最优控制理论(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2,现,*,2,现,1,2,2,最优控制理论,东北大学信息科学与工程学院,井元伟教授,二,九年十一月,现代控制理论,2,3,第,2,章 求解最优控制的变分方法,第,3,章 最大值原理,第,4,章 动态规划,第,5,章 线性二次型性能指标的最优控制,第,6,章 快速控制系统,第,1,章 最优控制问题,现,最优控制理论,现代控制理论,的重要组成部分,20,世纪,50,年代 发展形成系统的理论,研究的,对象,控制系统,中心问题,给定一个控制系统，选择控制规律，使系统在某,种意义上是最优的,统一的、严格的数学方法,最优控制问题 研究者的课题，工程师们设计控制系统时的目标,最优控制能在各个领域中得到应用，效益显著,4,现代控制理论,11 八月 2025,1.1,两个例子,1.2,问题描述,第,1,章 最优控制问题,5,现代控制理论,11 八月 2025,最优控制问题,1.1,两个例子,例,1.1,飞船软着陆问题,6,现代控制理论,11 八月 2025,2,现,7,最优控制问题,1.1,两个例子,例,1.1,飞船软着陆问题,m,飞船的质量,h,高度,v,垂直速度,g,月球重力加速度常数,M,飞船自身质量,F,燃料的质量,软着陆过程开始时刻,t,为零,K,为常数,2,现,8,最优控制问题,1.1,两个例子,例,1.1,飞船软着陆问题,m,飞船的质量,h,高度,v,垂直速度,g,月球重力加速度常数,M,飞船自身质量,F,燃料的质量,软着陆过程开始时刻,t,为零,K,为常数,2,现,9,最优控制问题,1.1,两个例子,例,1.1,飞船软着陆问题,m,飞船的质量,h,高度,v,垂直速度,g,月球重力加速度常数,M,飞船自身质量,F,燃料的质量,软着陆过程开始时刻,t,为零,K,为常数,初始状态,2,现,10,最优控制问题,1.1,两个例子,例,1.1,飞船软着陆问题,m,飞船的质量,h,高度,v,垂直速度,g,月球重力加速度常数,M,飞船自身质量,F,燃料的质量,软着陆过程开始时刻,t,为零,K,为常数,初始状态,终点条件,2,现,11,最优控制问题,1.1,两个例子,例,1.1,飞船软着陆问题,m,飞船的质量,h,高度,v,垂直速度,g,月球重力加速度常数,M,飞船自身质量,F,燃料的质量,软着陆过程开始时刻,t,为零,K,为常数,初始状态,终点条件,控制目标,2,现,12,最优控制问题,1.1,两个例子,例,1.1,飞船软着陆问题,m,飞船的质量,h,高度,v,垂直速度,g,月球重力加速度常数,M,飞船自身质量,F,燃料的质量,软着陆过程开始时刻,t,为零,K,为常数,初始状态,终点条件,控制目标,推力方案,2,现,13,最优控制问题,例,1.2,导弹发射问题,最优控制问题,例,1.2,导弹发射问题,14,现代控制理论,11 八月 2025,2,现,15,最优控制问题,例,1.2,导弹发射问题,2,现,16,最优控制问题,例,1.2,导弹发射问题,初始条件,2,现,17,最优控制问题,例,1.2,导弹发射问题,初始条件,末端约束,2,现,18,最优控制问题,例,1.2,导弹发射问题,初始条件,末端约束,指标,2,现,19,最优控制问题,例,1.2,导弹发射问题,初始条件,末端约束,指标,控制,最优控制问题,1.2,问题描述,(1),状态方程 一般形式为,20,现代控制理论,11 八月 2025,2,现,21,最优控制问题,1.2,问题描述,(1),状态方程 一般形式为,2,现,22,最优控制问题,1.2,问题描述,(1),状态方程 一般形式为,为,n,维状态向量,2,现,23,最优控制问题,1.2,问题描述,(1),状态方程 一般形式为,为,n,维状态向量,为,r,维控制向量,2,现,24,最优控制问题,1.2,问题描述,(1),状态方程 一般形式为,为,n,维状态向量,为,r,维控制向量,为,n,维向量函数,2,现,25,最优控制问题,1.2,问题描述,(1),状态方程 一般形式为,为,n,维状态向量,为,r,维控制向量,为,n,维向量函数,给定控制规律,2,现,26,最优控制问题,1.2,问题描述,(1),状态方程 一般形式为,为,n,维状态向量,为,r,维控制向量,为,n,维向量函数,给定控制规律,满足一定条件时，方程有唯一解,最优控制问题,(2),容许控制,27,现代控制理论,11 八月 2025,2,现,28,最优控制问题,(2),容许控制,：,2,现,29,最优控制问题,(2),容许控制,：,2,现,30,最优控制问题,(2),容许控制,：,有时控制域可为超方体,2,现,31,最优控制问题,(2),容许控制,：,有时控制域可为超方体,最优控制问题,(3),目标集,32,现代控制理论,11 八月 2025,2,现,33,最优控制问题,(3),目标集,2,现,34,最优控制问题,(3),目标集,n,维向量函数,2,现,35,最优控制问题,(3),目标集,固定端问题,n,维向量函数,2,现,36,最优控制问题,(3),目标集,固定端问题,自由端问题,n,维向量函数,最优控制问题,(4),性能指标,37,现代控制理论,11 八月 2025,2,现,38,最优控制问题,(4),性能指标,2,现,39,最优控制问题,(4),性能指标,对状态、控制以及终点状态的要求，,复合型性能指标,2,现,40,最优控制问题,(4),性能指标,对状态、控制以及终点状态的要求，,复合型性能指标,2,现,41,最优控制问题,(4),性能指标,对状态、控制以及终点状态的要求，,复合型性能指标,积分型性能指标,，表示对整个状态和控制过程的要求,2,现,42,最优控制问题,(4),性能指标,对状态、控制以及终点状态的要求，,复合型性能指标,积分型性能指标,，表示对整个状态和控制过程的要求,2,现,43,最优控制问题,(4),性能指标,对状态、控制以及终点状态的要求，,复合型性能指标,积分型性能指标,，表示对整个状态和控制过程的要求,终点型指标,，表示仅对终点状态的要求,2.1,泛函与变分法基础,2.2,欧拉方程,2.3,横截条件,2.4,含有多个未知函数泛函的极值,2.5,条件极值,2.6,最优控制问题的变分解法,第,2,章 求解最优控制的变分方法,44,现代控制理论,11 八月 2025,求解最优控制的变分方法,2.1,泛函与变分法基础,平面上两点连线的长度问题,45,现代控制理论,11 八月 2025,2,现,46,求解最优控制的变分方法,2.1,泛函与变分法基础,平面上两点连线的长度问题,2,现,47,求解最优控制的变分方法,2.1,泛函与变分法基础,平面上两点连线的长度问题,一般来说，曲线不同，弧长就不同，即弧长依赖于曲线，记为,2,现,48,求解最优控制的变分方法,2.1,泛函与变分法基础,平面上两点连线的长度问题,一般来说，曲线不同，弧长就不同，即弧长依赖于曲线，记为,称为,泛函,称为泛函的,宗量,求解最优控制的变分方法,泛函与函数的几何解释,49,现代控制理论,11 八月 2025,2,现,50,求解最优控制的变分方法,泛函与函数的几何解释,2,现,51,求解最优控制的变分方法,泛函与函数的几何解释,宗量的变分,2,现,52,求解最优控制的变分方法,泛函与函数的几何解释,宗量的变分,泛函的增量,2,现,53,求解最优控制的变分方法,泛函与函数的几何解释,宗量的变分,泛函的增量,泛函的变分,2,现,54,求解最优控制的变分方法,泛函与函数的几何解释,连续泛函,宗量的变分趋于无穷小时，泛函的变分也趋于无,穷小,线性泛函,泛函对宗量是线性的,宗量的变分,泛函的增量,泛函的变分,求解最优控制的变分方法,定理,2.2,若泛函,有极值，则必有,上述方法与结论对多个未知函数的泛数同样适用,55,现代控制理论,11 八月 2025,求解最优控制的变分方法,2.6,最优控制问题的变分解法,2.6.4,终值时间自由的问题,2.6.3,末端受限问题,2.6.2,固定端问题,2.6.1,自由端问题,56,现代控制理论,11 八月 2025,求解最优控制的变分方法,2.6.1,自由端问题,约束方程,新的泛函,令,有,哈米顿函数,57,现代控制理论,11 八月 2025,求解最优控制的变分方法,进行变分,令,有,伴随方程,必要条件,58,现代控制理论,11 八月 2025,求解最优控制的变分方法,例,2.5,哈米顿函数,伴随方程,边界条件,必要条件,59,现代控制理论,11 八月 2025,求解最优控制的变分方法,最优控制,代入状态方程并求解,令,60,现代控制理论,11 八月 2025,求解最优控制的变分方法,2.6.2,固定端问题,性能指标,分部积分,进行变分,令变分为零,61,现代控制理论,11 八月 2025,求解最优控制的变分方法,边界条件,指标泛函,例,2.6,考虑如下系统的终端固定的最优控制问题，求取最优控制,和最优状态曲线，使指标泛函,J,取得极小值,。,系统的状态方程：,62,现代控制理论,11 八月 2025,2,现,63,求解最优控制的变分方法,哈米顿函数,伴随方程,由状态方程,代入初始和终端条件，可求得,2,现,64,求解最优控制的变分方法,4.,考虑如下系统的终端固定的最优控制问题，求取最优控制,和最优状态曲线，使指标泛函,J,取得极小值,。,系统的状态方程为：,其边界条件为：,其指标泛函为：,2,现,65,求解最优控制的变分方法,哈米顿函数,伴随方程,2,现,66,求解最优控制的变分方法,求解最优控制的变分方法,2.6.3,末端受限问题,新的泛函,变分,67,现代控制理论,11 八月 2025,求解最优控制的变分方法,必要条件,68,现代控制理论,11 八月 2025,求解最优控制的变分方法,2.6.4,终值时间自由的问题,T,有时是可变的，是指标泛函，选控制使有,T,极小值,变分,69,现代控制理论,11 八月 2025,求解最优控制的变分方法,必要条件,70,现代控制理论,11 八月 2025,求解最优控制的变分方法,例,2.7,指标泛函,哈米顿函数,伴随方程,必要条件,71,现代控制理论,11 八月 2025,3.1,古典变分法的局限性,3.2,最大值原理,3.3,变分法与极大值原理,第,3,章 最大值原理,72,现代控制理论,11 八月 2025,最大值原理,3.1,古典变分法的局限性,u,(,t,),受限的例子,例,3.1,伴随方程,极值必要条件,矛盾,!,73,现代控制理论,11 八月 2025,最大值原理,3.2,最大值原理,定理,3.1,(,最小值原理,),设为 容许控制，为对应的积分轨线，为使 为最优控制，为最优轨线，必存在一向量函数 ，使得 和 满足正则方程,且,74,现代控制理论,11 八月 2025,最大值原理,最小值原理只是最优控制所满足的必要条件。但对于线性系统,最小值原理也是使泛函取最小值得充分条件。,75,现代控制理论,11 八月 2025,最大值原理,例,3.2,重解例,3.1,哈密顿函数,伴随方程,由极值必要条件，知,又,于是有,76,现代控制理论,11 八月 2025,最大值原理,协态变量与控制变量的关系图,77,现代控制理论,11 八月 2025,最大值原理,例,3.3,性能指标泛函,哈密顿函数,伴随方程,78,现代控制理论,11 八月 2025,最大值原理,上有,79,现代控制理论,11 八月 2025,最大值原理,协态变量与控制变量的关系图,整个最优轨线,80,现代控制理论,11 八月 2025,最大值原理,例,3.4,把系统状态在终点时刻转移到,性能指标泛函,终点时刻是不固定的,哈米顿函数,伴随方程,81,现代控制理论,11 八月 2025,最大值原理,H,是,u,的二次抛物线函数，,u,在 上一定使,H,有最小值，可能在内部，也可能在边界上。,最优控制可能且只能取三个值,此二者都不能使状态变量同时满足初始条件和终点条件,82,现代控制理论,11 八月 2025,最大值原理,最优控制,最优轨线,最优性能指标,83,现代控制理论,11 八月 2025,最大值原理,例,3.5,使系统以最短时间从给定初态转移到零态,哈米顿函数,伴随方程,84,现代控制理论,11 八月 2025,最大值原理,最优控制切换及最优轨线示意图,85,现代控制理论,11 八月 2025,最大值原理,3.3,古典变分法与最小值原理,古典变分法适用的范围是对,u,无约束，而最小值原理一般都适用。特别当,u,不受约束时，条件,就等价于条件,86,现代控制理论,11 八月 2025,4.1,多级决策过程与最优性原理,4.2,离散系统动态规划,4.3,连续系统动态规划,4.4,动态规划与最大值原理的关系,第,4,章 动态规划,87,现代控制理论,11 八月 2025,动态规划,动态规划,是求解最优控制的又一种方法，特别对离散型控制系统更为有效，而且得出的是综合控制函数。这种方法来源于多决策过程，并由贝尔曼首先提出，故称,贝尔曼动态规划,。,88,现代控制理论,11 八月 2025,动态规划,4.1,多级决策过程与最优性原理,作为例子，首先分析最优路径问题,(a)(b)(c),试分析,(a),(b),和,(c),三种情况的最优路径，即从 走到 所需时间最少。规定沿水平方向只能前进不能后退。,89,现代控制理论,11 八月 2025,动态规划,(a),中只有两条路径，从起点开始，一旦选定路线，就直达终点，选最优路径就是从两条中选一条，使路程所用时间最少。这很容易办到，只稍加计算，便可知道，上面一条所需时间最少。,(b),共有,6,条路径可到达终点，若仍用上面方法，需计算,6,次，将每条路线所需时间求出，然后比较，找出一条时间最短的路程。,(c),需计算,20,次，因为这时有,20,条路径，由此可见，计算量显著增大了。,90,现代控制理论,11 八月 2025,动态规划,逆向分级计算法,逆向,是指计算从后面开始，分级是指逐级计算。逆向分级就是从后向前逐级计算。,以,(c),为例,从倒数第一级开始，状态有两个，分别为,和,在,处，只有一条路到达终点，其时间是,；在,处，也只有一条，时间为,1,。后一条时间最短，将此时间相应地标在 点上。,并将此点到终点的最优路径画上箭头。,91,现代控制理论,11 八月 2025,动态规划,然后再考虑第二级,只有一种选择，到终点所需时间是,有两条路，比较后选出时间最少的一条，即,4+1=5,。用箭头标出,也标出最优路径和时间,依此类推，最后计算初始位置,求得最优路径,最短时间为,13,92,现代控制理论,11 八月 2025,动态规划,最优路径示意图,93,现代控制理论,11 八月 2025,2,现,94,动态规划,5.,利用逆向分级计算法求解如下的最优路径问题,从倒数第一级开始，状态有两个，分别为,和,在,处，只有一条路到达终点，其时间是,；在,处，也只有一条，时间为,3,。后一条时间最短，将此时间相应地标在 点上。,并将此点到终点的最优路径画上箭头。,2,现,95,动态规划,然后再考虑第二级，亦即倒数第二级,只有一种选择，到终点所需时间是,有两条路，比较后选出时间最少的一条，即,2+4=6,。用箭头标出,也标出最优路径和时间,3+3=6,2,现,96,动态规划,然后再考虑第一级，亦即倒数第三级,有两种选择，到终点所需时间是分别是，保留前者,有两条路，比较后选出时间最少的一条，即,2+(2+4)=8,和,2+(3+3)=8,。用箭头标出。,2,现,97,动态规划,最后再考虑第一级，亦即倒数第四级,有两种选择，到终点所需时间是分别是,或,2+(2+3+3)=10,。于是，最短路经有,3,条，时间为,10,。,求得最优路径,动态规划,多级过程,多级决策过程,目标函数,控制目的,选择决策序列,使目标函数取最小值或最大值,实际上就是离散状态的最优控制问题,98,现代控制理论,11 八月 2025,动态规划,最优性原理,在一个多级决策问题中的最优决策具有这样的性质，不管初始级、初始状态和初始决策是什么，当把其中任何一级和状态做为初始级和初始状态时，余下的决策对此仍是最优决策。,99,现代控制理论,11 八月 2025,动态规划,指标函数多是各级指标之和，即具有可加性,最优性原理的数学表达式,100,现代控制理论,11 八月 2025,动态规划,4.2,离散系统动态规划,阶离散系统,性能指标,求决策向量,使 有最小值（或最大值），其终点可自由，也可固定或受约束。,101,现代控制理论,11 八月 2025,动态规划,引进记号,应用最优性原理,可建立如下递推公式,贝尔曼动态规划方程,102,现代控制理论,11 八月 2025,动态规划,例,4.2,设一阶离散系统，状态方程和初始条件为,性能指标,求使 有最小值的最优决策序列和最优轨线序列,指标可写为,103,现代控制理论,11 八月 2025,动态规划,代入,上一级,104,现代控制理论,11 八月 2025,动态规划,代入状态方程,最优决策序列,最优轨线,105,现代控制理论,11 八月 2025,动态规划,4.3,连续系统的动态规划,性能指标,目标集,引进记号,根据最优性原理及,106,现代控制理论,11 八月 2025,动态规划,107,现代控制理论,11 八月 2025,动态规划,由泰勒公式，得,由中值定理，得,108,现代控制理论,11 八月 2025,动态规划,连续型动态规划方程,实际上它不是一个偏微分方程，而是一个函数方程和偏微分方程的混合方程,109,现代控制理论,11 八月 2025,动态规划,满足连续型动态规划方程，有,设,边界条件,动态规划,动态规划方程是最优控制函数满足的充分条件；解一个偏微分方程；可直接得出综合函数 ；动态规划要求 有连续偏导数,最大值原理,最大值原理是最优控制函数满足的必要条件；解一个常微分方程组；最大值原理则只求得 。,110,现代控制理论,11 八月 2025,动态规划,例,4.3,一阶系统,性能指标,动态规划方程,右端对,u,求导数，令其导数为零，则得,111,现代控制理论,11 八月 2025,动态规划,4.4,动态规划与最大值原理的关系,变分法,、,最大值原理,和,动态规划,都是研究最优控制问题的求解方法，很容易想到，若用三者研究同一个问题，应该得到相同的结论。因此三者应该存在着内在联系。变分法和最大值原理之间的关系前面已说明，下面将分析动态规划和最大值原理的关系。可以证明，在一定条件下，从动态规划方程能求最大值原理的方程。,112,现代控制理论,11 八月 2025,动态规划,动态规划方程,令,哈米顿函数,最大值原理的必要条件,113,现代控制理论,11 八月 2025,5.1,问题提出,5.2,状态调节器,5.3,输出调节器,5.4,跟踪问题,5.5,利用,Matlab,求解最优控制,第,5,章 线性二次型性能指标的最优控制,114,现代控制理论,11 八月 2025,线性二次型性能指标的最优控制,用最大值原理求最优控制，求出的最优控制通常是时间的函数，这样的控制为,开环控制,。,当用开环控制时，在控制过程中不允许有任何干扰，这样才能使系统以最优状态运行。,在实际问题中，干扰不可能没有，因此工程上总希望应用,闭环控制,，,即控制函数表示成时间和状态的函数。,求解这样的问题一般来说是很困难的。,但对一类,线性,的且指标是,二次型,的动态系统，却得了完全的解决。不但理论比较完善，数学处理简单，而且在工程实际中又容易实现，因而在工程中有着广泛的应用。,115,现代控制理论,11 八月 2025,线性二次型性能指标的最优控制,5.1,问题提法,动态方程,指标泛函,求,使之,有最小值,此问题称,线性二次型性能指标,的,最优控制问题,通常称,为综合控制函数,116,现代控制理论,11 八月 2025,线性二次型性能指标的最优控制,指标泛函的物理意义,积分项,，被积函数由两项组成，都是二次型。,第一项,过程,在控制过程中，实际上是要求每个分量越小越好，但每一个分量不一定同等重要，所以用加权来调整，当权为零时，对该项无要求。,第二项,控制能力,能量消耗最小。对每个分量要求不一样，因而进行加权。要求正定，一方面对每个分量都应有要求，否则会出现很大幅值，在实际工程中实现不了；另一方面，在计算中需要有逆存在。,指标中的第一项,是对点状态的要求，由于对每个分量要求不同，用加权阵来调整。,117,现代控制理论,11 八月 2025,线性二次型性能指标的最优控制,5.2,状态调节器,5.2.1,末端自由问题,5.2.2,固定端问题,5.2.3,的情况,状态调节器,选择 或,使系,统性能指标,有最小值,118,现代控制理论,11 八月 2025,线性二次型性能指标的最优控制,5.2.1,末端自由问题,构造哈密顿函数,伴随方程及边界条件,最优控制应满足,代入正则方程,119,现代控制理论,11 八月 2025,线性二次型性能指标的最优控制,求导,120,现代控制理论,11 八月 2025,线性二次型性能指标的最优控制,（,矩阵黎卡提微分方程,）,边界条件,最优控制,令,最优控制是状态变量的线性函数,借助状态变量的线性反馈可实现闭环最优控制,对称半正定阵,121,现代控制理论,11 八月 2025,线性二次型性能指标的最优控制,例,5.1,性能指标泛函,最优控制,黎卡提微分方程,122,现代控制理论,11 八月 2025,线性二次型性能指标的最优控制,最优轨线的微分方程,解,最优轨线,最优控制,123,现代控制理论,11 八月 2025,线性二次型性能指标的最优控制,黎卡提方程的解,随终点时间变化的黎卡提方程的解,124,现代控制理论,11 八月 2025,线性二次型性能指标的最优控制,5.2.2,固定端问题,指标泛函,（设,）,采用,“,补偿函数,”,法,补偿函数,惩罚函数,边界条件,黎卡提方程,逆黎卡提方程,125,现代控制理论,11 八月 2025,线性二次型性能指标的最优控制,求导,黎卡提方程,乘以,逆黎卡提方程,解,逆,126,现代控制理论,11 八月 2025,线性二次型性能指标的最优控制,5.2.3,的情况,性能指标,无限长时间调节器问题,黎卡提方程,边界条件,最优控制,最优指标,127,现代控制理论,11 八月 2025,线性二次型性能指标的最优控制,5.2.4,定常系统,完全可控,指标泛函,矩阵代数方程,最优控制,最优指标,128,现代控制理论,11 八月 2025,线性二次型性能指标的最优控制,例,5.2,黎卡提方程,129,现代控制理论,11 八月 2025,线性二次型性能指标的最优控制,5.3,输出调节器,指标泛函,输出调节器问题,状态调节器问题,令,130,现代控制理论,11 八月 2025,线性二次型性能指标的最优控制,5.4,跟踪问题,问题的提法,已知的理想输出,偏差量,指标泛函,寻求,控制规律,使,性能指标,有极小值,。,物理意义,在控制过程中，使系统输出尽量趋近理想输出，同时也使能量消耗最少。,131,现代控制理论,11 八月 2025,线性二次型性能指标的最优控制,指标泛函,哈密顿函数,132,现代控制理论,11 八月 2025,2,现,133,线性二次型性能指标的最优控制,设,并微分,2,现,134,线性二次型性能指标的最优控制,的任意性,最优控制,2,现,135,线性二次型性能指标的最优控制,最优轨线方程,最优性能指标,2,现,136,线性二次型性能指标的最优控制,例,5.3,性能指标,2,现,137,线性二次型性能指标的最优控制,最优控制,2,现,138,线性二次型性能指标的最优控制,，,最优控制,极限解,2,现,139,线性二次型性能指标的最优控制,闭环控制系统结构,2,现,140,快速控制系统,6.1,快速控制问题,6.2,综合问题,第,6,章 快速控制系统,2,现,141,快速控制系统,在实际问题中，经常发生以,时间,为,性能指标,的控制问题。,如，当被控对象受干扰后，偏离了平衡状态，希望施加控制能以最短时间恢复到平衡状态。,凡是以,运动时间,为,性能指标,的最优控制问题称为,最小时间控制,。,2,现,142,快速控制系统,6.1,快速控制问题,性能指标,时间上限,是可变的,从状态,转移平衡状态,所需时间最短,构造哈密顿函数,最小值原理,分段常值函数,2,现,143,快速控制系统,例,6.1,有一单位质点，在 处以初速度,2,沿直线运动。现施加一力 ，使质点尽快返回原点，并停留在原点上。力 简称为控制。若其它阻力不计，试求此控制力。,质点运动方程,状态方程,哈密顿函数,伴随方程,2,现,144,快速控制系统,最优控制,协态变量与控制函数,4,种情况示意图,2,现,145,快速控制系统,相轨线族示意图,开关曲线,2,现,146,快速控制系统,开关曲线,初始状态,最优控制,状态方程,相轨线,总时间,最优控制,2,现,147,快速控制系统,6.2,综合问题,综合是将最优控制函数表示为状态和时间的函数,即,上例之最优综合控制函数,2,现,148,快速控制系统,例,6.2,求快速返回原点的开关曲线和最优综合控制函数,构造哈密顿函数,伴随方程,最优控制,2,现,149,快速控制系统,最优控制与协态变量的变化情况,控制是“砰砰控制”，除了首尾之外，在和上的停留时间均为,2,现,150,快速控制系统,备选最优轨线族,两族同心圆方程,2,现,151,快速控制系统,相点沿轨线顺时针方向运动，其速度为,开关曲线,2,现,152,快速控制系统,第二段开关曲线,2,现,153,快速控制系统,整个开关曲线,2,现,154,快速控制系统,最优综合控制函数,2,现,155,最优控制理论,上世纪,50,年代初,问题比较简单,二阶定常系统,方法比较特殊,借助于几何图形,动态系统的最优化问题乃是一个变分问题,变分法,开集,最优控制问题,闭集,发展变分法,2,现,156,两种方法,庞特里雅金,前苏联学者,极大值原理,贝尔曼,美国学者,动态规划,应用在过程控制、国防建设、经济规划、管理,多个分支,分布参数的最优控制、随机最优控制、大系统最优控制以及多方多层次的微分对策和主从对策等,2,现,157,谢谢,Thank You!,