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数学模型与实验上级实验题目

1. 某工厂计划生产I、II、III三种产品，已知生产单位产品所需的设备台时，A、B两种原材料的消耗和利润如下表所列：
产品
资源
I
II
III
资源限制
设备
1
2
1
有效台时8台时
原材料A
4
0
2
A共有16桶
原材料B
0
4
2
B共有12桶
单位产品利润（千元）
2
3
2

问题：（1）如何安排生产使盈利最大？并说明最优生产计划下的紧约束。
（2）写出其对偶问题表达式，并计算对偶价格。
（3）若为了增加产量，可租用设备，租金800元/台时，租用设备是否划算？最多租用多少台时？
（4）若市场需求发生变化，生产产品I减少利润0.5千元，此时生产计划是否需要改变？（用灵敏度分析的方法求解）
模型建立
问题一：
由数据可以看出，决策变量为生产三种产品（）所需要的材料和设备共有9个决策变量。由此分析，问题的目标函数为：
Max z=
约束条件：

模型求解
使用lingo算出结果，
程序如下：
max =2*x1+3*x2+2*x3;
x1+2*x2+x3<=8;
4*x1+2*x3<=16;
4*x2+2*x3<=12;
x1>=0;
x2>=0;
x3>=0;
end
结果：

得到结果
最大获利为（千元）。
问题二：设设备和原材料价格A、B为
目标函数：min w=
约束条件：

Lingo程序如下：
model:
min=8*y1+16*y2+12*y3;
y1+4*y2>=2;
2*y1+4*y3>=3;
y1+2*y2+2*y3>=2;
end
结果如下：

对偶价格为：
设备1千元，原材料A250元，原材料B250元。
问题三
由获利可得，租用设备是划算的。
程序如下：
model:
max=2*x1+3*x2+2*x3-0.8*x4;
x1+2*x2+x3-x4<=8;
4*x1+2*x3<=16;
4*x2+2*x3<=12;
x1>=0;
x2>=0;
x3>=0;
x4>=0;
end
结果如下：

运行结果可得最多租用两台，最大获利为15.4千元
问题四

由以上结果可以看出x1系数允许的范围是（1.0，2.5），而Ⅰ只减少0.5，变为1.5在允许的范围内，所以不用改变生产计划。

2．哈雷彗星。
哈雷彗星在1986年2月9日到达了近日点（最接近太阳的点，取太阳为原点），那时它的位置和速度分别为

位置单位为AU(天文单位，取地球轨道的长半轴为单位距离)，时间单位为年。彗星的三维运动方程为

其中参数，。求微分方程的数值解，作出彗星三维轨道和彗星轨道在yz平面的射影。由r与t的关系，计算彗星的远日点距太阳的距离，预测下一次彗星到达近日点的时间。

3. 交通流均衡问题
某地有如图1所示的一个公路网，每天上班时间有6千辆小汽车要从居民区A前往工作区D。经过长期观察我们得到了图1中5条道路上每辆汽车的平均行驶时间和汽车流量之间的关系，如表1所示。那么，长期来看，这些汽车将如何在每条道路上分布？
表1 平均行驶时间与汽车流量之间的关系
道路
AB
AC
BC
BD
CD
行驶时间/min
流量≤2
20
52
12
52
20
2<流量≤3
30
53
13
53
30
3<流量≤4
40
54
14
54
40

A
D
C
B

图1 公路网示意图

4.某汽车公司是一家专营货物运输业务的公司。为了制定一个更完善的工作计划，该公司决定利用回归分析方法，帮助他们对自己的运货耗时作出预测。根据经验，运货耗费时间y与运货距离x1和运货数量x2有关。为此，公司收集了11个样本，其数据如下表所示。

序号
运货距离x1/kg
运货数量x2/件
耗费时间y/小时
1
10
4
9.3
2
50
3
4.8
3
100
4
8.9
4
100
2
6.5
5
50
2
4.2
6
80
2
6.2
7
75
3
7.4
8
65
4
6
9
77
3
8.9
10
90
3
7.6
11
90
2
6.1
试根据这张数据表，给出运货距离x1，运货数量x2，与运货耗费时间y的关系式。
解答：
选择纯二次模型，即

Matlab源程序：
>> x1=[10,50,100,100,50,80,75,65,77,90,90];
>> x2=[4,3,4,2,2,2,3,4,3,3,2];
>> y=[9.3,4.8,8.9,6.5,4.2,6.2,7.4,6,8.9,7.6,6.1]';
>> x=[x1' x2'];
>> rstool(x,y,'purequadratic')
Variables have been created in the current workspace.

在画面左下方的下拉式菜单中选”all”, 则beta、rmse和residuals都传送到Matlab工作区中. 在Matlab工作区中输入命令：beta, rmse
>> beta
beta =
-2.5376
-0.1498
7.7906
0.0014
-1.1494
>> rmse
rmse =
1.1602
>>
故回归模型为：
剩余标准差为1.1602, 说明此回归模型的显著性较好

上机要求：
1、撰写实验报告，包括每道题的完整分析、求解过程（实验报告封面需用给定模板）。
2、建立模型、求解方法不限，可用数学解析法，也可编程求解。
3、三人一组(找不到三人的同学，两人一组也可), 从4个题目中任意选择2个求解。

山东交通学院

数学模型与实验
综合上机实验报告

队员 A 队员 B 队员 C
姓名： 张富生 姓名： 李兰东 姓名： 王家赫
班级： 信息111 班级： 信息111 班级： 信息111
学号：110111103 学号：110111106 学号：110111105

1. 某工厂计划生产I、II、III三种产品，已知生产单位产品所需的设备台时，A、B两种原材料的消耗和利润如下表所列：
产品
资源
I
II
III
资源限制
设备
1
2
1
有效台时8台时
原材料A
4
0
2
A共有16桶
原材料B
0
4
2
B共有12桶
单位产品利润（千元）
2
3
2

问题：（1）如何安排生产使盈利最大？并说明最优生产计划下的紧约束。
（2）写出其对偶问题表达式，并计算对偶价格。
（3）若为了增加产量，可租用设备，租金800元/台时，租用设备是否划算？最多租用多少台时？
（4）若市场需求发生变化，生产产品I减少利润0.5千元，此时生产计划是否需要改变？（用灵敏度分析的方法求解）
模型建立
问题一：
由数据可以看出，决策变量为生产三种产品（）所需要的材料和设备共有9个决策变量。由此分析，问题的目标函数为：
Max z=
约束条件：

模型求解
使用lingo算出结果，
程序如下：
max =2*x1+3*x2+2*x3;
x1+2*x2+x3<=8;
4*x1+2*x3<=16;
4*x2+2*x3<=12;
x1>=0;
x2>=0;
x3>=0;
end
结果：

得到结果
最大获利为（千元）。
问题二：设设备和原材料价格A、B为
目标函数：min w=
约束条件：

Lingo程序如下：
model:
min=8*y1+16*y2+12*y3;
y1+4*y2>=2;
2*y1+4*y3>=3;
y1+2*y2+2*y3>=2;
end
结果如下：

对偶价格为：
设备1千元，原材料A250元，原材料B250元。
问题三
由获利可得，租用设备是划算的。
程序如下：
model:
max=2*x1+3*x2+2*x3-0.8*x4;
x1+2*x2+x3-x4<=8;
4*x1+2*x3<=16;
4*x2+2*x3<=12;
x1>=0;
x2>=0;
x3>=0;
x4>=0;
end
结果如下：

运行结果可得最多租用两台，最大获利为15.4千元
问题四

由以上结果可以看出x1系数允许的范围是（1.0，2.5），而Ⅰ只减少0.5，变为1.5在允许的范围内，所以不用改变生产计划。

4.某汽车公司是一家专营货物运输业务的公司。为了制定一个更完善的工作计划，该公司决定利用回归分析方法，帮助他们对自己的运货耗时作出预测。根据经验，运货耗费时间y与运货距离x1和运货数量x2有关。为此，公司收集了11个样本，其数据如下表所示。

序号
运货距离x1/kg
运货数量x2/件
耗费时间y/小时
1
10
4
9.3
2
50
3
4.8
3
100
4
8.9
4
100
2
6.5
5
50
2
4.2
6
80
2
6.2
7
75
3
7.4
8
65
4
6
9
77
3
8.9
10
90
3
7.6
11
90
2
6.1
试根据这张数据表，给出运货距离x1，运货数量x2，与运货耗费时间y的关系式。
解答：
选择纯二次模型，即

Matlab源程序：
>> x1=[10,50,100,100,50,80,75,65,77,90,90];
>> x2=[4,3,4,2,2,2,3,4,3,3,2];
>> y=[9.3,4.8,8.9,6.5,4.2,6.2,7.4,6,8.9,7.6,6.1]';
>> x=[x1' x2'];
>> rstool(x,y,'purequadratic')
Variables have been created in the current workspace.

在画面左下方的下拉式菜单中选”all”, 则beta、rmse和residuals都传送到Matlab工作区中. 在Matlab工作区中输入命令：beta, rmse
>> beta
beta =
-2.5376
-0.1498
7.7906
0.0014
-1.1494
>> rmse
rmse =
1.1602
>>
故回归模型为：
剩余标准差为1.1602, 说明此回归模型的显著性较好

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