物理双星问题精析.doc

物理双星问题精析
一、 要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源
双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提
供。由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小。
二、 要明确双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系
两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等
的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。
三、 要明确两子星圆周运动的动力学关系。
设双星的两子星的质量分别为M1和M2，相距L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角
速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得：
M1
M2
ω1
ω2
L
r1
r2
M1：　
M2：　
在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径。
四、“双星”问题的分析思路
质量m1，m2；球心间距离L；轨道半径 r1 ，r2 ；周期T1，T2 ；角速度ω1，ω2 线速度V1 V2；周期相同：（参考同轴转动问题） T1=T2
角速度相同：（参考同轴转动问题）ω1 =ω2
向心力相同：Fn1=Fn2
（由于在双星运动问题中，忽略其他星体引力的情况下向心力由双星彼此间万有引力提供，可理解为一对作用力与反作用力）
轨道半径之比与双星质量之比相反：（由向心力相同推导）
r1：r2=m2：m1
m1ω2r1=m2ω2r2
m1r1=m2r2 r1:r2=m2:m1
线速度之比与质量比相反：（由半径之比推导）
V1:V2=m2:m1
V1=ωr1 V2=ωr2
V1:V2=r1:r2=m2:m1
两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。双星问题是万有引力定律在天文学上的应用的一个重要内容，现就这类问题的处理作简要分析。
【例题1】两颗靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确的是：
A、它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比。
B、它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比。
C、它们做圆周运动的半径与其质量成正比。
D、它们做圆周运动的半径与其质量成反比。
解析：两子星绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等。由v=rω得线速度与两子星圆周运动的半径是成正比的。因为两子星圆周运动的向心力由两子星间的万有引力提供，向心力大小相等，由，可知：，所以它们的轨道半径与它们的质量是成反比的。而线速度又与轨道半径成正比，所以线速度与它们的质量也是成反比的。正确答案为：BD。
【例题2】用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质存在的形式和分布有了较深刻的认识，双星系统是由两个星体构成，其中每个星体的线度都小于两星体间的距离，一般双星系统距离其它星体很远，可以当做孤立系统处理，现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。
（1）计算该双星系统的运动周期T计算。
（2）若实验上观测到的运动周期为T观测，且T观测：T计算=1： (N>1)，为了解释T观测与T计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质，作为一种简化模型，我们假定在这两个星体边线为直径的球体内均匀分布着暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。
解析：（1）双星绕它们的连线中点做圆周运动，由万有引力提供向心力，根据万有引力和牛顿第二定律得：，而。解得：。
（2）因为，这个差异是以双星连线为直径的球体内均匀分布着的暗物质引起的，设这种暗物质质量为M′，位于两星连线中点处的质点对双星的影响相同，这时双星做圆周运动的向心力由双星的万有引力和M′对双星的万有引力提供，所以有：，又
解得暗物质的质量为：
而暗物质的体积为：
所以暗物质的密度为：