浙江省亳州市2024-2025学年高二数学第二学期期末统考试题含解析.doc

浙江省亳州市2024-2025学年高二数学第二学期期末统考试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知为自然对数的底数，则函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
2．设命题，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m∥n，m∥β，则n∥β；
④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β.
其中真命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
4．现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为（）
A． B． C． D．
5．已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）
A． B． C． D．
6．设，则“”是“”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．将点的直角坐标化成极坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在上的函数与函数有相同的奇偶性和单调性，则不等式的解集为（）
A． B． C． D．
9．将4名志愿者分别安排到火车站、轮渡码头、机场工作，要求每一个地方至少安排一名志愿者，其中甲、乙两名志愿者不安排在同一个地方工作，则不同的安排方法共有
A．24种 B．30种 C．32种 D．36种
10．设函数f（x），g（x）在[A，B]上均可导，且f′（x）＜g′（x），则当A＜x＜B时，有（）
A．f（x）＞g（x）
B．f（x）+g（A）＜g（x）+f（A）
C．f（x）＜g（x）
D．f（x）+g（B）＜g（x）+f（B）
11．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ）
A．乙做对了 B．甲说对了 C．乙说对了 D．甲做对了
12．下列命题是真命题的为（ ）
A．若,则 B．若,则
C．若,则 D．若,则
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设等差数列的公差为，若的方差为1，则=________．
14．已知，的取值如下表所示：

从散点图分析，与线性相关，且，以此预测当时，_______.
15．函数，对任意，恒有，则的最小值为________.
16．若方程有实数解，则的取值范围是____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数.
（1）解不等式；
（2）若关于的不等式解集是空集，求实数的取值范围.
18．（12分）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
19．（12分）（1）用分析法证明：；
（2）用数学归纳法证明：.
20．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，且
．
（1）求．
（2）若，求面积的最大值．
21．（12分） (本小题满分12分) 某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在，的学生人数为1．
频率/组距
0.012
0.016
0.018
分
80
60
50
70
90
100
x
0.024

（Ⅰ）求直方图中的值；
（Ⅱ）试估计所抽取的数学成绩的平均数；
（Ⅲ）试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩”的概率．
22．（10分）在中，角所对的边分别为．已知．
（1）若，，求的面积；
（2）求的取值范围．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
因，故当时，函数单调递增，应选答案A。
2、C
【解析】
根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案.
【详解】
全称量词命题的否定是存在量词命题，
.
故选：.
本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.
3、A
【解析】对于①，由直线与平面垂直的判定定理易知其正确；对于②，平面α与β可能平行或相交，故②错误；对于③，直线n可能平行于平面β，也可能在平面β内，故③错误；对于④，由两平面平行的判定定理易得平面α与β平行，故④错误．综上所述，正确命题的个数为1，故选A.
4、C
【解析】
先排剩下5人，再从产生的6个空格中选3个位置排甲、乙、丙三人，即，选C.
5、A
【解析】
由题意可得： ，
由二项式系数的性质可得：奇数项的二项式系数和为 .
本题选择A选项.
点睛：1．二项展开式的通项是展开式的第k＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k的限制．
2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．
3．二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系．
6、B
【解析】
分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】
化简不等式，可知 推不出；
由能推出，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选B．
本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．
7、B
【解析】
分析：求出，且在第三象限，由此能将点M的直角坐标化成极坐标.
详解：点M的直角坐标，
，
在第三象限，
.
将点M的直角坐标化成极坐标.
故选B.
点睛：极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常会用到同乘(同除以)ρ等技巧．
8、D
【解析】
先判断的奇偶性及单调性，即可由为奇函数性质及单调性解不等式，结合定义域即可求解.
【详解】
函数，定义域为；
则，即为奇函数，
，
函数在内单调递减，由复合函数的单调性可知在内单调递减，
由题意可得函数为在内单调递减的奇函数，
所以不等式变形可得，
即，
则，解不等式组可得，即，
故选：D.
本题考查了函数奇偶性及单调性的判断，对数型复合函数单调性性质应用，由奇偶性及单调性解抽象不等式，注意定义域的要求，属于中档题.
9、B
【解析】
利用间接法，即首先安排人到三个地方工作的安排方法数，再求出当甲、乙两名志愿者安排在同一个地方时的安排方法数，于是得出答案。
【详解】
先考虑安排人到三个地方工作，先将人分为三组，分组有种，再将这三组安排到三个地方工作，则安排人到三个地方工作的安排方法数为种，
当甲、乙两名志愿者安排在同一个地方时，则只有一个分组情况，此时，甲、乙两名志愿者安排在同一个地方工作的安排方法数为，
因此，所求的不同安排方法数为种，故选：B。
本题考查排列组合综合问题的求解，当问题分类情况较多或问题中带有“至少”时，宜用间接法来考查，即在总体中减去不符合条件的方法数，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题。
10、B
【解析】
试题分析：设F（x）=f（x）-g（x），
∵在[A，B]上f'（x）＜g'（x），
F′（x）=f′（x）-g′（x）＜0，
∴F（x）在给定的区间[A，B]上是减函数．
∴当x＞A时，F（x）＜F（A），
即f（x）-g（x）＜f（A）-g（A）
即f（x）+g（A）＜g（x）+f（A）
考点：利用导数研究函数的单调性
11、B
【解析】
分三种情况讨论：甲说法对、乙说法对、丙说法对，通过题意进行推理，可得出正确选项.
【详解】
分以下三种情况讨论：
①甲的说法正确，则甲做错了，乙的说法错误，则甲做错了，丙的说法错误，则丙做对了，那么乙做错了，合乎题意；
②乙的说法正确，则甲的说法错误，则甲做对了，丙的说法错误，则丙做对了，矛盾；
③丙的说法正确，则丙做错了，甲的说法错误，则甲做对了，乙的说法错误，则甲做错了，自相矛盾.
故选：B.
本题考查简单的合情推理，解题时可以采用分类讨论法进行假设，考查推理能力，属于中等题.
12、A
【解析】
试题分析：B若，则，所以错误；C．若，式子不成立．所以错误；D．若，此时式子不成立．所以错误，故选择A
考点：命题真假

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由题意得 ，因此
14、
【解析】
根据表格数据分别求出，代入求出的值，再计算当时的值。
【详解】
由表格知道 代入
得
即
当时
故填6
本题考查线性回归直线，属于基础题，掌握线性回归直线过中心点是解题的关键。
15、
【解析】
∵，
∴，
∴当时，单调递减；当时，单调递增。
∴当时，有最大值，且。
又，
∴。
由题意得等价于。
∴的最小值为。
答案：
16、
【解析】
关于x的方程sinxcosx＝c有解，即c＝sinxcosx＝2sin（x-）有解，结合正弦函数的值域可得c的范围．
【详解】
解：关于x的方程sinx-cosx＝c有解，
即c＝sinx-cosx＝2sin（x-）有解，
由于x为实数，则2sin（x-）∈[﹣2，2]，
故有﹣2≤c≤2
本题主要考查两角差的正弦公式、正弦函数的值域，属于中档题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）或．
【解析】
分析：（1）利用零点讨论法解不等式。（2）先求，再解不等式得解.
详解：（1）由，得或或，
解得，即解集为.
（2）∵的解集为空集，∴，
而 ，
∴，即或.
点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的三角不等式和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)绝对值三角不等式常用来求最值.
18、（1）单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）最大值为6，,最小值为
【解析】
（1）求出定义域和导数，由导数大于零，可得增区间，由导数小于零，可得减区间。
（2）由（1）可得函数在区间上的单调性，由单调性即可求出极值，与端点值进行比较，即可得到函数在区间上的最大值和最小值。
【详解】
（1）函数的定义域为，由得
令得，
当和时，；
当时，，
因此，的单调递增区间为和，单调递减区间．
（2）由（1），列表得

单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增

因为 ，，，
所以在区间上的最大值为6，,最小值为．
本题考查利用导数研究函数的单调区间和最值问题，考查学生的基本运算能力，属于基础题。
19、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）利用分析法逐步平方得出成立，可证明出原不等式成立；
（2）先验证时等式成立，然后假设当时等式成立，可得出，然后再等式两边同时加上，并在所得等式右边提公因式，化简后可得出所证等式在时成立，由归纳原理得知所证不等式成立.
【详解】
（1）要证明成立，只需证明成立，
即证明成立，只需证明成立，即证明成立，
因为显然成立，所以原不等式成立，即；
（2）①当时，，等式左边，右边，等式成立；
②设当时，等式成立，即，
则当时，
，
即成立，
综上所述，．
本题考查分析法与数学归纳法证明不等式以及等式问题，证明时要熟悉这两种方法证明的基本步骤与原理，考查逻辑推理能力，属于中等题.
20、（1）；（2）．
【解析】
（1）根据正弦定理得到，再由余弦定理得到，根据特殊角的三角函数值得到结果；（2）根据余弦定理可知：，根据重要不等式和a=4得到，即，再由面积，最终得到结果.
【详解】
（1）根据正弦定理可知：，
整理得，
由余弦定理的推论得，
，
．
（2）根据余弦定理可知：，
且，
，即.
面积，当且仅当时等号成立．
故面积的最大值为．
1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题;2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等;3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.
21、（1）；（2）；（3）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图中小长方形的面积为概率，且所有概率和为1，列出等量关系：，解得；（Ⅱ）根据组中值估计平均数：（Ⅲ）根据频率分布直方图中小长方形的面积为概率，所以“该校高一学生期末数学考试成绩”的概率为
试题解析：（Ⅰ）由题意得：，解得；
（Ⅱ）所抽取的数学成绩的平均数为
（Ⅲ）“该校高一学生期末数学考试成绩”的概率为
考点：频率分布直方图
22、（1）（2）
【解析】
（1）根据正弦定理和利用，得到，最后求面积；（2）由已知可得，所以，转化为三角函数恒等变形，得到， 根据角的范围求函数的取值范围.
【详解】
解：（1）在中，∵，∴，
∵，，由正弦定理得：，∴，
∴，，
∴．
（2）.
∵，∴.
∴，则.
本题考查了利用正余弦定理解三角形，和三角恒等变换求函数的最值，第一问也可利用余弦定理求边，利用求面积.