2025届湖南省醴陵市第一中学数学高二第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

2025届湖南省醴陵市第一中学数学高二第二学期期末学业水平测试模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．同时具有性质“①最小正周期是”②图象关于对称；③在上是增函数的一个函数可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，1可以分拆为若干个不同的单位分数之和：，，，……，依此类推得：，则（ ）
A．228 B．240 C．260 D．273
3．设是偶函数的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知为虚数单位，则复数的虚部是
A． B．1 C． D．
7．已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．若复数满足为虚数单位），则（　　）
A． B． C． D．
9．在复平面内，复数对应的点分别为.若为线段的中点，则点 对应的复数是( )
A． B． C． D．
10．已知集合，则为（ ）
A． B． C． D．
11．在长方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　）
A． B． C． D．
12．设函数 ，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数有且只有一个零点，则实数的值为__________.
14．已知实数，满足条件，复数（为虚数单位），则的最小值是_______．
15．设地球O的半径为R，P和Q是地球上两地，P在北纬45°，东经20°，Q在北纬，东经110°，则P与Q两地的球面距离为__________。
16．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月，两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中，两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用和仅使用的学生的支付金额分布情况如下：
交付金额（元）
支付方式

大于2000
仅使用
18人
9人
3人
仅使用
10人
14人
1人
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月，两种支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取1人，以表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求的分布列和数学期望；
18．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求角；
（2）若，，求的面积．
19．（12分）已知F1，F2分别为椭圆C：的左焦点.右焦点，椭圆上的点与F1的最大距离等于4，离心率等于，过左焦点F的直线l交椭圆于M，N两点，圆E内切于三角形F2MN；
（1）求椭圆的标准方程
（2）求圆E半径的最大值
20．（12分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.
21．（12分）已知数列的前项和满足,.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求数列的前项和.
22．（10分）已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
利用所给条件逐条验证，最小正周期是得出，把②③分别代入选项验证可得.
【详解】
把代入A选项可得，符合；把代入B选项可得，符合；把代入C选项可得，不符合，排除C；把代入D选项可得，不符合，排除D；
当时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数；故选B.
本题主要考查三角函数的图象和性质，侧重考查直观想象的核心素养.
2、C
【解析】
使用裂项法及，的范围求出，的值，从而求出答案．
【详解】
，
，
．
，，．
，，所以mn=260.
故选：C
本题主要考查归纳推理和裂项相消法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
3、B
【解析】
设，计算，变换得到，根据函数的单调性和奇偶性得到，解得答案.
【详解】
由题意，得，
进而得到，令，
则，，.
由，得，
即.
当时，，在上是增函数.
函数是偶函数，也是偶函数，且在上是减函数，
，解得，又，即，.
故选：.
本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，构造函数，确定其单调性和奇偶性是解题的关键.
4、C
【解析】
分析：解不等式，得到和，由集合的交集运算可得到解。
详解：解绝对值不等式，得 ；
由对数函数的真数大于0，得
根据集合的运算得
所以选C
点睛：本题考查了解绝对值不等式，对数函数的定义域，集合的基本运算，是基础题。
5、B
【解析】
由，得，故选B.
6、A
【解析】
试题分析：根据题意，由于为虚数单位，则复数，因此可知其虚部为-1，故答案为A.
考点：复数的运算
点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题。
7、D
【解析】
画出函数的图像，将的零点问题转化为与有个交点问题来解决，画出图像，根据图像确定的取值范围.
【详解】
当时，，所以，当时，，所以，当时，，所以.令，易知，所以，将函数有个零点问题，转化为函数图像，与直线有个交点来求解.画出的图像如下图所示，由图可知，而，故.故选D.

本小题主要考查分段函数图像与性质，考查函数零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
8、A
【解析】
根据复数的除法运算可求得；根据共轭复数的定义可得到结果.
【详解】
由题意得：
本题正确选项：
本题考查共轭复数的求解，关键是能够利用复数的除法运算求得，属于基础题.
9、C
【解析】
求出复数对应点的坐标后可求的坐标.
【详解】
两个复数对应的点坐标分别为，则其中点的坐标为，故其对应点复数为，故选：C.
本题考查复数的几何意义，注意复数对应的点是由其实部和虚部确定的，本题为基础题.
10、C
【解析】
分别求出集合M，N，和，然后计算.
【详解】
解：由，得，故集合
由，得，故集合，
所以
故选：C.
本题考查了指数函数的值域，对数函数的定义域，集合的交集和补集运算，属于基础题.
11、D
【解析】
取CC1的中点F，连结DF，A1F，EF，推导出四边形BCEF是平行四边形，从而异面直线AE与A1D所成角即为相交直线DF与A1D所成角，由此能求出异面直线AE与A1D所成角的余弦值．
【详解】
取的中点.连接.
因为为棱的中点,所以,所以四边形为平行四边形.
所以.故异面直线与所成的角即为相交直线与所成的角.
因为,
所以.
所以.即为直角三角形,
从而.
故选D

本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12、A
【解析】
∵，∴，
∴函数为奇函数；
又，∴函数为上的单调递增函数．
∴恒成立⇔恒成立，
∴恒成立⇔恒成立，
由知，，，
由恒成立知：，∴实数m的取值范围是，故选A.
点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性，突出考查转化思想与恒成立问题，属于中档题；利用奇函数单调递增的性质，可将不等式恒成立，转化为恒成立，由，可求得实数的取值范围.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、-2
【解析】
将有且只有一个零点问题转化成a＝﹣lnx，两函数有一个交点，然后令g（x）＝﹣lnx，对g（x）进行单调性分析，即可得到g（x）的大致图象，即可得到a的值．
【详解】
由题意，可知：
令2，
即：a＝﹣lnx，x＞2．
可设g（x）＝﹣lnx，x＞2．
则g′（x），x＞2．
①当2＜x＜2时，g′（x）＞2，g（x）单调递增；
②当x＞2时，g′（x）＜2，g（x）单调递减；
③当x＝2时，g′（x）＝2，g（x）取极大值g（2）＝﹣2．
∵函数有且只有一个零点，
∴a只能取g（x）的最大值﹣2．
故答案为：﹣2．
本题主要考查函数零点问题，构造函数的应用，用导数方法研究函数的单调性．属中档题．
14、
【解析】
先作出不等式组对应的区域，再利用复数的几何意义将的最小值转化成
定点与区域中的点的距离最小的问题利用图形求解．
【详解】
如图，作出对应的区域，由于为虚数单位），
所以表示点与两点之间的距离，
由图象可知的最小值为到直线的距离，
即，
故答案为．

本题考查一定点与区域中的一动点距离最值的问题，考查复数的几何意义，利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键．
15、
【解析】
首先计算出纬圈半径，再根据经度差可求得长；根据长度关系可求得球心角，进而可求得球面距离.
【详解】

由题意可知：纬圈半径为：
两点的经度差为
即：
两地的球面距离：
本题正确结果：
本题考查球面距离及其计算，考查空间想象能力，属于基础题.
16、36
【解析】
试题分析：将4人分成3组，再将3组分配到3个乡镇，
考点：排列组合

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）（Ⅱ）见解析，1
【解析】
（Ⅰ）根据题意先计算出上个月，两种支付方式都使用的学生人数，再结合古典概型公式计算即可；
（Ⅱ）由题求出使用两种支付方式金额不大于1000的人数和金额大于1000的人数所占概率，再结合相互独立事件的概率公式计算即可
【详解】
（Ⅰ）由题意可知，两种支付方式都使用的人数为：人，则：
该学生上个月，两种支付方式都使用的概率．
（Ⅱ）由题意可知，
仅使用支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占，金额大于1000的人数占，
仅使用支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占，金额大于1000的人数占，
且可能的取值为0，1，1．
，，，
的分布列为：

0
1
1

其数学期望：．
本题考查概率的简单计算，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题
18、（1）；（2）
【解析】
（1），根据余弦定理可得，，的关系式，再利用余项定理求出，从而得到的值；
（2）根据第一问结论，用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式求出面积．
【详解】
（1）在中，由已知及余弦定理得，
整理得所以
因为，所以.
（注：也可以用正弦定理）
（2）在中，由余弦定理得，因为
所以，解得，
所以
本题主要考查了（正）余弦定理的应用和三角形的面积公式，意在考查学生的计算能力和转化思想．
19、（1）；（2）
【解析】
（1）根据椭圆上点与的最大距离和离心率列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，利用与三角形内切圆有关的三角形面积公式列式，求得内切圆半径的表达式，利用换元法结合基本不等式求得圆半径的最大值.
【详解】
由条件知 ，所以.
故椭圆的标准方程为；
（2）由条件不为，设交椭圆于，设圆的半径为，
由可得，

即
令，（），
则
当时，.
本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆位置关系，考查三角形内切圆半径有关计算，考查换元法和基本不等式求最值，属于中档题.
20、（1）（2）（3）
【解析】
解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件(i＝0,1,2,3,4)，则
（Ⅰ）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率
（Ⅱ）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则，
由于与互斥，故
所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为
（Ⅲ）ξ的所有可能取值为0,2,4.由于与互斥，与互斥，故
，
．
所以ξ的分布列是
ξ

0

2

4

P

随机变量ξ的数学期望
考点：1.离散型随机变量的期望与方差；2.相互独立事件的概率乘法公式；3.离散型随机变量及其分布列．
21、（1）（2）
【解析】
根据公式 解出即可．
写出，再分组求和．
【详解】
（1）当时，；
当时，，
综上.
（2）由（1）知

本题考查数列通项的求法及分组求法求前n项和．属于基础题．
22、（1），；（2）
【解析】
试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列前n项和．
试题解析：
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意得
d=== 1．∴an=a1+（n﹣1）d=1n
设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则
q1===8，∴q=2，
∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1， ∴bn=1n+2n﹣1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=1n+2n﹣1， ∵数列{1n}的前n项和为n（n+1），
数列{2n﹣1}的前n项和为1×= 2n﹣1，
∴数列{bn}的前n项和为；
考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；1.数列求和．