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三峡永久船闸陡高边坡开挖的优化设计
摘要：本文针对三峡永久船闸陡高边坡开挖问题，结合条分法，建立了沙太基模型和简化毕肖普模型，对不同开挖角α下最危险滑弧面进行求解，给出了优化目标函数，并且通过搜索得出开挖角α的最优解。在最危险滑弧面的求解过程中，利用了最危险滑弧圆心的分布规律，减小了搜索区域，并通过改变步长等办法提出了优化搜索方案，提高了搜索的效率。
本文还给出了最危险圆弧的存在性及可解性的证明，讨论了当滑弧面不是圆弧时的一般解法，并讨论工程费用对R1和R2敏感性。对所给实例的求解结论：最少工程总费用为692.57万元/米，对应最优开挖角为61.3度。
关键词：简化Bishop法 最危险滑弧面 优化搜索
1 问题重述
三峡工程永久船闸是在山体中开挖的既高又陡的深槽(槽中放置船闸)。 其剖面简化如图一, 底宽为S米, 高为H米, 坡角为α(待求)。山体地应力沿高度分布, 且与山体深度成正比, 即山体地应力σ0＝μγH, 其中, 侧压力系数为μ, 山体的容重为γ, 山体的磨擦系数为K, 山体的粘聚力为C。岩体开挖后, 由于重力和地应力释放作用, 边坡可能沿某一圆弧面滑动。为了保证开挖后边坡的稳定, 必须进行加固。已知每千牛顿阻滑力费用为R1, 开挖每立方米岩石费用为R2。
在加固后, 保证边坡稳定的安全系数不低于某一值fs的条件下, 确定总造价最少的最佳开挖坡角α。
α

α

开挖面

滑动面

H

S

（图一：工程开挖剖面图）
实例：底宽S＝300米, 高为H＝170米, 山体的容重为γ＝27千牛顿/每立方米, 稳定安全系数fs＝1.2, 侧压力系数μ＝0.8, 山体的磨擦系数K＝1.2, 对山体进行加固的费用R1＝30元/牛顿米, 开挖的费用R2＝100元/立方米, 粘聚力C＝2MPa。

2 问题分析
对应于每一个固定的开挖角α，工程总造价分为开挖费用和加固费用两部分。其中前者要求α越大越好，而后者当然以少加固为优，要求α越小越好。故我们选用总造价为优化目标函数，通过搜索寻求最优解。
由于实例中没给出船闸的长度，并且假设岩体各处力学性质及参数均相等，故我们把实际问题转化为一个平面上的问题来求解，得到的总费用实际是单位长度的开挖费用。由于开挖深槽截面为等腰梯形，故分析加固费用时对所需加固的力矩要乘以2。固定某一开挖角α，通过对滑坡的力学分析，给出安全系数关于圆心的函数关系，进而可以搜索出最小的安全系数。从而求得所需加固费用，加上开挖费用即得此角度下的总工程费用，搜索即可得出结果。在搜索最危险圆弧时，可用瑞典圆弧法，也可用根据实际工程经验的简化方法,对圆心位置进行搜索。具体计算时，对滑面以上部分进行条分，既可用费伦纽司——太沙基模型，也可用简化毕肖普模型求解。

3 模型假设
1．岩体为均匀连续介质，各处力学性质及参数均相等，无分层现象；
2．岩体地应力为水平方向，且大小与深度无关（参见李四光《地质力学概论》；
3．滑动面为严格圆弧面，且是最危险滑弧面（安全系数最小）；
4．滑动面通过坡脚（为计算方便，实际也可能不通过坡角）。
5．滑动岩体为理想弹性体，即为连续的安全弹性的均匀的各向同性的物体；
6．开挖槽截面为等腰梯形；
7．加固费用为R1=30元/牛顿米，题中为笔误，否则加固费用太大，以不加固为宜。
4 符号说明
S：底边的长度；
H：土坡的高度；
μ：侧压力系数；
γ：山体的容重；
C：山体的粘聚力；
K：山体的摩擦系数；
R1：山体加固的费用；
R2：开挖的费用；
R：滑弧半径；
Wi：石条自重；
Ti：石条切向下滑力；
Ni：石条正向压力；
Pi：石条侧向压力（水平方向）；
fS：某一滑弧面的安全系数；
FS：最危险滑弧面对应的安全系数；
G总：工程总费用；
α:开挖角。
5 模型建立与求解
该问题是关于工程总费用G总的优化问题,其中G总=G开挖+G加固。即优化目标函数为：
G总opt=min{G总}=min{G开挖+G加固}
其中G开挖=R2*(H/tan(α)+S)H
G加固=R1*min{0,1.2F下-F阻} （F下为下滑力；F阻为阻滑力）
注：以上分析均在开挖的截平面上，总费用单位长度的总费用。
鉴于目前分析边坡稳定问题的方法中圆弧滑动条分法简单适用，且有成熟的经验，我们用条分法结合太沙基公式（不考虑侧压力）和简化毕肖普公式（考虑侧压力）两种情况分别进行了求解。

（一） 关于滑动岩体的受力分析及最危险滑弧面的求解
1． 受力分析
将图二中滑动岩体ABCD分成若干垂直条，选择第i条分析其受力情况如图三。作用于石条上的力包括自重Wi,石条两侧的侧压力Pi，Pi+1，条间切向力Hi，Hi+1以及石条滑弧面上的径向反力Ni和切向反力Ti。

αi
bi
B
O
R
D
C
A

Li
f
e
d
c
Hi+1
Ti
Wi
αi
Ni
Pi
Pi+1
Hi

(图二 条分法示意图)

（图三 第i石条的受力分析图）

2． 最危险滑弧面的求解
对于最危险滑弧面的求解，一般是先确定其圆心的位置。而圆弧滑坡最危
险滑弧的圆心位置的求解方法有瑞典圆弧法、作图法、诺谟图法、试算法、优化方法等求解方法。这里我们结合最危险圆弧滑面圆心的分布规律，采取了简化的优化算法。
国内外许多学者对最危险滑弧圆心的分布规律作过研究 。大量研究成果表明对于均质边坡，设无量纲的变量u=C/ρHtgΦ，其中，C为岩体粘聚力，ρ为岩体密度，H为边坡高度，Φ为内摩擦角。当u从 0变到∞时，最危险滑弧圆心的位置就在边坡面的中垂线oc和中法线cc’之间的范围内连续变化，它的轨迹类似一条双曲线 (图四).如果以c为圆心，以R1 =L/ 2和R2 =3L/ 4为半径作圆弧，与oc和cc’圈成一个四边形，则在相当大的u变化范围内(例如S =0.3~16 )，最危险滑弧圆心都在其中。u愈大，圆心愈靠近中垂线；u愈小，圆心愈靠近中法线。另外，u愈大，滑弧愈深愈大；而u愈小，滑弧就愈接近于边坡面。

(图四：最危险滑弧圆心分布规律)
这样先计算出圆心的大概分布区域，再采用优化方法求解最危险滑弧，既避免了大量无目的的搜索和复杂的计算，又可保证所得的圆心位置是十分接近最危险滑弧圆心的。
（二） 两类模型
1． 伦纽司——太沙基模型
工程实践中为简化计算，常假定i石条两侧Pi、Hi的合力与Pi+1、Hi+1的合力相等方向相反，且他们的作用线重合。这样就可以只考虑Wi、Ni及Ti了。利用刚体平衡法可得
石条自重引起的切向力所产生的滑动力矩（对滑动圆心）为：
∑TiR=∑Wisinαi·R
石条底部抗剪强度产生的抗滑力矩为：
∑tfili·R=∑(NitgΦi+cili) R
由瑞典圆弧法得
（1）
2． 简化毕肖普模型
上述太沙基模型虽然简单，但没考虑石条间的侧压力。运用毕肖普公式可以弥补这一缺陷。

简化毕肖普公式不计石条间的切向力之差。即令Hi+1-Hi=0，得
（2）
其中Pi 、Pi+1为山体地应力产生的侧压力，表达式为：

这种方法所得到结果虽也有一些误差，但在实际的工程中是广泛采用此种方法的。
（三） 模型求解
1．费伦纽司——太沙基模型
由式（1），在求解最危险滑弧时，采用简化的最优算法搜索，在对α进行搜索时采用变步长的方法。所得结果如下：
开挖角(度)
安全系数
开挖截面积(平方米)
总费用(万元/米)
64．7
1.11
64660.97
667．87
2．简化毕肖普模型
同样的，由式（2），也采用简化的最优算法搜索的结果如下：
开挖角(度)
安全系数
开挖截面积(平方米)
总费用(万元/米)
61．3
1.09
66822.29
692.57

故我们取开挖角为61.3度，总费用为692.57万元/米。
由于费伦纽司——太沙基模型没有考虑到石条间的地应力，故计算得到的安全系数较实际是偏大的，也就是说用此模型求得的最优开挖角比实际上的要大。而简化毕肖普模型，在计算时考虑了石条间的作用力（本题中为地应力），是比较合理的，故我们推荐此模型。

6 进一步讨论
(一) 最危险圆弧的存在性及可解性
当滑体划分的条块数趋于无穷 (即ｎ→∞ )时 ,对上式取极限 ,即

再根据积分的定义 ,并注意到对于均质边坡C,φ为常数 ,稳定系数可表示为

这样 ,圆弧滑面稳定系数是滑弧圆心坐标的函数 ,即
F=f(x0,y0) ((x0,y0)为圆心坐标)
从理论上 ,应用高等数学多元函数求极值的方法 ,使
▽f(x0,y0 )=0
解出x0,y0,即可求得边坡的最小稳定系数及其相应的圆弧滑。.但由于表达式的复杂性 ,不能由▽f(x0,y0 )=0式直接求解 ,可采用变尺度法来求解 ,即

此式就是求稳定系数的目标函数 ,根据它依变尺度法的最小化原理就可求得稳定系数的最小值Fmin及其最危险滑弧的圆心坐标 (x0,y0 )。以上讨论说明，在极限的意义上，证明了最危险圆弧的存在性及可解性。

(图五)

（二）当滑弧面不是圆弧时的讨论
当考虑到滑弧面有可能不是圆弧时，上述模型必须进行改进。即对滑动面边界不明确的斜坡进行稳定性分析时，潜在滑动面的确定是一个重要也是一个困难的问题。可考虑用以下三种方法解决这个问题。一）是根据经验人为假定，如圆弧、直线等 ；二）是在众多的可能滑动面中，通过随机搜索找出稳定安全系数最小的潜在滑动面。第一种方法显然有很大的人为因素，而第二种方法虽然能够找出较危险的滑动面，但计算量很大，同时也无法回答所搜索的滑动面中是否一定包括了最危险滑动面。因此，上述两种方法对斜坡稳定性评价的精确性都有一定的局限。三）还可考虑用基于求泛函极值的变分原理，给出最危险滑动面的计算模型及解析表达式。基本思想是：:设滑动面的函数为y(x)，相应的安全系数F，则为滑动面函数的函数即泛函F(y(x))，通过变分法求泛函F(y(x))的极小值，从而求出斜坡的最危险滑动面。
（三） 工程费用对R1和R2敏感性的讨论
对于一个实际的工程，一般来说，S，H，μ,γ,C，K等诸多因素就已长期
不变。但对于象三峡这样一个大型工程，由于工期较长，加固费用R1和开挖费用R2会随着市场的变化而变化。故讨论R1和R2的变化对最优开挖角的选取及开挖费用的影响是十分必要的。
实际上工程总费用G总=G开挖+G加固=R2(S+H/tan(α))H+2R1·ΔFt
其中ΔFt为所需加固的力矩。
我们自己调整加固费用R1和开挖费用R2，计算结果如下表：
开挖费用R2
加固费用R1
R1:R2
最优开挖角（度）
总费用（万元/米）
100
30
0．33
61．3
692．57
200
60
0．33
61．3
1385．14
100
20
0．2
63．8
674．39
100
50
0．5
58．4
698．95
120
30
0．25
62．5
823．56
120
48
0．4
60．1
837．83

由上表可以看出，只要R1:R2一定，最优开挖角就一定了，即开挖角α仅随R1与R2的比值变化而变化。开挖费用则不仅取决于R1与R2的比值，还取决于R1或R2的大小，其中开挖费用R2对总费用的影响比加固费用R1大得多。故我们在工程预算时，应主要考虑开挖费用的变化，尽量对未来几年内开挖费用的变化做出预测，以有利于作出更好的选择。

7 模型评价
1) 本模型在条分法的基础上，给出了两种工程中常见的模型，较好的解决了体中边坡开挖的优化设计以及边坡稳定两类问题；
2) 模型还通过对最危险滑弧性质特点的讨论，给出了圆心可能出现的区域，
减少了搜索的盲目性，改进了已有的搜索算法；
3) 对加固费用R1和开挖费用R2对最优开挖角及总费用的影响进行了一定的讨论；
4）模型假设过于理想化，距工程实际还有一定的差异。

参考文献：
[1] 李民庆.岩体力学的力学基础.湖南科学技术出版社.1979
[2] 刘志斌 王志宏.圆弧滑坡最危险滑弧圆心位置的求解方法.煤炭学报.1997
[3] 杨进良.土力学.中国水利水电出版社.2000