高考数学专题《数列》超经典.doc

高考复习序列-高中数学数列一、数列的通项公式与前n项的和的关系 （注：该公式对任意数列都适用） （注：该公式对任意数列都适用） （注：该公式对任意数列都适用）sn+1-sn-1=an+1+an （注：该公式对任意数列都适用）二、等差与等比数列的基本知识1、等差数列 通项公式与公差：定义式：一般式：推广形式： ； 前项和与通项的关系： 前n项和公式：.前n项和公式的一般式： 应用：若已知，即可判断为某个等差数列的前n项和，并可求出首项及公差的值。与的关系：（注：该公式对任意数列都适用）例：等差数列， （直接利用通项公式作差求解） 常用性质：若m+n=p+q ，则有 ；特别地：若的等差中项，则有2n、m、p成等差数列；等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如，）仍是等差数列；为公差为d等差数列，为其前n项和，则，也成等差数列,A、 构成的新数列公差为D=m2d，即m2d=(S2m-Sm)- Sm；B、 对于任意已知Sm，Sn，等差数列 公差，即也构成一个公差为等差数列。若项数为偶数，设共有项，则偶奇； ；若项数为奇数，设共有项，则奇偶；。 例：已知等差数列，其中 解析：法一，用等差数列求和公式 求出法二，成等差数列，设公差为D，则：法三, 63. 等比数列的通项公式： 一般形式：；推广形式：，其前n项的和公式为：，或.数列为等比数列 常用性质： 若m+n=p+q ，则有 ；特别地：若的等比中项，则有 n、m、p成等比数列; 等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如，）仍是等比数列；为等比数列，为其前n项和，则，也成等比数列（仅当当或者且不是偶数时候成立）；设等比数列的前项积为，则，成等比数列 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. 既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：是等差数列中项法：是等差数列一般通项公式法：是等差数列一般前项和公式法：是等差数列判断或证明一个数列是等差数列的方法：（1）定义法：为等比数列；（2）中项法：为等比数列； （3）通项公式法：为等比数列； （4）前项和法：为等比数列。 为等比数列。数列最值的求解（1），时，有最大值；，时，有最小值；（2）最值的求法：若已知，的最值可求二次函数的最值；可用二次函数最值的求法（）；或者求出中的正、负分界项，即：若已知，则最值时的值（）可如下确定或。 例1：等差数列中，则前 项的和最大。【解析】：例2设等差数列的前项和为，已知 求出公差的范围， 指出中哪一个值最大，并说明理由。【解析】： 由，可知，n=12是前n项和正负分界项，故所以，最大变式：若等差数列的首项为为31，从第16项开始小于1 ，则此数列公差d的取值范围是 解析：，但要注意此时还要一个隐含条件，联立不等式组求解。3、若数列的前n项和，则 ，数值最小项是第 项。【解析】：法一（导数法）：根据等差数列前n项和的标准形式，可知该数列为等差数列，令,取得最小值，其中，可见当n=3时取得最小。法二（列举法）：对于可用列举法，分别求出n=1、2时的的值，再进行比较发现。4、已知数列， 【解析】：法一（均值不等式）：由累加法：，令法二（列举法）：实在没招时使用该法。5、 已知等差数列的前n项和 。【解析】：6、数列通项公式的求法：类型1：等差数列型思路：把原递推式转化为，再使用累加法（逐差相加法）求解。例，已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为变式： 已知数列满足，求数列的通项公式。解： 两边除以，得，则，此时，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为评注：本题前的系数不一致，不能直接使用前述方法，解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。类型2：等比数列型把原递推式转化为，再使用累乘法（逐商相乘法）求解。例 （2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。解：因为所以用式式得则；故所以由，则，又知，则，代入得。所以，的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。类型4：待定系数法处理 或型数列把原递推式转化为转化思路：例，数列解：令，所以即是公比为2的等比数列， =（），或令，是公比为2的等比数列，所以，变式1：已知数列满足，求数列的通项公式。思路：等式两边同时除于；原递推式变成令，评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，最后再求出数列的通项公式。变式2：已知数列满足，求数列的通项公式。思路：将原递推式两边倒数后换元，再转化为变式3：已知数列满足，求数列的通项公式。思路：将原递推式两边求对数后换元，再转化为变式4：已知数列满足，求数列的通项公式。思路：换元，则，再代入原递推式，再转化为类型5 已知递推式 求这种类型一般利用导出，消去，得到与的递推式，再利用前面的方法求解出（知识迁移：）例，已知数列前n项和，求：（1），（2）通项。解：（1）（2）由上式：，令，即有，而，所以，2，公差为2,的等差数列，类型6：求用作商法：数列求和的常用方法然数和公式： ； ；一、利用等差等比数列的求和公式求和 1、 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：例1 已知，求的前n项和.解：由，由等比数列求和公式得 1（利用等比数列求和公式） 例2 设Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值.解：由等差数列求和公式得 ， 当 ，即n8时，二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例3 求和：解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之积设. 得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得： 例4 求数列前n项的和.解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积设 - 三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个. 例5 求的值解：设. 将式右边反序得. 又因为 ，+得 89 S44.5题1 已知函数（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得： 所以.四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例5 求数列的前n项和：，解：设将其每一项拆开再重新组合得 当a1时， 时，五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1） （2）（3） （4） 例6 求数列的前n项和.解：设 则 例7 在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.解： 数列bn的前n项和 六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 例8 求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：设Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 Sn （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177）+（cos89+ cos91）+ cos90 0 例9 在各项均为正数的等比数列中，若的值.解：设由等比数列的性质 （找特殊性质项）和对数的运算性质 得 （合并求和） 1016