B单元--函数与导数.doc

数 学

B单元 函数与导数
B1　函数及其表示
6．B1[2015·湖北卷] 已知符号函数sgn x＝f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a>1)，则(　　)
A．sgn[g(x)]＝sgn x
B．sgn[g(x)]＝－sgn x
C．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]
D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]
6．B　[解析] 不妨令f(x)＝x＋1，a＝2，则g(x)＝f(x)－f(2x)＝－x，故sgn[g(x)]＝sgn(－x)，排除A；sgn[f(x)]＝sgn(x＋1)≠sgn[g(x)]，又sgn[g(x)]≠－sgn[f(x)]，所以排除C，D.故选B.
10．B1[2015·湖北卷] 设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[tn]＝n同时成立，则正整数n的最大值是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
10．B　[解析] [t]＝1，则1≤t<2，①
[t2]＝2，则2≤t2<3，②
显然存在t∈[，)使得[t]＝1与[t2]＝2同时成立．
[t3]＝3，则3≤t3<4，即3≤t<4，③
因为2<3<4<3，所以存在3≤t<4使得①②③同时成立．
[t4]＝4，则4≤t4<5，则4≤t<5，④
同理，可以求得3≤t<5使得①②③④同时成立．
[t5]＝5，则5≤t5<6，即 5≤t<6，⑤
因为6<3，所以5≤t<6与3≤t<5的交集为空集．
所以n的最大值是4.故选B.
10．B1、B6[2015·山东卷] 设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是(　　)
A. B．[0，1]
C. D．[1，＋∞)
10．C　[解析] 当a<1时，f(a)＝3a－1，若f(f(a))＝2f(a)，则f(a)≥1，即3a－1≥1，∴≤a<1；
当a≥1时，f(a)＝2a≥2，此时f(f(a))＝2f(a)．
综上所述，a≥.
7．B1[2015·浙江卷] 存在函数f(x)满足：对于任意x∈R都有(　　)
A．f(sin 2x)＝sin x B．f(sin 2x)＝x2＋x
C．f(x2＋1)＝|x＋1| D．f(x2＋2x)＝|x＋1|
7．D　[解析] 对选项A中的函数，当x＝0时，得f(0)＝0，当x＝时，得f(0)＝1，矛盾；选项B中的函数，当x＝0时，得f(0)＝0，当x＝时，得f(0)＝＋，矛盾；选项C中的函数，当x＝－1时，得f(2)＝0，当x＝1时，得f(2)＝2，矛盾；选项D中的函数变形为f((x＋1)2－1)＝，令t＝(x＋1)2－1可知，f(t)＝满足要求．
10．B1、B3[2015·浙江卷] 已知函数f(x)＝则f[f(－3)]＝________，f(x)的最小值是________．
10．0　2 －3　[解析] f(－3)＝lg 10＝1，
f[f(－3)]＝f(1)＝0.当x≥1时，x＋－3≥2 －3，当且仅当x＝时，等号成立；当x<1时，lg(x2＋1)≥lg 1＝0.故最小值为2 －3.

B2 反函数

B3 函数的单调性与最值
21．B3、B14[2015·安徽卷] 设函数f(x)＝x2－ax＋b.
(1)讨论函数f(sin x)在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
(2)记f0(x)＝x2－a0x＋b0，求函数|f(sin x)－f0(sin x)|在上的最大值D；
(3)在(2)中，取a0＝b0＝0，求z＝b－满足条件D≤1时的最大值．
21．解：(1)f(sin x)＝sin2x－asin x＋b＝sin x(sin x－a)＋b，－<x<，
[f(sin x)]′＝(2sin x－a)cos x，－<x<.
因为－<x<，所以cos x>0，－2<2sin x<2.
①当a≤－2，b∈R时，函数f(sin x)单调递增，无极值．
②当a≥2，b∈R时，函数f(sin x)单调递减，无极值．
③对于－2<a<2，在内存在唯一的x0，使得2sin x0＝a.
当－<x≤x0时，函数f(sin x)单调递减；
当x0≤x<时，函数f(sin x)单调递增．
因此，当－2<a<2，b∈R时，函数f(sin x)在x0处有极小值f(sin x0)＝f＝b－.
(2)当－≤x≤时，|f(sin x)－f0(sin x)|＝|(a0－a)sin x＋b－b0|≤|a－a0|＋|b－b0|，
当(a0－a)(b－b0)≥0时，取x＝，等号成立，
当(a0－a)(b－b0)<0时，取x＝－，等号成立．
由此可知，|f(sin x)－f0(sin x)|在上的最大值D＝|a－a0|＋|b－b0|.
(3)D≤1即为|a|＋|b|≤1，此时0≤a2≤1，－1≤b≤1，从而得z＝b－≤1.
取a＝0，b＝1，则|a|＋|b|≤1，并且z＝b－＝1，
由此可知，z＝b－满足条件D≤1的最大值为1.
22．B3、M3、E7[2015·湖北卷] 已知数列{an}的各项均为正数，bn＝nan(n∈N＋)，e为自然对数的底数．
(1)求函数f(x)＝1＋x－ex的单调区间，并比较与e的大小；
(2)计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；
(3)令cn＝(a1a2…an)，数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn<eSn.
22．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1－ex.
当f′(x)>0，即x<0时，f(x)单调递增；
当f′(x)<0，即x>0时，f(x)单调递减．
故f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．
当x>0时，f(x)<f(0)＝0，即1＋x<ex.
令x＝，得1＋<e，即<e.①
(2)＝1×＝1＋1＝2；
＝·＝2×2×＝(2＋1)2＝32；
＝·＝32×3×＝(3＋1)3＝43.
由此推测：＝(n＋1)n.②
下面用数学归纳法证明②.
(i)当n＝1时，左边＝右边＝2，②成立．
(ii)假设当n＝k时，②成立，即＝(k＋1)k.
当n＝k＋1时，bk＋1＝(k＋1)ak＋1，由归纳假设可得
＝·＝(k＋1)k(k＋1)·＝(k＋2)k＋1.
所以当n＝k＋1时，②也成立．
根据(i)(ii)，可知②对一切正整数n都成立．
(3)证明：由cn的定义，②，算术­几何平均不等式，bn的定义及①得
Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝(a1)＋(a1a2)＋(a1a2a3)＋…＋(a1a2…an)
＝＋＋＋…＋≤
＋＋＋…＋
＝b1＋b2
＋…＋bn·
＝b1＋b2＋…＋
bn<＋＋…＋＝a1＋a2＋…＋an<ea1＋ea2＋…＋ean＝eSn，
即Tn<eSn.
14．B3，B5[2015·北京卷] 设函数f(x)＝
(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；
(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．
14．(1)－1　(2)∪[2，＋∞)　[解析] (1)当a＝1时，f(x)＝当x<1时，－1<2x－1<1；当x≥1时，f(x)＝4x2－12x＋8在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当x＝时，f(x)min＝f＝4×－12×＋8＝－1.
(2)当a≤0或a≥2时，f(x)＝2x－a，x<1与x轴无交点，故此时f(x)＝4(x2－3ax＋2a2)，x≥1与x轴应有2个交点，
所以解得a≥1，故此时a≥2.
当0<a<2时，f(x)＝2x－a，x<1与x轴有1个交点，
故此时f(x)＝4(x2－3ax＋2a2)，x≥1与x轴应有1个交点，
所以或f(1)<0，解得a＝或<a<1，即≤a<1.
综上可知，a的取值范围为∪[2，＋∞)．
5．B3、B4、B7[2015·湖南卷] 设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)
A．奇函数，且在(0，1)上是增函数
B．奇函数，且在(0，1)上是减函数
C．偶函数，且在(0，1)上是增函数
D．偶函数，且在(0，1)上是减函数
5．A　[解析] 由已知可得，f(x)＝ln＝ln－1，y＝－1在(0，1)上为增函数，故y＝f(x)在(0，1)上为增函数．又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故y＝f(x)为奇函数．
14．B3、B6[2015·山东卷] 已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________ .
14．－　[解析] 若0<a<1，则f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)在区间[－1，0]上为减函数，即解得
若a>1，则f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)在区间[－1，0]上为增函数，即无解．
∴a＋b＝－2＝－.
15．B3，B12[2015·四川卷] 已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R)．对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝.
现有如下命题：
①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m>0；
②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n>0；
③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；
④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.
其中的真命题有______(写出所有真命题的序号)．
15．①④　[解析] 对于①，因为f′(x)＝2xln 2＞0恒成立，故①正确．
对于②，取a＝－8，则g′(x)＝2x－8，当x1，x2＜4时，n＜0，②错误．
对于③，令f′(x)＝g′(x)，即2xln 2＝2x＋a，
记h(x)＝2xln 2－2x，则h′(x)＝2x(ln 2)2－2，
存在x0∈(2，3)，使得h′(x0)＝0，可知函数h(x)先减后增，有最小值．
因此，对任意的a，m＝n不成立，③错误．
对于④，由f′(x)＝－g′(x)，得2xln 2＝－2x－a.
令h(x)＝2xln 2＋2x，则h′(x)＝2x(ln 2)2＋2＞0恒成立，即h(x)是单调递增函数，
当x→＋∞时，h(x)→＋∞，
当x→－∞时，h(x)→－∞，
因此对任意的a，存在直线y＝－a与函数h(x)的图像有交点，④正确．
10．B1、B3[2015·浙江卷] 已知函数f(x)＝则f[f(－3)]＝________，f(x)的最小值是________．
10．0　2 －3　[解析] f(－3)＝lg 10＝1，
f[f(－3)]＝f(1)＝0.当x≥1时，x＋－3≥2 －3，当且仅当x＝时，等号成立；当x<1时，lg(x2＋1)≥lg 1＝0.故最小值为2 －3.
18．B3、B5、E7[2015·浙江卷] 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，记M(a，b)是|f(x)|在区间[－1，1]上的最大值．
(1)证明：当|a|≥2时，M(a，b)≥2；
(2)当a，b满足M(a，b)≤2时，求|a|＋|b|的最大值．
18．解：(1)证明：由f(x)＝＋b－，得f(x)的图像的对称轴为直线x＝－.
由|a|≥2，得≥1，故f(x)在[－1，1]上单调，所以M(a，b)＝max{|f(1)|，|f(－1)|}．
当a≥2时，由f(1)－f(－1)＝2a≥4，
得max{f(1)，－f(－1)}≥2，
即M(a，b)≥2.
当a≤－2时，由f(－1)－f(1)＝－2a≥4，
得max{f(－1)，－f(1)}≥2，即M(a，b)≥2.
综上，当|a|≥2时，M(a，b)≥2.
(2)由M(a，b)≤2得，
|1＋a＋b|＝|f(1)|≤2，|1－a＋b|＝|f(－1)|≤2，
故|a＋b|≤3，|a－b|≤3，
由|a|＋|b|＝得
|a|＋|b|≤3.
当a＝2，b＝－1时，|a|＋|b|＝3，且|x2＋2x－1|在[－1，1]上的最大值为2，
即M(2，－1)＝2.
所以|a|＋|b|的最大值为3.
16．B3、B9[2015·重庆卷] 若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________．
16．－6或4　[解析] 当a＝－1时，f(x)＝3|x＋1|≥0，不成立；当a<－1时，f(x)＝故f(x)min＝f(a)＝－3a－1＋2a＝5，解得a＝－6；当a>－1时，f(x)＝故f(x)min＝f(a)＝－a＋1＋2a＝5，解得a＝4.

B4 函数的奇偶性与周期性
2．B4、B9[2015·安徽卷] 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　)
A．y＝cos x B．y＝sin x
C．y＝ln x D．y＝x2＋1
2．A　[解析] y＝cos x是偶函数，且cos x＝0有实数解，A正确；y＝sin x是奇函数，B不正确；y＝ln x是非奇非偶函数，C不正确；y＝x2＋1是偶函数，但x2＋1＝0无实数解，D不正确．
3．B4[2015·广东卷] 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝x＋
C．y＝2x＋ D．y＝x＋ex
3．D　[解析] 若f(x)＝，则f(－x)＝＝＝f(x)(x∈R)，即A是偶函数；若f(x)＝x＋，则f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)(x≠0)，即B是奇函数；若f(x)＝2x＋，则f(－x)＝2－x＋＝＋2x＝f(x)(x∈R)，即C是偶函数．选D.
13．B4[2015·全国卷Ⅰ] 若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________．
13．1　[解析] 由f(－x)＝f(x)得－xln(－x＋)＝xln(x＋)，即x[ln(x＋＋ln(－x＋]＝xln a＝0对定义域内的任意x恒成立，因为x不恒为0，所以ln a＝0，所以a＝1.
2．B4[2015·福建卷] 下列函数为奇函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝|sin x|
C．y＝cos x D．y＝ex－e－x
2．D　[解析] 对于A，函数y＝的定义域为，不关于原点对称，故既不是奇函数也不是偶函数；B，C选项为偶函数；对于D，设f(x)＝ex－e－x，则其定义域为R，且f(－x)＝e－x－e－(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以f(x)＝ex－e－x为奇函数．故选D.
5．B3、B4、B7[2015·湖南卷] 设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)
A．奇函数，且在(0，1)上是增函数
B．奇函数，且在(0，1)上是减函数
C．偶函数，且在(0，1)上是增函数
D．偶函数，且在(0，1)上是减函数
5．A　[解析] 由已知可得，f(x)＝ln＝ln－1，y＝－1在(0，1)上为增函数，故y＝f(x)在(0，1)上为增函数．又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故y＝f(x)为奇函数．
7．B4、B6、B7[2015·天津卷] 已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a<b<c B．a<c<b
C．c<a<b D．c<b<a
7．C　[解析] 因为函数f(x)＝2|x－m|－1是偶函数，所以m＝0.a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，b＝f(log25)＝2log25－1＝4，c＝f(0)＝20－1＝0，所以c<a<b.

B5 二次函数
14．B3，B5[2015·北京卷] 设函数f(x)＝
(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；
(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．
14．(1)－1　(2)∪[2，＋∞)　[解析] (1)当a＝1时，f(x)＝当x<1时，－1<2x－1<1；当x≥1时，f(x)＝4x2－12x＋8在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当x＝时，f(x)min＝f＝4×－12×＋8＝－1.
(2)当a≤0或a≥2时，f(x)＝2x－a，x<1与x轴无交点，故此时f(x)＝4(x2－3ax＋2a2)，x≥1与x轴应有2个交点，
所以解得a≥1，故此时a≥2.
当0<a<2时，f(x)＝2x－a，x<1与x轴有1个交点，
故此时f(x)＝4(x2－3ax＋2a2)，x≥1与x轴应有1个交点，
所以或f(1)<0，解得a＝或<a<1，即≤a<1.
综上可知，a的取值范围为∪[2，＋∞)．
12．B5[2015·陕西卷] 对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是(　　)
A．－1是f(x)的零点
B．1是f(x)的极值点
C．3是f(x)的极值
D．点(2，8)在曲线y＝f(x)上
12．A　[解析] 若前三个选项中的结论正确，则a－b＋c＝0，－＝1，a＋b＋c＝3，解得a＝－，与a为非零整数矛盾，故错误的结论一定在前三个选项，选项D中的结论一定正确；若选项A，B正确，则有a－b＋c＝0，－＝1，4a＋2b＋c＝8，解得a＝－，与a为非零整数矛盾，故错误结论一定在选项A，B中，即选项C，D的结论正确；若选项A正确，则a－b＋c＝0，＝3，4a＋2b＋c＝8，整理得a无实数解，与a为非零整数矛盾，故错误的只能是选项A中的结论．
8．B5、B9[2015·天津卷] 已知函数f(x)＝函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R.若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
8．D　[解析] f(2－x)＝
即f(2－x)＝ 而f(x)＝
所以f(x)＋f(2－x)＝ 在同一坐标系中分别画出函数y＝f(x)＋f(2－x)，y＝b的图像，如图．要使y＝f(x)－g(x)有4个不同的零点，只要上述两个函数的图像有4个不同的交点即可，由于函数y＝f(x)＋f(2－x)的最小值为，因此<b<2.

18．B3、B5、E7[2015·浙江卷] 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，记M(a，b)是|f(x)|在区间[－1，1]上的最大值．
(1)证明：当|a|≥2时，M(a，b)≥2；
(2)当a，b满足M(a，b)≤2时，求|a|＋|b|的最大值．
18．解：(1)证明：由f(x)＝＋b－，得f(x)的图像的对称轴为直线x＝－.
由|a|≥2，得≥1，故f(x)在[－1，1]上单调，所以M(a，b)＝max{|f(1)|，|f(－1)|}．
当a≥2时，由f(1)－f(－1)＝2a≥4，
得max{f(1)，－f(－1)}≥2，
即M(a，b)≥2.
当a≤－2时，由f(－1)－f(1)＝－2a≥4，
得max{f(－1)，－f(1)}≥2，即M(a，b)≥2.
综上，当|a|≥2时，M(a，b)≥2.
(2)由M(a，b)≤2得，
|1＋a＋b|＝|f(1)|≤2，|1－a＋b|＝|f(－1)|≤2，
故|a＋b|≤3，|a－b|≤3，
由|a|＋|b|＝得
|a|＋|b|≤3.
当a＝2，b＝－1时，|a|＋|b|＝3，且|x2＋2x－1|在[－1，1]上的最大值为2，
即M(2，－1)＝2.
所以|a|＋|b|的最大值为3.

B6 指数与指数函数
10．B1、B6[2015·山东卷] 设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是(　　)
A. B．[0，1]
C. D．[1，＋∞)
10．C　[解析] 当a<1时，f(a)＝3a－1，若f(f(a))＝2f(a)，则f(a)≥1，即3a－1≥1，∴≤a<1；
当a≥1时，f(a)＝2a≥2，此时f(f(a))＝2f(a)．
综上所述，a≥.
14．B3、B6[2015·山东卷] 已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________ .
14．－　[解析] 若0<a<1，则f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)在区间[－1，0]上为减函数，即解得
若a>1，则f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)在区间[－1，0]上为增函数，即无解．
∴a＋b＝－2＝－.
8．A2，B6，B7[2015·四川卷] 设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
8．B　[解析] 当3a>3b>3时，有a＞b＞1，从而有loga3<logb3，充分性成立；
取a＝，b＝3，此时loga3<logb3，但不满足a＞b＞1，从而3a>3b>3不成立，即必要性不成立．故选B.
7．B4、B6、B7[2015·天津卷] 已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a<b<c B．a<c<b
C．c<a<b D．c<b<a
7．C　[解析] 因为函数f(x)＝2|x－m|－1是偶函数，所以m＝0.a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，b＝f(log25)＝2log25－1＝4，c＝f(0)＝20－1＝0，所以c<a<b.
12．B6、B7[2015·浙江卷] 若a＝log43，则2a＋2－a＝________．
12.　　[解析] 2a＝2log43＝2log2 ＝，则2a＋2－a＝＋＝.

B7 对数与对数函数
5．B7[2015·全国卷Ⅱ] 设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
5．C　[解析] 因为f(－2)＝1＋log24＝3，f(log212)＝2(log212－1)＝6，所以f(－2)＋f(log212)＝9，故选C.
7．B7[2015·北京卷] 如图1­3，函数f(x)的图像为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)
A．{x|－1<x≤0}
B.
C.
D.
7．C　[解析] C　[解析] 由图知，f(x)＝设g(x)＝log2(x＋1)．在同一坐标系中画出f(x)，g(x)的图像(如图)，令－x＋2＝log2(x＋1)，解得x＝1，故不等式的解集为{x|－1<x≤1}．

5．B3、B4、B7[2015·湖南卷] 设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)
A．奇函数，且在(0，1)上是增函数
B．奇函数，且在(0，1)上是减函数
C．偶函数，且在(0，1)上是增函数
D．偶函数，且在(0，1)上是减函数
5．A　[解析] 由已知可得，f(x)＝ln＝ln－1，y＝－1在(0，1)上为增函数，故y＝f(x)在(0，1)上为增函数．又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故y＝f(x)为奇函数．
9．B7、E6[2015·陕西卷] 设f(x)＝ln x，0<a<b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是(　　)
A．q＝r<p B．p＝r<q
C．q＝r>p D．p＝r>q
9．B　[解析] r＝(f(a)＋f(b))＝ln(ab)＝ln＝p.因为b>a>0，所以>，又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以q>p＝r，故选B.
8．A2，B6，B7[2015·四川卷] 设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
8．B　[解析] 当3a>3b>3时，有a＞b＞1，从而有loga3<logb3，充分性成立；
取a＝，b＝3，此时loga3<logb3，但不满足a＞b＞1，从而3a>3b>3不成立，即必要性不成立．故选B.
7．B4、B6、B7[2015·天津卷] 已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a<b<c B．a<c<b
C．c<a<b D．c<b<a
7．C　[解析] 因为函数f(x)＝2|x－m|－1是偶函数，所以m＝0.a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，b＝f(log25)＝2log25－1＝4，c＝f(0)＝20－1＝0，所以c<a<b.
12．B6、B7[2015·浙江卷] 若a＝log43，则2a＋2－a＝________．
12.　　[解析] 2a＝2log43＝2log2 ＝，则2a＋2－a＝＋＝.

B8 幂函数与函数的图像
9．B8[2015·安徽卷] 函数f(x)＝的图像如图1­2所示，则下列结论成立的是(　　)

图1­2
A．a>0，b>0，c<0 B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b<0，c<0
9．C　[解析] 由x≠－c知，P点的横坐标为－c，且－c>0，即c<0；由M点的纵坐标yM＝f(0)＝>0，得b>0；设N点的横坐标为xN，则axN＋b＝0，解得xN＝－>0，因此a<0.故选C.
13．B8、B9[2015·江苏卷] 已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．
13．4　[解析] 当0<x≤1时，由＝1得＝1，解得x＝或x＝e(舍去)．
当x>1时，由＝1得＝3－或＝1－.分别在同一个坐标系中作出函数y＝与y＝3－的图像(如图1)和函数y＝与y＝1－的图像(如图2)．

图1

图2
当x>1时，它们分别有1个、2个交点，故x>1时，方程有3个实根．
综上，方程＝1共有4个不同的实根．

B9 函数与方程
2．B4、B9[2015·安徽卷] 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　)
A．y＝cos x B．y＝sin x
C．y＝ln x D．y＝x2＋1
2．A　[解析] y＝cos x是偶函数，且cos x＝0有实数解，A正确；y＝sin x是奇函数，B不正确；y＝ln x是非奇非偶函数，C不正确；y＝x2＋1是偶函数，但x2＋1＝0无实数解，D不正确．
12．B9、C2、C6[2015·湖北卷] 函数f(x)＝4cos2·cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为________．
12．2　[解析] f(x)＝4cos2sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|.令f(x)＝0，得sin 2x＝|ln(x＋1)|.在同一坐标系中作出函数y＝sin 2x与函数y＝|ln(x＋1)|的大致图像，如图所示．

观察图像可知，两个函数的图像有2个交点，故函数f(x)有2个零点.
13．B8、B9[2015·江苏卷] 已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．
13．4　[解析] 当0<x≤1时，由＝1得＝1，解得x＝或x＝e(舍去)．
当x>1时，由＝1得＝3－或＝1－.分别在同一个坐标系中作出函数y＝与y＝3－的图像(如图1)和函数y＝与y＝1－的图像(如图2)．

图1

图2
当x>1时，它们分别有1个、2个交点，故x>1时，方程有3个实根．
综上，方程＝1共有4个不同的实根．
19．B9、B12[2015·江苏卷] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．
(1)试讨论f(x)的单调性；
(2)若b＝c－a(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(－∞，－3)∪∪，求c的值．
19．解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－.
当a＝0时，因为f′(x)＝3x2≥0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a>0时，若x∈∪(0，＋∞)，则f′(x)>0，若x∈，则f′(x)<0，
所以函数f(x)在，(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减；
当a<0时，若x∈(－∞，0)∪，则f′(x)>0，若x∈，则f′(x)<0，
所以函数f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减．
(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值分别为f(0)＝b，f＝a3＋b，则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·f＝b<0，从而
或
又b＝c－a，所以当a>0时，a3－a＋c>0或当a<0时，a3－a＋c<0.
设g(a)＝a3－a＋c.因为函数f(x)有三个零点时，a的取值范围恰好是(－∞，－3)∪∪，
所以在(－∞，－3)上g(a)<0，且在∪上g(a)>0均恒成立，
从而g(－3)＝c－1≤0，且g＝c－1≥0，因此c＝1.
此时，f(x)＝x3＋ax2＋1－a＝(x＋1)[x2＋(a－1)x＋1－a]．
因为函数f(x)有三个零点，所以x2＋(a－1)x＋1－a＝0有两个异于－1的不等实根，
所以Δ＝(a－1)2－4(1－a)＝a2＋2a－3>0，
且(－1)2－(a－1)＋1－a≠0，
解得a∈(－∞，－3)∪∪.
综上，c＝1.
8．B9、D5[2015·福建卷] 若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
8．D　[解析] 不妨设a>b，由韦达定理得a＋b＝p>0，ab＝q>0，则a>b>0, 所以－2，b，a 成等差数列，a，－2，b成等比数列，所以解得或(舍去)，所以p＝5，q＝4，所以p＋q＝9.
15．B9[2015·湖南卷] 已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________．
15．(－∞，0)∪(1，＋∞)　[解析] 令φ(x)＝x3(x≤a)，h(x)＝x2(x>a)，函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，即函数y＝f(x)的图像与直线y＝b有两个交点．结合图像，当a<0时，存在实数b使h(x)＝x2(x>a)的图像与直线y＝b有两个交点；当a≥0时，必须满足φ(a)>h(a)，即a3>a2，解得a>1.
综上得a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．
21．B9、B12、D2、D3[2015·陕西卷] 设fn(x)是等比数列1，x，x2，…，xn的各项和，其中x>0，n∈N，n≥2.
(1)证明：函数Fn(x)＝fn(x)－2在，1内有且仅有一个零点(记为xn)，且xn＝＋x；
(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)和gn(x)的大小，并加以证明．
21．解：(1)证明：Fn(x)＝fn(x)－2＝1＋x＋x2＋…＋xn－2，
则Fn(1)＝n－1>0，
Fn＝1＋＋2＋…＋n－2＝－2＝－<0，
所以Fn(x)在，1内至少存在一个零点．
又Fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1>0，故Fn(x)在，1内单调递增，
所以Fn(x)在，1内有且仅有一个零点xn.
因为xn是Fn(x)的零点，所以Fn(xn)＝0，
即－2＝0，故xn＝＋x.
(2)方法一：由题设，gn(x)＝.
设h(x)＝fn(x)－gn(x)＝1＋x＋x2＋…＋xn－，x>0.
当x＝1时，fn(x)＝gn(x)．
当x≠1时，h′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1－.
若0<x<1，h′(x)>xn－1＋2xn－1＋…＋nxn－1－xn－1＝xn－1－xn－1＝0.
若x>1，h′(x)<xn－1＋2xn－1＋…＋nxn－1－xn－1＝xn－1－xn－1＝0.
所以h(x)在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，
所以h(x)<h(1)＝0，即fn(x)<gn(x)．
综上所述，当x＝1时，fn(x)＝gn(x)；当x≠1时，fn(x)<gn(x)．
方法二：由题设，fn(x)＝1＋x＋x2＋…＋xn，
gn(x)＝，x>0.
当x＝1时，fn(x)＝gn(x)．
当x≠1时，用数学归纳法可以证明fn(x)<gn(x)．
①当n＝2时，f2(x)－g2(x)＝－(1－x)2<0，所以f2(x)<g2(x)成立．
②假设n＝k(k≥2)时，不等式成立，即fk(x)<gk(x)．
那么，当n＝k＋1时，
fk＋1(x)＝fk(x)＋xk＋1<gk(x)＋xk＋1＝＋xk＋1＝.
又gk＋1(x)－＝
，
令hk(x)＝kxk＋1－(k＋1)xk＋1(x>0)，
则hk′(x)＝k(k＋1)xk－k(k＋1)xk－1＝
k(k＋1)xk－1(x－1)．
所以当0<x<1时，hk′(x)<0，hk(x)在(0，1)上递减；
当x>1时，hk′(x)>0，hk(x)在(1，＋∞)上递增．
所以hk(x)>hk(1)＝0，
从而gk＋1(x)>.
故fk＋1(x)<gk＋1(x)，即n＝k＋1时不等式也成立．
由①和②知，当x≠1时，对一切n≥2，n∈N，都有fn(x)<gn(x)．
综上所述，当x＝1时，fn(x)＝gn(x)；当x≠1时，fn(x)<gn(x)．
方法三：由已知，记等差数列为{ak}，等比数列为{bk}，k＝1，2，…，n＋1.
则a1＝b1＝1，an＋1＝bn＋1＝xn，
所以ak＝1＋(k－1)·(2≤k≤n)，
bk＝xk－1(2≤k≤n)，
令mk(x)＝ak－bk＝1＋－xk－1，x>0(2≤k≤n)，
当x＝1时，ak＝bk，所以fn(x)＝gn(x)．
当x≠1时，mk′(x)＝·nxn－1－(k－1)xk－2＝
(k－1)xk－2(xn－k＋1－1)．
而2≤k≤n，所以k－1>0，n－k＋1≥1.
若0<x<1，则xn－k＋1<1，mk′(x)<0；若x>1，xn－k＋1>1，则mk′(x)>0，
从而mk(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，
所以mk(x)>mk(1)＝0，
所以当x>0且x≠1时，ak>bk(2≤k≤n)，
又a1＝b1，an＋1＝bn＋1，
故fn(x)<gn(x)．
综上所述，当x＝1时，fn(x)＝gn(x)；当x≠1时，fn(x)<gn(x)．
21．B9、B12、B14[2015·四川卷] 已知函数f(x)＝－2(x＋a)ln x＋x2－2ax－2a2＋a，其中a>0.
(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；
(2)证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0在区间(1，＋∞)内恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．
21．解：(1)由已知得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
g(x)＝f′(x)＝2(x－a)－2ln x－2，
所以g′(x)＝2－＋＝.
当0<a<时，g(x)在区间，上单调递增，
在区间上单调递减；
当a≥时，g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
(2)证明：由f′(x)＝2(x－a)－2ln x－2＝0，解得a＝