三峡永久船闸陡高边坡开挖的优化设计.doc

三峡永久船闸陡高边坡开挖的优化设计摘要：本文针对三峡永久船闸陡高边坡开挖问题，结合条分法，建立了沙太基模型和简化毕肖普模型，对不同开挖角下最危险滑弧面进行求解，给出了优化目标函数，并且通过搜索得出开挖角的最优解。在最危险滑弧面的求解过程中，利用了最危险滑弧圆心的分布规律，减小了搜索区域，并通过改变步长等办法提出了优化搜索方案，提高了搜索的效率。本文还给出了最危险圆弧的存在性及可解性的证明，讨论了当滑弧面不是圆弧时的一般解法，并讨论工程费用对R1和R2敏感性。对所给实例的求解结论：最少工程总费用为692.57万元/米，对应最优开挖角为61.3度。关键词：简化Bishop法 最危险滑弧面 优化搜索1 问题重述 三峡工程永久船闸是在山体中开挖的既高又陡的深槽(槽中放置船闸)。 其剖面简化如图一, 底宽为S米, 高为H米, 坡角为(待求)。山体地应力沿高度分布, 且与山体深度成正比, 即山体地应力0H, 其中, 侧压力系数为, 山体的容重为, 山体的磨擦系数为K, 山体的粘聚力为C。岩体开挖后, 由于重力和地应力释放作用, 边坡可能沿某一圆弧面滑动。为了保证开挖后边坡的稳定, 必须进行加固。已知每千牛顿阻滑力费用为R1, 开挖每立方米岩石费用为R2。在加固后, 保证边坡稳定的安全系数不低于某一值fs的条件下, 确定总造价最少的最佳开挖坡角。开挖面滑动面HS （图一：工程开挖剖面图）实例：底宽S300米, 高为H170米, 山体的容重为27千牛顿/每立方米, 稳定安全系数fs1.2, 侧压力系数0.8, 山体的磨擦系数K1.2, 对山体进行加固的费用R130元/牛顿米, 开挖的费用R2100元/立方米, 粘聚力C2MPa。2 问题分析对应于每一个固定的开挖角，工程总造价分为开挖费用和加固费用两部分。其中前者要求越大越好，而后者当然以少加固为优，要求越小越好。故我们选用总造价为优化目标函数，通过搜索寻求最优解。由于实例中没给出船闸的长度，并且假设岩体各处力学性质及参数均相等，故我们把实际问题转化为一个平面上的问题来求解，得到的总费用实际是单位长度的开挖费用。由于开挖深槽截面为等腰梯形，故分析加固费用时对所需加固的力矩要乘以2。固定某一开挖角，通过对滑坡的力学分析，给出安全系数关于圆心的函数关系，进而可以搜索出最小的安全系数。从而求得所需加固费用，加上开挖费用即得此角度下的总工程费用，搜索即可得出结果。在搜索最危险圆弧时，可用瑞典圆弧法，也可用根据实际工程经验的简化方法,对圆心位置进行搜索。具体计算时，对滑面以上部分进行条分，既可用费伦纽司太沙基模型，也可用简化毕肖普模型求解。3 模型假设1岩体为均匀连续介质，各处力学性质及参数均相等，无分层现象；2岩体地应力为水平方向，且大小与深度无关（参见李四光地质力学概论；3滑动面为严格圆弧面，且是最危险滑弧面（安全系数最小）；4滑动面通过坡脚（为计算方便，实际也可能不通过坡角）。5滑动岩体为理想弹性体，即为连续的安全弹性的均匀的各向同性的物体； 6开挖槽截面为等腰梯形；7加固费用为R1=30元/牛顿米，题中为笔误，否则加固费用太大，以不加固为宜。4 符号说明S：底边的长度；H：土坡的高度；：侧压力系数；：山体的容重；C：山体的粘聚力；K：山体的摩擦系数；R1：山体加固的费用；R2：开挖的费用；R：滑弧半径；Wi：石条自重；Ti：石条切向下滑力；Ni：石条正向压力；Pi：石条侧向压力（水平方向）；fS：某一滑弧面的安全系数；FS：最危险滑弧面对应的安全系数；G总：工程总费用；:开挖角。5 模型建立与求解该问题是关于工程总费用G总的优化问题,其中G总=G开挖+G加固。即优化目标函数为： G总opt=minG总=minG开挖+G加固其中G开挖=R2*(H/tan()+S)H G加固=R1*min0,1.2F下-F阻 （F下为下滑力；F阻为阻滑力）注：以上分析均在开挖的截平面上，总费用单位长度的总费用。鉴于目前分析边坡稳定问题的方法中圆弧滑动条分法简单适用，且有成熟的经验，我们用条分法结合太沙基公式（不考虑侧压力）和简化毕肖普公式（考虑侧压力）两种情况分别进行了求解。（一） 关于滑动岩体的受力分析及最危险滑弧面的求解1 受力分析将图二中滑动岩体ABCD分成若干垂直条，选择第i条分析其受力情况如图三。作用于石条上的力包括自重Wi,石条两侧的侧压力Pi，Pi+1，条间切向力Hi，Hi+1以及石条滑弧面上的径向反力Ni和切向反力Ti。ibiBORDCA LifedcHi+1TiWiiNiPiPi+1Hi (图二 条分法示意图) （图三 第i石条的受力分析图） 2 最危险滑弧面的求解对于最危险滑弧面的求解，一般是先确定其圆心的位置。而圆弧滑坡最危险滑弧的圆心位置的求解方法有瑞典圆弧法、作图法、诺谟图法、试算法、优化方法等求解方法。这里我们结合最危险圆弧滑面圆心的分布规律，采取了简化的优化算法。国内外许多学者对最危险滑弧圆心的分布规律作过研究 。大量研究成果表明对于均质边坡，设无量纲的变量u=C/Htg，其中，C为岩体粘聚力，为岩体密度，H为边坡高度，为内摩擦角。当u从 0变到时，最危险滑弧圆心的位置就在边坡面的中垂线oc和中法线cc之间的范围内连续变化，它的轨迹类似一条双曲线 (图四).如果以c为圆心，以R1 =L/ 2和R2 =3L/ 4为半径作圆弧，与oc和cc圈成一个四边形，则在相当大的u变化范围内(例如S =0.316 )，最危险滑弧圆心都在其中。u愈大，圆心愈靠近中垂线；u愈小，圆心愈靠近中法线。另外，u愈大，滑弧愈深愈大；而u愈小，滑弧就愈接近于边坡面。(图四：最危险滑弧圆心分布规律) 这样先计算出圆心的大概分布区域，再采用优化方法求解最危险滑弧，既避免了大量无目的的搜索和复杂的计算，又可保证所得的圆心位置是十分接近最危险滑弧圆心的。（二） 两类模型1 伦纽司太沙基模型工程实践中为简化计算，常假定i石条两侧Pi、Hi的合力与Pi+1、Hi+1的合力相等方向相反，且他们的作用线重合。这样就可以只考虑Wi、Ni及Ti了。利用刚体平衡法可得石条自重引起的切向力所产生的滑动力矩（对滑动圆心）为： TiR=WisiniR石条底部抗剪强度产生的抗滑力矩为： tfiliR=(Nitgi+cili) R由瑞典圆弧法得 （1）2 简化毕肖普模型上述太沙基模型虽然简单，但没考虑石条间的侧压力。运用毕肖普公式可以弥补这一缺陷。简化毕肖普公式不计石条间的切向力之差。即令Hi+1-Hi=0，得 （2）其中Pi 、Pi+1为山体地应力产生的侧压力，表达式为：这种方法所得到结果虽也有一些误差，但在实际的工程中是广泛采用此种方法的。（三） 模型求解1费伦纽司太沙基模型由式（1），在求解最危险滑弧时，采用简化的最优算法搜索，在对进行搜索时采用变步长的方法。所得结果如下：开挖角(度)安全系数开挖截面积(平方米)总费用(万元/米)6471.1164660.97667872简化毕肖普模型同样的，由式（2），也采用简化的最优算法搜索的结果如下：开挖角(度)安全系数开挖截面积(平方米)总费用(万元/米)6131.0966822.29692.57故我们取开挖角为61.3度，总费用为692.57万元/米。由于费伦纽司太沙基模型没有考虑到石条间的地应力，故计算得到的安全系数较实际是偏大的，也就是说用此模型求得的最优开挖角比实际上的要大。而简化毕肖普模型，在计算时考虑了石条间的作用力（本题中为地应力），是比较合理的，故我们推荐此模型。6 进一步讨论(一) 最危险圆弧的存在性及可解性当滑体划分的条块数趋于无穷 (即 )时 ,对上式取极限 ,即再根据积分的定义 ,并注意到对于均质边坡C,为常数 ,稳定系数可表示为这样 ,圆弧滑面稳定系数是滑弧圆心坐标的函数 ,即F=f(x0,y0) (x0,y0)为圆心坐标)从理论上 ,应用高等数学多元函数求极值的方法 ,使 f(x0,y0 )=0解出x0,y0,即可求得边坡的最小稳定系数及其相应的圆弧滑。.但由于表达式的复杂性 ,不能由f(x0,y0 )=0式直接求解 ,可采用变尺度法来求解 ,即此式就是求稳定系数的目标函数 ,根据它依变尺度法的最小化原理就可求得稳定系数的最小值Fmin及其最危险滑弧的圆心坐标 (x0,y0 )。以上讨论说明，在极限的意义上，证明了最危险圆弧的存在性及可解性。(图五)（二）当滑弧面不是圆弧时的讨论当考虑到滑弧面有可能不是圆弧时，上述模型必须进行改进。即对滑动面边界不明确的斜坡进行稳定性分析时，潜在滑动面的确定是一个重要也是一个困难的问题。可考虑用以下三种方法解决这个问题。一）是根据经验人为假定，如圆弧、直线等 ；二）是在众多的可能滑动面中，通过随机搜索找出稳定安全系数最小的潜在滑动面。第一种方法显然有很大的人为因素，而第二种方法虽然能够找出较危险的滑动面，但计算量很大，同时也无法回答所搜索的滑动面中是否一定包括了最危险滑动面。因此，上述两种方法对斜坡稳定性评价的精确性都有一定的局限。三）还可考虑用基于求泛函极值的变分原理，给出最危险滑动面的计算模型及解析表达式。基本思想是：:设滑动面的函数为y(x)，相应的安全系数F，则为滑动面函数的函数即泛函F(y(x)，通过变分法求泛函F(y(x)的极小值，从而求出斜坡的最危险滑动面。（三） 工程费用对R1和R2敏感性的讨论对于一个实际的工程，一般来说，S，H，,C，K等诸多因素就已长期不变。但对于象三峡这样一个大型工程，由于工期较长，加固费用R1和开挖费用R2会随着市场的变化而变化。故讨论R1和R2的变化对最优开挖角的选取及开挖费用的影响是十分必要的。实际上工程总费用G总=G开挖+G加固=R2(S+H/tan()H+2R1Ft其中Ft为所需加固的力矩。我们自己调整加固费用R1和开挖费用R2，计算结果如下表：开挖费用R2加固费用R1R1:R2最优开挖角（度）总费用（万元/米）1003003361369257200600336131385141002002638674391005005584698951203002562582356120480460183783由上表可以看出，只要R1:R2一定，最优开挖角就一定了，即开挖角仅随R1与R2的比值变化而变化。开挖费用则不仅取决于R1与R2的比值，还取决于R1或R2的大小，其中开挖费用R2对总费用的影响比加固费用R1大得多。故我们在工程预算时，应主要考虑开挖费用的变化，尽量对未来几年内开挖费用的变化做出预测，以有利于作出更好的选择。7 模型评价1) 本模型在条分法的基础上，给出了两种工程中常见的模型，较好的解决了体中边坡开挖的优化设计以及边坡稳定两类问题；2) 模型还通过对最危险滑弧性质特点的讨论，给出了圆心可能出现的区域，减少了搜索的盲目性，改进了已有的搜索算法；3) 对加固费用R1和开挖费用R2对最优开挖角及总费用的影响进行了一定的讨论；4）模型假设过于理想化，距工程实际还有一定的差异。参考文献：1 李民庆.岩体力学的力学基础.湖南科学技术出版社.19792 刘志斌 王志宏.圆弧滑坡最危险滑弧圆心位置的求解方法.煤炭学报.19973 杨进良.土力学.中国水利水电出版社.2000