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工程问题综合提高
本讲知识点汇总：
1. 工程问题基本公式：
工作量=工作效率×工作时间；
工作时间=工作量÷工作效率；
工作效率=工作量÷工作时间．
2. 理解“单位1”的概念并灵活应用；
3. 有的工程问题，工作效率往往隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，要仔细梳理工作过程、灵活运用基本数量关系；
工作量其实是一种分率，利用量率对应可以求出全部工作的具体数量．
典型题型
1. 基本效率计算：最常见的工程问题，基本思路是根据工作过程计算效率，通过对效率的分析计算时间．
（1） 基本工程问题：关键在于效率的计算；
（2） 中途离开或加入型：算清楚每个人工作的时间或合作时间即可；
（3） 来回帮忙型：先利用每个人都在干活算出总时间，再根据总时间算每个人具体的工作安排；
2. 具有周期性的工程问题
（1） 轮流工作型：先处理合作的整的单位时间工作量，再独做处理零头，即剩余的工作量；
（2） 间隔休息型：先考虑一个周期各自的工作量，再分段处理；
3. 工程问题中的比例
（1） 正反比的应用：关键要明确“什么是不变的”，从而知道该用何种比例；
（2） 效率变化：类似于行程问题中的变速问题，需要从变速点分段计算；
4. 水管问题和牛吃草问题
（1） 牛吃草问题型：设效率，比较总量；
（2） 水管问题型：注意有“帮倒忙”的水管．
例1． 生产一批帽子，甲、乙二人合作需15天完成．现由甲先单独工作5天，再由乙单独工作3天后还剩这批帽子的没完成．若甲每天比乙少加工4个帽子，则这批帽子共有多少个？
「分析」题中已知甲、乙的工效和，那么就应想办法让甲、乙同时工作，不妨采用假设的工作方式分析题目．
练习1、一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成．现在两队合作，期间甲队休息了2天，乙队休息了8天．开始到完工共用了多少天时间？
例2． A仓库货物是B仓库的2倍，甲搬运A仓库需要32小时，乙、丙搬运B仓库分别需要24小时和12小时．甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后两仓库货物同时搬完．丙帮助甲搬了多少小时？
「分析」总的工作量是已知的，工作效率的和也知道，在整个工作的过程中没有人休息，那么，我们可以求出工作时间．
练习2、墨莫带着阿呆和阿瓜去割草．单独割完一个草地的草，阿呆需要9个小时，阿瓜需要12个小时，墨莫只需要18个小时就行．现在阿呆和阿瓜各自负责一个大小相同的草地．墨莫先帮助阿瓜，一会去帮助阿呆，最后阿呆和阿瓜一起完成了割草的任务，那么墨莫共帮助阿呆割了多少个小时？
例3． 小鹿、小羊、小猪三名打字员承担一项打字任务，若由这3人中的某人单独完成全部打字任务，则小鹿需24小时，小羊需20小时，小猪需16小时．
（1）如果鹿、羊、猪三人同时打字，那么需要多少小时完成？
（2）如果按鹿、羊、猪的次序轮流每人各打1小时，那么需要多少小时完成？
「分析」（1）直接计算即可；（2）分析可得每3个小时可以作为一个周期，那么在完成工作的过程中需要多少个整周期哪？
练习3、一个水池有两根进水管，单开甲管12小时注满，单开乙管15小时注满，现在甲乙管轮流打开，甲管打开1小时，乙管打开1小时，甲管打开1小时，乙管打开1小时……重复交替下去，那么注满水池共需要多少小时？
例4． 甲工程队每工作6天必须休息1天，乙工程队每工作5天必须休息2天，一项工程，甲工程队单独做需104天（含休息），乙工程队单独做需82天（含休息），如果两队合作，从2012年8月28日开工，则该工程在哪一天可以竣工？
「分析」分析可得两个工程队都是每7天为一个周期，那么一个周期内它们完成的工作量分别是多少呢？
练习4、姜太公“三天打鱼两天晒网”（打三天鱼休息两天），周文王“四天打鱼一天晒网”，姜太公打满一缸鱼要38天，周文王打满同样的一缸鱼要37天，两人从2012年9月2号开始打鱼，在几月几号可以合打满一缸鱼？
例5． 一批蜘蛛侠模型，做了
后，提速25%，提前3小时完成任务；如果做了400个模型后，提速20%，可以提前2小时完成任务，那么这批模型有多少个？
「分析」不妨画出一个类似行程问题的线段图来分段分析本题．
例6． 甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需要18天；在雨天，一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要上升20%．结果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天？
「分析」在解决某些工程问题时列方程是个不错的选择．
智慧的结晶——《梦溪笔谈》
宋代是中国古代数学最辉煌的时期之一．北宋大科学家沈括的名著《梦溪笔谈》中，有10多条有关数学的讨论，内容既广且深，堪称我国古代数学的瑰宝．
沈括最重要的数学探讨是隙积术和会圆术．隙积术在我国数学史上开辟了高阶等差级数求和的研究领域．
所谓“隙积”，指的是有空隙的堆积体、例如酒店中堆积的酒坛、叠起来的棋子等，这类堆积体整体上就像一个倒扣的斗，与平截头的长方锥（刍童）很像．但是隙积的边缘不是平的，而中间又有空隙，所以不能照搬刍童的体积公式．沈括经过思考后，发现了正确的计算方法．他以堆积的酒坛为例说明这一问题：设最上层为纵横各2个坛子，最下层为纵横各12个坛子，相邻两层纵横各差1坛，显然这堆酒坛共11层；每个酒坛的体积不妨设为1，用刍童体积公式计算，总体积为
，酒坛总数也应是这个数．显然，酒坛数不应为非整数，问题何在呢？沈括提出，应在刍童体积基础上加上一项“
”即为
，酒坛实际数应为
．加上去的这一项正是一个体积上的修正项．在这里，沈括以体积公式为基础，把求解不连续的个体的累积数（级数求和），化为连续整体数值来求解，可见他已具有了用连续模型解决离散问题的思想．
会圆术是对圆的弧矢关系给出的比较实用的近似公式，主要思想是局部以直代曲．沈括进一步应用《九章算术》中弧田的面积近似公式，求出弧长，这便是会圆术公式．沈括得出的虽是近似公式，但可以证明，当圆心角小于45°时，相对误差小于2%，所以该公式有较强的实用性．这是对刘徽割圆术以弦（正多边形的边）代替圆弧思想的一个重要佐证，很有理论意义．后来，郭守敬、王恂在历法计算中，就应用了会圆术．
在《梦溪笔谈》中，沈括还应用组合数学法计算得出围棋可能的局数是3361种，并提出用数量级概念来表示大数3361的方法．沈括还在书中记载了一些运筹思想，如将暴涨的汴水引向古城废墟来抢救河堤的塌陷，以及用挖路成河、取土、运输，最后又将建筑垃圾填河成路的方法来修复皇宫等．沈括对数的本质的认识也很深刻，指出：“大凡物有定形，形有真数．”显然他否定了数的神秘性，而肯定了数与物的关系．他还指出：“然算术不患多学，见简即用，见繁即变，乃为通术也．”
作业
1. 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，现在由两队合作，其间乙队休息了若干天，从开始到完工共用了14天，那么乙队休息了多少天？
2. 一项工作由甲先做6小时，再由乙做12小时即可完成，如果甲先做8小时，乙再做6小时也可完成．如果甲先做3小时，则乙还需要做几小时？
3. 某工程可由若干台机器在规定的时间内完成．如果增加2台机器，则需要用规定时间的
就可完成；如果减少2台机器，那么就要推迟
小时完成．问由一台机器完成这项工程需要多少小时？
4. 草场上放有一堆草，并且还有一片草以均匀的速度生长着，如果放养8头牛，则10天可以吃完；如果放养10头牛，则6天可以吃完，那么如果放养15头牛，可以吃几天？
5. 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时．现有两个相同的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙先帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后两个仓库货物同时搬完，那么丙帮助甲几小时，帮助乙几小时？
工程问题综合提高答案
例7． 答案：240．
详解：由已知条件可知甲乙工作效率和为，而甲工作5天加上乙工作3天相当于甲乙合作三天后甲又独自工作了2天，所以甲的工作效率为，进而可知乙的工作效率为，所以这批帽子共有个．
例8． 答案：12
详解：在整个过程中甲、乙、丙均没有停止，一直在工作，所以可以从整体上考虑这类型的题目；
小时，对于A仓库：甲搬了
，丙帮甲搬了
小时．
例9． 答案：（1）
；（2）
详解：三人的工作效率之和为
．
（1）三人同时工作时所需的时间为
；（2）三人依次各做1小时，也就是周期是3小时的周期性合作，且每个周期可完成
．而
，
，
小时，即轮流工作6个周期后，鹿又工作了1个小时，羊又工作了
小时，所以共需要：
小时．
例10． 答案：10月12日
详解：把工程总量看作单位“1”，因为，所以甲工作一天可完成；因为，所以乙工作一天可完成．甲乙两人合作周期性工作，每7天完成的工作量为，则经过6个周期后还剩余的工作量为，而甲乙合作一天可完成，所以4>>3，因此所需的时间为，由于 8月有31日，所以8月份工作了4天，而，因此要到10月12日方可完工．
例11． 答案：1000
详解：第一次提速前后的工作效率比是4:5，工作时间比是5:4，所以完成整个工作需要
小时，第二次提速前后的工作效率比是5:6，工作时间比是6:5，所以400个模型需要8个小时，那么这批模型有1000个．
例12． 答案：10
详解：由题意可知，晴天甲效率，乙效率；雨天时甲效率，乙效率，假设共有x个晴天，y个雨天，则可列出方程：，解得，所以雨天有10天．
练习：
练习1、
答案：11
简答：甲的工作效率是
，乙的工作效率是
，期间甲队休息了2天，乙队休息了8天，相当于甲和乙一起休息2天后，乙又独自多休息了6天，此时甲独自完成了
，剩下的由甲和乙同时完成，所用的时间为
天，所以共用：
天．
练习2、
答案：2
简答：在整个过程中三人没有停止，一直在工作，所以总的工作量除以总的工作效率可得总的工作时间为
小时，因此墨莫共帮助阿呆割了
小时．
练习3、答案：
小时
简答：两人各做1小时，周期是2小时，两人合作一小时的工作量是
，而
，剩余的工作量就是
，
，共需要
小时．
练习4、
答案：9月19号
简答：两人都是5天一周期，姜太公打满一缸鱼相当于实际工作的天数是24天，周文王实际工作天数是30天，所以一周期效率和是
，所以共三个周期15天，而剩下的工作量是
，恰好需做
天，所以总共要打18天，所以是9月19号．
作业
1. 答案：5
简答：首先把这项工程的工作量看作单位“1”，则甲、乙的工作效率分别为、．设乙队休息了x天，由已知条件可得：，解得．
2. 答案：21
简答：在工作总量不变的情况下，甲工作6小时、乙工作12小时或甲工作8小时、乙工作6小时都可完成，对比前后两种情况可知当甲多工作个小时，乙少工作了个小时，即甲1个小时的工作量由乙来做要3个小时．因此当甲由原来工作6小时变为工作3小时后，乙要比原来多工作9小时，所以乙需要做21小时．
3. 答案：56
简答：增加2台机器后只需用规定时间的就可完成任务，把规定时间分为8份，即原来所有机器工作1份时间的工作量由2台机器用7份时间完成了，由反比关系可知原来有台机器；减少2台机器剩余的12台机器要多工作小时，则原来计划的工作时间为小时，因此14台机器要用4个小时完成，所以一台机器要56个小时完成．
4. 答案：3
简答：设一头牛一天吃一份草，8头牛吃了10天，即吃了80份草；10头牛吃了6天，即吃了60份草，前后两种情况多出来的20份草是因为第一种情况下比第二种情况草多长了4天，即草每天长5份，所以原来有份草．所以15头牛要吃天．
5. 答案：3、5
简答：因为自始至终三人都在同时工作，且共完成的工作总量为“2”，所以所需的总时间为小时，所以丙帮甲小时，丙帮乙小时．
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