中国科学技术大学自动控制原理习题及解答.pdf

自动控制原理习题及其解答第一章（略）第二章例2弹簧，阻尼器串并联系统如图2-1示，系统为无质量模型，试建立系统的运动方 程。解：（1）设输入为乃，输出为W。弹簧与阻尼器并联平行移动。（2）列写原始方程式，由于无质量按受力平衡方程，各处任何时刻，均满足工厂二，则对于/点有Ff+Fki FK2=0其中，的为阻尼摩擦力，F”厂K2为弹性恢复力。(4)写中间变量关系式下 F 0）f f=J-:-J dt/K1=K1O；-检）Fk2 K2W消中间变量得化标准形其中:人互土为时间常数单位网。K=Ki 为传递函数,无量纲。&+K2例2-2已知单摆系统的运动如图2-2示。（1）写出运动方程式（2）求取线性化方程解：（1）设输入外作用力为零，输出为摆角6,摆球质量为怔（2）由牛顿定律写原始方程。m(l 粤)=_mgsme-h dt J其中，/为摆长，/为运动弧长，为空气阻力。（3）写中间变量关系式h=a（J dt式中，。为空气阻力系数/回为运动线速度。dt（4）消中间变量得运动方程式图2-2单摆运动加空+H也+gin”。dt2 dt(2-1)此方程为二阶非线性齐次方程。（5）线性化由前可知，在6=0的附近，非线性函数sin。0，故代入式（2-1）可得线性化方程为.冬+/也+频=0 成 2 dt&例2-3已知机械旋转系统如图2-3所示，试列出系统运动方程。图2-3机械旋转系统3解：（1）设输入量作用力矩吸 输出为旋转角速度。O（2）列写运动方程式丁 dCD ”,J-=-f3+M 于式中，加为阻尼力矩，其大小与转速成正比。（3）整理成标准形为J+fco=Mf此为一阶线性微分方程，若输出变量改为夕则由于de（O dt代入方程得二阶线性微分方程式J堂+心*dt dt f例2-4设有一个倒立摆安装在马达传动车上。如图2-4所示。y图2-4 倒立摆系统倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾 倒，这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2-65所示平面内运动。控制力作用于小车 o假设摆杆的重心位于其几何中心人 试求该系统的运动方程式。解：（1）设输入为作用力小 输出为摆角6 o（2）写原始方程式，设摆杆重心/的坐标为（羽，为）于是XA=X+lsinOXy-/COS，画出系统隔离体受力图如图2-5所示。图2-5 隔离体受力图摆杆围绕重心/点转动方程为:j 二%sin。McosS dt2(2-2)式中，/为摆杆围绕重心4的转动惯量。摆杆重心/沿X轴方向运动方程为:即屋m-(x+/sin B)=H dt(2-3)摆杆重心/沿轴方向运动方程为:d2yAm-V-mgdt 即m-(/cos 3)=V-mg dt2小车沿x轴方向运动方程为:一 d?x M =u H dt?方程(22),方程(23)为车载倒立摆系统运动方程组。因为含有sin。和cos。项，所以 为非线性微分方程组。中间变量不易相消。(3)当。很小时，可对方程组线性化，由sinSa同理可得到cosl则方程式(22)式(23)可用线性化方程表示为：/A出?d2x 7 d23 TT m+ml 二Hdt dt0=V-mg,d2x TTM u H月2用S2=J 的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量/、H、X得 dt2(Ml-M+m+(M+m)gO=uml将微分算子还原后得八箱 mj j、d2、de(Ml H-1)-(M+Tii)g =uml I dt dt此为二阶线性化偏量微分方程。例2-5火。无源网络电路图如图26所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数 6(s)/a(s)。图2-6 AC无源网络解：在线性电路的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之间的关系，满足 广义的欧姆定律。即：/=Z(s)如果二端元件是电阻尺、电容C或电感,则复阻抗Z（s）分别是尺、1/Cs或o（1）用复阻抗写电路方程式：/KS）=4（S）。口上!RiZi（s）=/（S），2（s）-4/2（S）=1（S）Uc2（S）,火2匕 2（S）=/2（S3C2s（2）将以上四式用方框图表示，并相互连接即得RC网络结构图，见图26（。）。（3）用结构图化简法求传递函数的过程见图26（）、（d）、（e）o（。）（d）图2-6 AC无源网络结构图（4）用梅逊公式直接由图26（b）写出传递函数6（5）/。心）。独立回路有三个:G=迎竺A1 R GS RGS11L3=1-1GS r2 r2cls1回路相互不接触的情况只有1和2两个回路。则L-i 9=La L?RiGR2c 2s2由上式可写出特征式为:1A 1 (L+Z2+L3)LL2-1+1 1 1+-+-+RgS R2c 2s R2cls RCR2c 2s2通向前路只有一条1 111G1=i gS R?C2s 3”2由于Gi与所有回路4,Z2,3都有公共支路，属于相互有接触，则余子式为A产1代入梅逊公式得传递函数1G与R&R2c2s2A.1 1 1 11 H-1-1-1-KiGs R2c 2s R2C1S R1C1R2c2s21R1R2cle 2s2+(&G+R2c 2+RCz)S+1例2-6有源网络如图27所示，试用复阻抗法求网络传递函数，并根据求得的结果，直 接用于图28所示PI调节器，写出传递函数。图2-7 有源网络图2-8 PI调节器解：图2-7中乙.和乡表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗，假设/点 为虚地，即SO,运算放大器输入阻抗很大，可略去输入电流，于是：/尸/2则有：故传递函数为L(s)=/(s)Zz(s)C(S)=_/2(S)Z/(S)(2-4)对于由运算放大器构成的调节器，式(24)可看作计算传递函数的一般公式，对于图2-8所 示PI调节器，有Zz(s)=&Zfs=R2+故G.Z-.&+S+lZz(s)&RCSW 2-7求下列微分方程的时域解x。已知x(0)=0,以0)=3。解：对方程两端取拉氏变换为：S2X(s)-&(0)-x(0)+35X(5)-3x(0)+6X(s)=0代入初始条件得到(S2+3S+6)X(s)=3解出X(s)为：V15X(s)=萃-SFS+6 新(s+l+(T)2反变换得时域解为：x(,)=.f(争例28已知系统结构图如图2-9所示，试用化简法求传递函数C(s)伏(s)。图2-9系统结构图R(s)|g+m q 1+GH2图2-10系统结构图的简化解：(1)首先将含有G2的前向通路上的分支点前移，移到下面的回环之外。如图2-10(a)所示。(2)将反馈环和并连部分用代数方法化简，得图2-10(6)。(3)最后将两个方框串联相乘得图2-10(c)o例29已知系统结构图如图2-11所示，试用化简法求传递函数C(s)/R)。解：(1)将两条前馈通路分开，改画成图 2-12(q)的形式。(2)将小前馈并联支路相加，得图2-12(6)。(3)先用串联公式，再用并联公式(b)R(s)GGq_+G2+1C(5)图2-12 系统结构图将支路化简为图2-12(c)o例210已知机械系统如图2-13(。)所示，电气系统如图2-13(b)所示，试画出两系统 结构图，并求出传递函数，证明它们是相似系统。图2-13系统结构图 解：(1)若图2-13(a)所示机械系统的运动方程，遵循以下原则并联元件的合力等于两元件上的力相加，平行移动，位移相同，串联元件各元 件受力相同，总位移等于各元件相对位移之和。微分方程组为：F=F+F?=力区-*0)+&(xz-x0)一/)F=K2y取拉氏变换，并整理成因果关系有:厂(s)=(/iS+K)(Ms)Xo(S)(s)=厂/(5)=/-尸(5)+(5)I f2s画结构图如图2-14：图2-14 机械系统结构图求传递函数为:X（s）（/+，）（；+；）（入+1）（A+1）人 0J _儿2 J 2、_k 丁2_G）1+侬+小）（：+：）（5+1）（5+1）+5左 2 j 2s 化 2 k（2）写图2-13（6）所示电气系统的运动方程，按电路理论，遵循的定律与机械系统相似,即并联元件总电流等于两元件电流之和，电压相等。串联元件电流相等，总电压等于各元件 分电压之和，可见，电压与位移互为相似量电流与力互为相似量。运动方程可直接用复阻抗写出：/=IS+/（$）=:耳-&+Gs（瓦易火1/（s）=Jo（s）-纥 2（刈火2/（5）=C25+EC2（5）整理成因果关系:/(s)=(+CS)(z(s)o(s)Rc2(S)=P7/(S)品二见+%2(S)画结构图如图2-15所示:图2-15 电气系统结构图求传递函数为:踊 耳（工+。15）（火2 八11+()(尺2Ri GS(a GS+i)(火 2C2S+D(R1GS+1)(火2。2s+1)+&。2s对上述两个系统传递函数，结构图进行比较后可以看出。两个系统是相似的。机一电系 统之间相似量的对应关系见表2-1 o表2-1相似量机械系统X。FFi凡Ki1/K2力力电气系统620金2iii1/RRGC2例241 RC网络如图2-16所示，其中的为网络输入量，功为网络输出量。(1)画出网络结构图；(2)求传递函数。2(s)/Ui(s)。解：(1)用复阻抗写出原始方程组。输入回路=R/+Q+/2)-“C 2s输出回路。2=&2/2+(，1+，2)-C 2s中间回路/内=(&+3)d2Cs(3)整理成因果关系式。/二!_(/+/2)7-2vi C2s图2-16 AC网络，2=R2cls+1l=r2a 七即可画出结构图如图2-17所示。图2-17 网络结构图U 2 GA+G2A2+G3A37一 Ai I G$i nRC 2s 火 2。1$+1 C2s k2。5+1二 i i cs i1 H-1-R、C2s R1C1s+C2s用梅逊公式求出:R1R2cle 2s2+(火1+R?)C1S+1 冬火 22s2+(&。2+&G+&1G)S+1例242已知系统的信号流图如图2-18所示，试求传递函数C(s)/K(s)。1图2-18 信号流图解：单独回路4个，即二 G2G3 GG?两个互不接触的回路有4组，即LbLc=G1G2+G1G3+G2 G3+GG2G3三个互不接触的回路有1组，即LdLeLf=-GGG于是，得特征式为=1+Gj+G2+G3+2GQ2+G&+G2G3+2GG2G3从源点R到阱节点C的前向通路共有4条,P、=G1G2G3KP2=G2G3K-GG3KP4=G、G2G3K因此，传递函数为其前向通路总增益以及余因子式分别为A=132=1+。a3=i+g2a4=1C(s)_ CA+鸟八2+舄八3+坞八4R一 AG2 G3 K(1+Gi)+GQ3 K(1+GQ 1+G+G?+G3+2GG2+GQ3+G2 G3+2GQ2 G3第三章例3-1系统的结构图如图3-1所示。已知传递函数G(s)=10/(0.2s+l)。今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间乙减 小为原来的0.1倍，并保证总放大系数不变。试确定参数&和K。的数值。解 首先求出系统的传递函数0(s),并整理为标准式，然后与指标、参数的条件对照。一阶系统的过渡过程时间右与其时间常数成正比。根据要求，总传递函数应为10(0.25/10+1)即C(5)_ KqG(s)_ 10Kq(5)-1+KhG(s)0.2s+1+10Kh10K比较系数得解之得1+10K”=0(s)5+1)10K 1+10K1+10KHI H二10二10Kh=0.9、K0=10解毕。例340某系统在输入信号中)=(1+力1作用下，测得输出响应为:c=。+0.9)0.9”心0)已知初始条件为零，试求系统的传递函数。(5)。解因为1 0 9C(.)=Zc(/)=-+-0.95+1010(5+1)7(7+io)故系统传递函数为。二1R(s)-O.h+l5+1解毕。例3-3设控制系统如图3-2所示。试分析参数b的取值对系统阶跃响应动态性能的影响。解由图得闭环传递函数为系统是一阶的。动态性能指标为td=0.69（T+6K）tr=22（T+bK）ts=3（T+6K）因此，b的取值大将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。解毕。例3-12设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。试确定系统的传递函数。图3-34二阶控制系统的单位阶跃rilril I.t 解 首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3,故此系统的增益不是1,而是3O系统模型为然后由响应的Afp%、Mp由公式得5CD0（S）=及相应公式，即可换算出、K。七）一二电）4-3%=-=-=33%。（8）3tp 多。.1（S）Mp%=e-吗丁=33%n=-1=0.10小苦换算求解得：4=0.33、3n=33.2解毕。例343设系统如图3-35所示。如果要求系统的超调量等于15%,峰值时间等于0.8s,试确定增益&和速度反馈系数&。同时，确定在此区和数值下系统的延迟时间、上升时 间和调节时间。I+K讲图 3-35解由图示得闭环特征方程为Y+（i+ka）s+Ki=o即由已知条件解得于是K=%i+kM23n=0.150.8卷=0.517,=4.5885-1K、=21.05 Kt=%3n=0.1781 z Ktd=1+。砧+。常=0297s 3n广上金=*a；ca=0 538s Jl一片 qjl-13.51.476s解毕。例344设控制系统如图3-36所示。试设计反馈通道传递函数4s),使系统阻尼比提高到 希望的加值，但保持增益K及自然频率为不变。解由图得闭环传递函数 H(s)“、图3-36俅羽总控制系统结构图0(S)=_ _Y+2g“s+Ka)；H(s)在题意要求下，应取=Kts此时，闭环特征方程为：s?+(2自+KK术+：=0令：2j+KKt3n=2&,解出，K24V)/Kq故反馈通道传递函数为：Kcon解毕。例3-15系统特征方程为6+3055+20/+10/+5$2+20=0试判断系统的稳定性。解 特征式各项系数均大于零，是保证系统稳定的必要条件。上述方程中S 一次项的系数 为零，故系统肯定不稳定。解毕。例346已知系统特征方程式为4+853+182+16+5=0试用劳斯判据判断系统的稳定情况。解 劳斯表为/1 18 5/8 16 02 8x18-1x16 y 8x5-lxO s-=16-=58 8?16*16-8x5=13 5。16o 13.5x5-16x0 s-=513.5由于特征方程式中所有系数均为正值，且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号,满足系统稳定的充分和必要条件，所以系统是稳定的。解毕。例347已知系统特征方程为s5+s4+2s3+2s2+3s+5=0试判断系统稳定性。解 本例是应用劳斯判据判断系统稳定性的一种特殊情况。如果在劳斯行列表中某一行 的第一列项等于零，但其余各项不等于零或没有，这时可用一个很小的正数2来代替为零的一 项，从而可使劳斯行列表继续算下去。劳斯行列式为4g 4 522+2123S4125S3=0-2S22g+25由劳斯行列表可见，第三行第一列系数为零，可用一个很小的正数e来代替；第四行第一 列系数为（22+2/2,当2趋于零时为正数；第五行第一列系数为（4245/）/（22+2）,当 2趋于零时为-2。由于第一列变号两次，故有两个根在右半s平面，所以系统是不稳定的。解毕。例348已知系统特征方程为6+2s5+8/+12s3+20s2+165+16=0试求：（1）在s右半平面的根的个数；（2）虚根。解 如果劳斯行列表中某一行所有系数都等于零，则表明在根平面内存在对原点对称的 实根，共辄虚根或（和）共辄复数根。此时，可利用上一行的系数构成辅助多项式，并对辅 助多项式求导，将导数的系数构成新行，以代替全部为零的一行，继续计算劳斯行列表。对 原点对称的根可由辅助方程（令辅助多项式等于零）求得。劳斯行列表为6 1 8 20 1655 2 12 1654 2 12 16Too由于$3行中各项系数全为零，于是可利用Y行中的系数构成辅助多项式，即尸(s)=2s4+12/+16求辅助多项式对s的导数，得史应=8$3+24sS原劳斯行列表中产行各项，用上述方程式的系数，即8和24代替。此时，劳斯行列表变 为6 1 8 20 2 12 16/2 12 16/8 24Y 6 1651 2.67s。16新劳斯行列表中第一列没有变号，所以没有根在右半平面。对原点对称的根可解辅助方程求得。令2/+121+16=0得至Us=jV2 和 s=/2解毕。例3-19单位反馈控制系统的开环传递函数为、KG(s)=-s(as+l)(bs+cs+1)试求：(1)位置误差系数，速度误差系数和加速度误差系数;(2)当参考输入为1(/),力X1和力2乂1 时系统的稳态误差。解根据误差系数公式，有位置误差系数为K=limG(s)=lim-之-2。2。s(as+1)(加 2+cs+1)速度误差系数为Kv=limsG(s)=lim 6*-二 KST。2。s(as+1)(加 2+cs+1)加速度误差系数为KKn=lims2G(s)=lim 52-二 0st。st。sas+l)(fe2+cs+1)对应于不同的参考输入信号，系统的稳态误差有所不同。参考输入为*1(，)，即阶跃函数输入时系统的稳态误差为 r r e.=-=0ss 1+KP l+oo参考输入为 X 1(，)，即斜坡函数输入时系统的稳态误差为r r-参考输入为2 Xl(/),即抛物线函数输入时系统的稳态误差为ess2r 2r-=-=OOK.0解毕。例3-20单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)=10s(l+TiS)(l+T2s)输入信号为r(力=A+cot,A为常量，=0.5弧度/秒。试求系统的稳态误差。解 实际系统的输入信号，往往是阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数等典型信号的组合。此时，输入信号的一般形式可表示为/、1 2系统的稳态误差，可应用叠加原理求出，即系统的稳态误差是各部分输入所引起的误差 的总和。所以，系统的稳态误差可按下式计算：L+ZL+ZL1+勺Kv K对于本例，系统的稳态误差为ssA 3-1-1+J Kv本题给定的开环传递函数中只含一个积分环节，即系统为1型系统，所以Kp=gKv=limsG(s)=lims-2。a。s(l+4s)(l+5 s)二10系统的稳态误差为A co A 切 力 0.5 八八二二-+=-+=0.05ss 1+Kp Kv l+oo 10 10 10解毕。例3-21控制系统的结构图如图3-37所示。假设输入信号为=（。为任意常数）。证明：通过适当地调节长的值，该系统对斜坡输入的响应的稳态误差能达到零。图3-37例3-21控制系统的结构图解系统的闭环传递函数为C(s)_ K(K/+1)而J-s(+l)+K即C(s)=K(K，s+l)Ts2+s+KRG)因此尺一C(s)=Ts2+s-KK.s 5-出6)Ts2+s+K当输入信号为rgt时，系统的稳态误差为 Ts2+s-KKjS a a(Ts+1 KKJ evv=hms-二 lim-sj Ts2+s+K J s?20 Ts2+s+K lim 仇+(1 乩J1 aQ KKjs-Ts2+s+K K要使系统对斜坡输入的响应的稳态误差为零，即4产0,必须满足1 K&=0所以Kz=1/K解毕。K例3-22设单位负反馈系统开环传递函数为G（s）=Kp届上。如果要求系统的位置稳态 误差诙产0,单位阶跃响应的超调量弘=4.3%,试问耳、与、T,各参数之间应保持什么关系？解开环传递函数G 一一 Kpg.M3（仆+1）s（s+，）s（s+2皿）显然2勒T j T3?n解得：由于要求KpKgT=l/4fMp%=屋，*X100%4.3%故应有4 20.707。于是，各参数之间应有如下关系KpKgT 0.5本例为I型系统，位置稳态误差&产0的要求自然满足。解毕。例3-23设复合控制系统如图3-38所示。其中Kx=2K2=1,T2=0.25s,K2K3=1试求）=（1+，+/2）1时，系统的稳态误差。5(725+1)图3-38复合控制系统解闭环传递函数 C K3 Kg2 4(5+0.5)(七)T2s2+s+KxK2 Y+4s+2等效单位反馈开环传递函数G(s)=0(s)_ 2(2s+l)I。)表明系统为n型系统，且K.=K=2当()=(1+/+/2)1。)时,稳态误差为解毕。例3-24已知单位反馈系统的开环传递函数G(s)=K/s(A+l)。试选择参数K及T的值以满足下列指标：(1)当/二方时，系统的稳态误差.W0.02；(2)当/二1时，系统的动态性能指标 M%W30%,GWO.3s 3=5%)e55=0.02 K开环增益应取K250 o现取K=60 o因G(s)=s(s+l/T)s(s+2g)7 二 1/2弧，co=K/T于是27=2犬4取/2%=0.2%,计算得(lnMp%)27T2+(nMp%)2=0.4560n=54.72此时ts=3.51己3rl=0.14 K】K2TJ2成立。由劳斯稳定判据，闭环系统稳定，且与待求参数。、b无关。此时，讨论稳态误差是 有意义的。而_ 7T2s3+(7；+5K2a)s2+(1-K2b)s 1(S)=-；-%-rTs3+(7；+7；)52+(1+K.K2T2)s+K.K2 s3若T+TK2a=0 1 K2b=0则有TTE(s)=-1T2s3+(7；+一)/+(1+KK2T2)s+K、K?系统的稳态误差为=lims(s)=0ss SO因此可求出待定参数为a=Kcb=i解毕。例3-26控制系统结构如图3-40所示。误差(s)在输入端定义。扰动输入是幅值为2的阶 跃函数。N(s)R E(s)图表40 控制系统结构图 K C(s)0.05s+l s+52.5(1)试求K=40时，系统在扰动作用下的稳态输出和稳态误差。(2)若K=20,其结果如何？(3)在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节1/5,对结果有何影响？在扰动作用点 之后的前向通道中引入积分环节1/s,结果又如何？解在图中，令K g 10.055+1 2-s+58=2.5则C(s)=G2N(s)+GiG2E(s)代入(s)=K(s)HC(s),得C(5)=-N(s)-GG?r(s)1+GH 1+G.GH令&(s)=0,得扰动作用下的输出表达式Q 口 N(s)此时，误差表达式为En=R(s)HCn=-1+即而扰动作用下的稳态输出为口(8)=理久/)已蜜立SNG)代入N(s)、Gi、G2和H的表达式，可得c(00)=-,e=-1+2.5K s 1+2.5K(1)当K=40时，。“(8)=2/101,5/101(2)当K=20时，。(8)=2/51,1“=5/51可见，开环增益的减小将导致扰动作用下系统稳态输出的增大，且稳态误差的绝对值也 增大。若1/s加在扰动作用点之前，则G=-，G2=,H=255(0.055+1)5+5不难算得c“(8)=0,essn=0若1/s加在扰动作用点之后，则0.05s+1H=2.5容易求出2/100,2/50,K=40 时K=20 时-5/100,-5/50,K=40 时K=20 时可见，在扰动作用点之前的前向通道中加入积分环节，才可消除阶跃扰动产生的稳态误解毕。例3-27设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)=s(s+2M)已知系统的误差响应为e=1.4e-L07z-0.4e-373z 心0)试求系统的阻尼比4自然振荡频率和稳态误差人。解闭环特征方程为Y+2血5+沅=0由已知误差响应表达式，易知，输入必为单位阶跃函1(。，且系统为过阻尼二阶系统。故。=1.4丁“-0Aet/T2=1.4e-107z-0.4e-3 73z即，系统时间常数为工二 0.93T2=0.27$2+2如s+式=s+s+1+TJT.代入求出的时间常数，得J=1.2,3n=2稳态误差为ess=lime=0实际上，I型系统在单位阶跃函数作用下，其稳态误差必为零。解毕。第四章例4-1设系统的开环传递函数为G(s)H(s)=2KS(S+1)(5+2)试绘制系统的根轨迹。解 根据绘制根轨迹的法则，先确定根轨迹上的一些特殊点，然后绘制其根轨迹图。(1)系统的开环极点为0,-1,-2是根轨迹各分支的起点。由于系统没有有限开环 零点，三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。(2)系统的根轨迹有-相=3条渐进线渐进线的倾斜角为(2K+1)4(2+1)x1809a=-=-取式中的K=0,1,2,得。产万/3,渐进线与实轴的交点为10 a-乙P j 4勺 一 Q-三条渐近线如图4-13中的虚线所示。(3)实轴上的根轨迹位于原点与一1点之间以及一2点的左边，如图4-13中的粗实线 所示。(4)确定分离点系统的特征方程式为s3+3s2+2s+2K=0即K=-(s3+3s2+2s)利用狄/=0,则有=-(53+652+2)=0 ds 2解得Si=0.423 和 52=-1.577由于在一1到一2之间的实轴上没有根轨迹，故S2=L577显然不是所要求的分离点。因此，两个极点之间的分离点应为用二一0.423。(5)确定根轨迹与虚轴的交点方法一利用劳斯判据确定劳斯行列表为3 12s1 32K1 6 2KS 35 2K0由劳斯判据，系统稳定时K的极限值为3。相应于K=3的频率可由辅助方程3Y+2K=3s2+6=0确定。解之得根轨迹与虚轴的交点为s=八Q。根轨迹与虚轴交点处的频率为co-V2=1.41方法二 令$二/仞代入特征方程式，可得(9)3+3(%)2+2(%)+2长=0即(2K-3G2)+丸2切-切2)二。令上述方程中的实部和虚部分别等于零，即2K-3G2=o,Icd-cd2=0所以cd +V2 K=3(6)确定根轨迹各分支上每一点的K值根据绘制根轨迹的基本法则，当从开环极点。与一1出发的两条根轨迹分支向右运动时，从另一极点一2出发的根轨迹分支一定向左移动。当前两条根轨迹分支和虚轴在K=3处相交 时，可按式q+(0+yl.41)+(0-71.41)=-3求出后一条根轨迹分支上K=3的点为%=3。由(4)知，前两条根轨迹分支离开实轴时的相应根值为一0.423土加。因此，后一条根轨 迹分支的相应点为q+(-0.423)+(-0.423)=-3所以，。*二一2.154。因本系统特征方程式的三个根之和为一2K,利用这一关系，可确定根轨迹各分支上每一 点的K值。现在已知根轨迹的分离点分别为一0.423/0和一2.154,该点的K值为 2K=(0.423)2(2.154)即，K=0.195。系统的根轨迹如图4-1所示。图4-1例4-1系统的根轨迹例4-2设控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)=3K(s+2)s(s+3)(52+2s+2)试绘制系统的根轨迹。解(1)系统的开环极点为0,-3,(1+/)和(一1一/),它们是根轨迹上各分支的起点。共有四条根轨迹分支。有一条根轨迹分支终止在有限开环零点一2,其它三条根轨迹分支将趋 向于无穷远处。(2)确定根轨迹的渐近线 渐近线的倾斜角为(2K+1)4 _(2+1)x180 n-m取式中的 K=0,1,2,得丸=/3,5/3,或60 及一180。三条渐近线如图4-14中的虚线所示。渐近线与实轴的交点为(3)实轴上的根轨迹位于原点与零点一2之间以及极点一3的左边，如图4-14中的粗 线所示。从复数极点(一1/)出发的两条根轨迹分支沿土60渐近线趋向无穷远处。(4)在实轴上无根轨迹的分离点。(5)确定根轨迹与虚轴的交点系统的特征方程式为s(s+3)(52+25+2)+3K(s+2)=0+51+81+(6+3K)s+6K=0劳斯行列表6+3K40(6+3K)若阵列中的J行等于零，即(6+3K)150X/(34-3K)=0,系统临界稳定。解之可得K=2.34。相应于K=2.34的频率由辅助方程40-(6+3x 2.34)Y+30 x2.34=0确定。解之得根轨迹与虚轴的交点为S=/1.614。根轨迹与虚轴交点处的频率为3=1.614。(6)确定根轨迹的出射角根据绘制根轨迹的基本法则，自复数极点=(1+J)出发的根轨迹的出射角为e=18072 左+1J+N g+2)/p4p+3)N 仇+1力将由图4-14中测得的各向量相角的数值代入并取k=3则得到8=-26.6 系统的根轨迹如图4-14所示。图4-2例4-2系统的根轨迹例4-3已知控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)=K(s+0.125)52(5+5)(5+20)(5+50)试绘制系统的根轨迹。解(1)系统的开环极点为0,0,-5,20和一50,它们是根轨迹各分支的起点。共有 五条根轨迹分支。开环零点为一0.125,有一条根轨迹分支终止于此，其它四条根轨迹分支将 趋向于无穷远处。(2)确定根轨迹的渐近线渐进线的倾斜角为(2K+1)4(2+1)x180(P=-=-“n-m 5-1取式中的K=0,1,2,3得。产45和。产土 135。渐近线与实轴的交点为1 R(0+0-5-20-50)-(-0.125)Oa=-LPj-Lzi=-；-二一18.8z=i J 4(3)实轴上的根轨迹位于一0.125和一5之间以及一20,与一50之间。(4)确定根轨迹的分离点和会合点本例中，系统各零点、极点之间相差很大。例如，零点一0.125与极点。之间仅相距0.125,而零点一0.125与极点一50之间却相差49.875。因此，可作如下简化：在绘制原点附近的轨迹 曲线时，略去远离原点的极点的影响；在绘制远离原点的轨迹曲线时，略去零点和一个极点 的影响。(A)求原点附近的根轨迹和会合点略去远离原点的极点，传递的函数可简化为K(s+0.125)/。零点一0.125左边实轴是根轨迹，并且一定有会合点。时，系统的特征方程式为原点处有二重极点，其分离角为90。确定会合点的位置。此s2+Ks+0A25K=0 或2K=-5+0.125利用就/=0,则有dK25(5+0.125)-5ds($+0.125)22二0解之可得用=0.25,即会合点；*=0,即重极点的分离点。(B)求远离原点的根轨迹和分离角略去原点附近的开环偶极子(零点一0.125和极点0),传递函数可简化为GH(s)=K/s(s+5)(5+20)(5+50)此时，系统的特征方程式为s(s+5)(5+20)(5+50)+K=0或表示为K=-s(s+5)(s+20)(5+50)利用狄/=0,则有dK _ 4/+2251+2700s+5000 _ Qds s(s+5)(s+20)(s+50)1 一解之可得 2.26 和 2=40.3。分离点的分离角为土 90。注意，在零点一0.125和极点一5之间的根轨迹上有一对分离点(一2.26J0)和(一2.5,j0)。(5)确定根轨迹与虚轴的交点令s=/仞代入特征方程式，可得+5)(j 3+20)(加+50)+K(ja)+0.125)=0整理后有-75G2+5000切=0在135O4+K=O解之得仞=8.16,K=8.65xl()4系统的根轨迹如图4-3所示图4-3例4-3系统的根轨迹例4-4,设控制系统的结构图如图4-所示-，一+21图4-4控制系统的结构图试证明系统根轨迹的一部分是圆；解 系统的开环极点为。和一2,开环零点为一3。由根轨迹的幅角条件mZ N(s+z J N(s+夕/=(2K+1)%z=l/T得Z(s+3)Ns-Z(s+2)=(2k+1)71s为复数。将s+代入上式，则有N（7+/仞+3）N（0+j 3）N（。+/仞+2）=（2K+1）tt即tan-1-tan-1-=180+tan-1 0(t+3(J(j+2取上述方程两端的正切，并利用下列关系/,、tan x tan y tan(x y)=-1+tanxtan有CD CD(CD _1 co/y+3 cy 33tan tan 1-tan 1 =-67 g=-I(7+3 切 口 3 cr(cr+3)+691 H-cr+3(7tanl 180+tan-1 I b+23(j+2l-0 xCD(j+2CDcr+20+-3仞 _ co。(。+3)+苏。+2即(cr+3)2+2=(V3)2这是一个圆的方程，圆心位于（一3,加）处，而半径等于g（注意，圆心位于开环传递 函数的零点上）。证毕。例4-15已知控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)=K(s+1)s(s 1)(Y+4s+16)试绘制系统的根轨迹,并确定系统稳定时K值的范围.解（1）系统的开环极点为0,1和一2土/3.46,开环零点为一 1。（2）确定根轨迹的渐近线渐渐线的倾斜角为%(2K+1)(2+1)x180n-m 4-1取式中的 K=0,1,2,得。产/3,n,5a/3。渐进线与实轴的交点为_ 1 口 1(0+1-2+73.46-2-73.46)-(-1)_2n-m_j=1 Z=1 J 3 3(3)实轴上的根轨迹位于1和0之间以及一1与一8之间。(4)确定根轨迹的分离点系统的特征方程式为s(s-1)(52+45+16)+K(s+1)=0即0 _ s(s 1)(Y+4s+16)K=-5+1利用狄/=0,则有dK _ 3/+101+21/+24s-16ds(5+1)2解之可得，分离点4=0.46和4=2.22。(5)确定根轨迹与虚轴的交点 系统的特征方程式为$4+3/+2+(K 16)s+K=0劳斯行列表为52-K312K16KK-K2+59-832150oKs若阵列中的3行全等于零，即-K2+59K 832150K 八-二052 K系统临界稳定。解之可得K=35.7和K=23.3。对应于K值的频率由辅助方程+K=。确定。当 K=35.7 时，s=/2.56；当 K=23.3 时，s=J1.56.根轨迹与虚轴的交点处的频率为3=2.56和3二1.56。（6）确定根轨迹的出射角（自复数极点一2/3.46出发的出射角）根据绘制根轨迹基本法则，有106-120-130.5 90。6=(2K+1)xl80因此，开环极点一2土）3.46的出射角为%,2二土54.5。系统的根轨迹如图4-17所示。由图4-17可见，当23.3 vK4时，闭环系统将出现一对实部为正 的复数根，系统不稳定。所以，使系统 稳定的开环增益范围为040所以，小、d?、皆为闭环系统根轨迹的分离点。(6)确定根轨迹与虚轴的交点。系统闭环特征方程为D(s)=/+8/+36/+80s+/=0列写劳斯表如下136880261 80 x26 8陌s-26S Kg当废二260时，劳斯表出现全零行。求解辅助方程/=261+勺=0得根轨迹与虚轴的交点为s=jV10。概略绘制系统根轨迹如图4-21所示。图4-9例4-8系统的根轨迹第五章例5-1已知一控制系统结构图如图5-61所示，当输入r(/)=2sin/时，测得输出 c=4sin-45。)，试确定系统的参数。，解系统闭环传递函数为 一/C蚁 s)=Fqf，-S(S+2风)S+M3 ns+3；-系统幅频特性为2 图灿系统结构图|。(/0)|二/八 二_/)2+4产022相频特性为/、2J3n3(pco)=-arctan-；-3由题设条件知c(/)=4sin(/-45)=2/sin+41)即一加)2+4产一 L 或 一,(/_1)2+4 3沅夕=-arctan 2单？coi-co,整理得0；=4(斯-1)2+4片硝2g,二o；T解得con-1.244J=0.22例521系统的传递函数为G(s)k/(s+DWs+D试绘制系统概略幅相特性曲线。解(1)组成系统的环节为两个积分环节、两个惯性环节和比例环节。(2)确定起点和终点_ 一一(1 一 一G2)+jkQ+)J (1+4202)(+心 2*lim ReG(jco)=一 8t0lim(如=8 o由于凡G(/o)趋于-8的速度快，故初始相角为-180。终点为lim|G(j7y)|=0lim/G(j)=-360318(3)求幅相曲线与负实轴的交点由G(/o)的表达式知，。为有限值时，9(/劭 0,故幅相曲线与负实轴无交点。(4)组成系统的环节都为最小相位环节，并且无零点，故(由单调地从-180。递减至-360o作系统的概略幅相特性曲线如图5-62所示。例5-22已知系统传递函数为图562系统概略幅相曲线1。(储-2-5)(s+2)(s 0.5)试绘制系统的概略幅相特性曲线。解(1)传递函数按典型环节分解1 1 q-50(52-2()+1)G(-F 1)(-F 1)2 0.5(2)计算起点和终点limG(j7y)=-507olim|G(jW=