|=2|MB,1,|,点S在DD,1,上,且|SD,1,|=2|SD|,点N,R分别为A,1,D,1,BC中点,求证:MNRS.,第60页,【常规解法】,如图所表示,建立空间直角坐标系,则依据题意得M(3，0，)，N(0，2，2)，R(3，2，0)，,S(0，4，).,所以 所以,因为MRS，所以MNRS.,第61页,【巧妙解法】,设,则,所以 所以,又因为RMN，所以MNRS.,第62页,第63页,第64页,第65页,
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