数学专升本考试试题.doc

高等数学（二）命题预测试卷（二）
一、 选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。在每个小题给出的选
项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1．下列函数中，当时，与无穷小量相比是高阶无穷小的是（ ）
A． B．
C． D．
2．曲线在内是（ ）
A．处处单调减小 B．处处单调增加
C．具有最大值 D．具有最小值
3．设是可导函数，且，则为（ ）
A．1 B．0
C．2 D．
4．若，则为（ ）
A． B．
C．1 D．
5．设等于（ ）
A． B．
C． D．
二、 填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在
题中横线上。
6．设，则= ．
7．设，则 ．
8．，则 ．
9．设二重积分的积分区域D是，则 ．
10．= ．
11．函数的极小值点为 ．
12．若，则 ．
13．曲线在横坐标为1点处的切线方程为 ．
14．函数在处的导数值为 ．
15． ．
三、解答题：本大题共13小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤。
16．（本题满分6分）
求函数的间断点．

17．（本题满分6分）
计算．

18．（本题满分6分）
计算．

19．（本题满分6分）
设函数，求．

20．（本题满分6分）
求函数的二阶导数．

21．（本题满分6分）
求曲线的极值点．

22．（本题满分6分）
计算．

23．（本题满分6分）
若的一个原函数为，求．

24．（本题满分6分）
已知，求常数的值．

25．（本题满分6分）
求函数的极值．

26．（本题满分10分）
求，其中D是由曲线与所围成的平面区域．

27．（本题满分10分）
设，且常数，求证：．

28．（本题满分10分）
求函数的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近线并作出函数的图形．

参考答案
一、 选择题
1．B 2．B 3．D 4．D 5．D
二、填空题
6． 7．
8． 9．
10． 11．
12．5 13．
14． 15．0
三、解答题
16．解 这是一个分段函数，在点的左极限和右极限都存在．

故当时，的极限不存在，点是的第一类间断点．
17．解 原式=．
18．解 设．
由于是初等函数的可去间断点，
故

．
19．解 首先在时，分别求出函数各表达式的导数，即
当时，
当时，．
然后分别求出在处函数的左导数和右导数，即

从而，函数在处不可导．
所以
20．解
①

②
又由①解得
代入②得

21．解 先出求的一阶导数：
令 即 解得驻点为．
再求出的二阶导数．
当时，，故是极小值．
当时，，在内，，在内
故 不是极值点．
总之 曲线只有极小值点．
22．解

23．解 由题设知
故

．
24．解

又
故 解得．
25．解
解方程组得驻点
又
对于驻点，故
驻点不是极值点．
对于驻点
故 ，又．
函数在点取得极大值

26．解 由与得两曲线的交点为与
的反函数为．

27．证

于是．
28．解 （1）先求函数的定义域为．
（2）求和驻点：，令得驻点．
（3）由的符号确定函数的单调增减区间及极值．
当时，，所以单调增加；
当时，，所以单调减少．
由极值的第一充分条件可知为极大值．
（4）求并确定的符号：
，令得．
当时，，曲线为凸的；
当时，，曲线为凹的．
根据拐点的充分条件可知点为拐点．
这里的和的计算是本题的关键，读者在计算时一定要认真、仔细。
另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷，现列表如下：

＋
0
－
－
－

－
0
＋
就表上所给的和符号，可得到：
函数的单调增加区间为；
函数的单调减少区间为；
函数的极大值为；
函数的凸区间为；
函数的凹区间为；
函数的拐点为．
（5）因为，
所以曲线有
水平渐近线
铅垂渐近线
（6）根据上述的函数特性作出函数图形如下图．