上海师大附中2025届高二下数学期末教学质量检测试题含解析.doc

上海师大附中2025届高二下数学期末教学质量检测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）

A．588 B．480 C．450 D．120
2．先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,那么不能作为随机变量的是 ( )
A．出现7点的次数 B．出现偶数点的次数
C．出现2点的次数 D．出现的点数大于2小于6的次数
3． “，”的否定是　　
A．， B．，
C．， D．，
4．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
5．在的展开式中，项的系数为（ ）
A． B．40 C． D．80
6．已知函数 ，的值域是，则实数的取值范围是(　　)
A．（1,2） B． C．（1,3） D．（1,4）
7．若实数满足，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
8．下列三个数：，，，大小顺序正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．若二次函数图象的顶点在第四象限且开口向上，则导函数的图象可能是
A． B．
C． D．
10．已知集合，，若，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
11．在研究吸烟与患肺癌的关系中,通过收集数据、整理分析数据得
“吸烟与患肺癌有关”的结论,并且有99%以上的把握认为这个结论是成立
的,则下列说法中正确的是.
A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌
B．1个人吸烟,那么这人有99%的概率患有肺癌
C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人
D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有
12．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，则所得图象对应的函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______________．
14．小明玩填数游戏：将1，2，3，4四个数填到的表格中，要求每一行每一列都无重复数字。小明刚填了一格就走开了（如右图所示），剩下的表格由爸爸完成，则爸爸共有_______种不同的填法.（结果用数字作答）
1

15．抛物线的准线方程为________．
16．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）时，求在点处的函数切线方程；
（2）时，讨论函数的单调区间和极值点．
18．（12分）等边的边长为，点，分别是，上的点，且满足 (如图(1))，将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连接，(如图(2)).

(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
19．（12分）已知复数为虚数单位.
（1）若复数 对应的点在第四象限，求实数的取值范围；
（2）若，求的共轭复数.
20．（12分）已知函数在一个周期内的图像经过点和点，且的图像有一条对称轴为.
（1）求的解析式及最小正周期；
（2）求的单调递增区间.
21．（12分）一个商场经销某种商品，根据以往资料统计，每位顾客采用的分期付款次数的分布列为：

1
2
3
4
5

0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；采用2期或3期付款，其利润为250元；采用4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．
(1)求购买该商品的3位顾客中，恰有2位采用1期付款的概率；
(2)求的分布列及期望．
22．（10分）己知集合,
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若，求实数a的取值范围．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
试题分析：根据频率分布直方图，得；该模块测试成绩不少于60分的频率是1-（0.005+0.015）×10=0.8，∴对应的学生人数是600×0.8=480
考点：频率分布直方图
2、A
【解析】
根据随机变量的定义可得到结果.
【详解】
抛掷一枚骰子不可能出现点，出现点为不可能事件
出现点的次数不能作为随机变量
本题正确选项：
本题考查随机变量的定义，属于基础题.
3、D
【解析】
通过命题的否定的形式进行判断．
【详解】
因为全称命题的否定是特称命题，故“， ”的否定是“， ”.
故选D.
本题考查全称命题的否定，属基础题.
4、B
【解析】
由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积.
【详解】
由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为.故选B.
本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.
5、D
【解析】
通过展开二项式即得答案.
【详解】
在的展开式中,的系数为，故答案为D.
本题主要考查二项式定理，难度很小.
6、B
【解析】
先求出当x≤2时，f（x）≥4，则根据条件得到当x＞2时，f（x）=3+logax≥4恒成立，利用对数函数的单调性进行求解即可．
【详解】
当x≤2时，f（x）=﹣x+6≥4，
要使f（x）的值域是[4，+∞），
则当x＞2时，f（x）=3+logax≥4恒成立，
即logax≥1，
若0＜a＜1，则不等式logax≥1不成立，
当a＞1时，则由logax≥1=logaa，
则a≤x，
∵x＞2，∴a≤2，
即1＜a≤2，
故选：D．
本题主要考查函数值域的应用，利用分段函数的表达式先求出当x≤2时的函数的值域是解决本题的关键．
7、C
【解析】
分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围.
详解：作出不等式组对应的平面区域如图：

设，得，
平移直线，
由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，
此时z最小，为，
当直线经过点时，直线的截距最大，
此时时z最大，为，
即.
故选：C.
点睛：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法.
8、A
【解析】
将与化成相同的真数，然后利用换底公式与对数函数的单调性比较的大小，然后再利用中间量比较的大小，从而得出三者的大小．
【详解】
解：因为，
且，
所以，
因为，
所以．
故选A．
本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9、A
【解析】
分析：先根据二次函数的判断出的符号，再求导，根据一次函数的性质判断所经过的象限即可．
详解：∵函数的图象开口向上且顶点在第四象限，

∴函数的图象经过一，三，四象限，
∴选项A符合，
故选：A．
点睛：本题考查了导数的运算和一次函数，二次函数的图象和性质，属于基础题．
10、A
【解析】
由已知得，由，则，又，所以.故选A.
11、D
【解析】
独立性检验是判断两个分类变量是否有关；吸烟与患肺癌是两个分类变量，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有以上的把握认为这个结论是成立的．指的是得出“吸烟与患肺癌有关”这个结论正确的概率超过99％，即作出“吸烟与患肺癌有关”这个结论犯错的概率不超过1％；不能作为判断吸烟人群中有多少人患肺癌，以及1个人吸烟，这个人患有肺癌的概率的依据．故选D
12、D
【解析】
分析：依据题的条件，根据函数的图像变换规律，得到相应的函数解析式，利用诱导公式化简，可得结果.
详解：根据题意，将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，得到的函数图像对应的解析式为，
再将所得图象向右平移个单位长度，
得到的函数图像对应的解析式为，故选D.
点睛：该题考查的是有关函数图像的变换问题，在求解的过程中，需要明确伸缩变换和左右平移对应的规律，影响函数解析式中哪一个参数，最后结合诱导公式化简即可得结果.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
解：是的充分而不必要条件，
，
等价于，的解为，或，
，
故答案为：．
14、144
【解析】
分析：依据题意已经放好一个数字，为了满足要求进行列举出结果
详解：第一行将数字填入表格有种可能，然后将数字填入表格有种可能；那么第二行每个数字分别有、、、种可能；根据题意每一行每一列都无重复数字，所以第三行只有种可能，第四行每个数字都只有一种情况，所以一共有
点睛：本题考查了排列组合，在解答题目时按照题意采取了列举法，分别考虑每一行的情况，然后再进行排列，在解题时注意是否存在重复的情况。
15、
【解析】
先将抛物线化为标准方程，进而可得出准线方程.
【详解】
因为抛物线的标准方程为：，
因此其准线方程为：.
故答案为：
本题主要考查抛物线的准线，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.
16、
【解析】
试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.
【考点】导数的几何意义
【名师点睛】函数f （x）在点x0处的导数f ′（x0）的几何意义是曲线y＝f （x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y0＝f ′（x0）（x−x0）．
注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）的减区间是和，增区间是；为的极小值点，为的极大值点
【解析】
(1)根据函数求导法则求出得切线的斜率，得切线的方程；
(2）对函数求导研究导函数的正负，得到函数的单调区间和极值.
【详解】
解：（1）∵时，,
∴，
∴，，
∴在点处的切线：，
即：.
（未化成一般式扣1分）
（2）∵时，，
∴，
∴其，
由解得，，
当或时，当时，
∴在和上单减，在上单增，
为的极小值点，为的极大值点.
综上，的减区间是和，增区间是；
为的极小值点，为的极大值点.
本题考查导函数的几何意义求切线方程，求导得单调性及极值，属于中档题.
18、（1）证明见解析；（2）存在点，.
【解析】
（1）通过证明，即可证明平面；（2）以为坐标原点，以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系，设，然后并求出平面的一个法向量及的坐标，最后根据即可求出的值及的长度.
【详解】
(1)证明　题图(1)中，由已知可得：
，，.
从而.
故得，所以，.
所以题图(2)中，，，
所以为二面角的平面角，
又二面角为直二面角，
所以，即，
因为且、平面，
所以平面.
(2)解　存在.由(1)知，平面.
以为坐标原点，以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，

过作交于点，
设，则，，，
易知，，，
所以.
因为平面，
所以平面的一个法向量为.
因为直线与平面所成的角为，所以，解得.
所以，满足，符合题意.
所以在线段上存在点，使直线与平面所成的角为，此时.
本题主要考查线面垂直的证明及通过建立空间直角坐标系并表示出平面的法向量及直线的方向向量的坐标，解决已知直线和平面所成的角求参数的值问题，属中等难度题.
19、（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）求出复数的代数形式，根据第四象限的点的特征，求出的范围；（2）由已知得出 ，代入的值，求出 ．
试题解析;（I）=，
由题意得 解得
（2）

20、（1），；（2）.
【解析】
（1）由函数的图象经过点且f（x）的图象有一条对称轴为直线，
可得最大值A，且能得周期并求得ω，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．
（2）利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间．
【详解】
（1）函数f（x）＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0，）在一个周期内的图象经过点，，且f（x）的图象有一条对称轴为直线，
故最大值A＝4，且,
∴，
∴ω＝1．
所以.
因为的图象经过点，所以，
所以，.
因为，所以，
所以.
（2）因为，所以，，
所以，，
即的单调递增区间为.
本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+）的性质求解析式，通常由函数的最大值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出的值，考查了正弦型函数的单调性问题，属于基础题．
21、 (1)； (2).
【解析】
试题分析：（1）每位顾客采用1期付款的概率为，3位顾客采用1期付款的人数记为，则，
（2）分别计算利润为200元、250元、300元的概率，再列出分布列和期望；
试题解析：（1）；
（2）η的可能取值为200元，250元，300元.
P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，
P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，
P（η=300）=1-P（η=200）-P（η=250）=1-0.4-0.4=0.2.
η的分布列为：

200

250

300

P

0.4

0.4

0.2

E（η）＝200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）.
考点：1.二项分布；2.分布列与数学期望；
22、（1）；（2）或
【解析】
（1）求出集合或，由，列出不等式组，能求出实数a的取值范围．
（2）由，得到，由此能求出实数a的取值范围．
【详解】
解：（1）∵集合，
或，，
∴，解得
∴实数a的取值范围是
（2）
或，
解得或．
∴实数a的取值范围是或
本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．将集合的运算转化成子集问题需注意，若则有，进而转化为不等式范围问题.