离散时间傅立叶变换.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,信号与系统,Signals and System,离散时间傅立叶变换,1,基 本 内 容,1.,离散时间傅立叶变换；,2.,常用信号的离散时间傅立叶变换对,;,3.,离散时间周期信号的傅立叶变换；,4.,傅立叶变换的性质；,5.,系统的频率响应与系统的频域分析方法,；,2,注释,:,CFS (The Continuous-Time Fourier Series):,连续时间傅立叶级数,DFS (The Discrete-Time Fourier Series):,离散时间傅立叶级数,CTFT(The Continuous-Time Fourier Transform):,连续时间傅立叶变换,DTFT(The Discrete-Time Fourier Transform):,离散时间傅立叶变换,3,5.0,引言,Introduction,本章将,采用与讨论,CTFT,完全相同的思想方法,，来研究离散时间非周期信号的频域分解问题。,DFS,与,CFS,之间既有许多类似之处，也有一些,重大差别,：主要是,DFS,是一个有限项级数，其系数 具有周期性,。,4,在采用相同方法研究如何,从,DFS,引出离散时间非周期信号的频域描述,时，可以看到，,DTFT,与,CTFT,既有许多相类似的地方，也同时存在一些重要的,区别。,抓住它们之间的相似之处并关注其差别，对于掌握和加深对频域分析方法的理解具有重要意义。,5,1,非周期信号的表示,Representation of Aperiodic Signals:The Discrete-time Fourier Thransform,一,.,从,DFS,到,DTFT:,在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱时,我们看到：,当,信号周期,N,增大时，频谱的包络形状不变，幅度减小，而频谱的谱线变密,。,6,7,因此，可以预见，对一个非周期信号，它的频谱应该是一个连续的频谱。,当 时，有 ，将导致,信号的频谱无限密集，最终成为连续频谱。,从时域看，,当周期信号的周期 时，,周期序列,就变成了一个非周期的序列。,8,当 时 令,对周期信号 由,DFS,有,即,说明,:,显然,对,是以,为周期的。,DTFT,有,:,9,当 在一个周期范围内变化时，在 范围变化，所以积分区间是,。,将其与 表达式比较有,当,时,于是,:,10,表明,:,离散时间序列可以分解为频率在,2,区间上分布的、幅度为 的复指数分量的线性组合。,DTFT,对,结论：,11,二,.,常用信号的离散时间傅立叶变换,通常 是复函数，用它的模和相位表示,:,1.,12,13,由图可以得到,:,时，,高通特性,摆动指数衰减,时，,低通特性,单调指数衰减,2.,14,可以得出结论,:,实偶序列,实偶函数,15,3.,矩形脉冲,:,当,时，可得到,:,有同样的结论,:,实偶信号,实偶函数,16,17,两点比较,:,1.,与对应的周期信号比较,显然有,关系成立,18,2,.,与对应的连续时间信号比较,如图所示,:,19,如图所示,:,4.,三,.DTFT,的收敛问题,当 是无限长序列时，由于 的表达式是无穷项级数，当然会存在收敛问题。,20,收敛条件有两组：,则 存在，且级数一致收敛,于 。,1.,则级数以,均方误差最小,的准则 收敛于 。,考察 的收敛过程，如图所示：,21,22,但随着 的振荡频率变高，,起伏的幅度趋小,;,当 时，振荡与起伏将完全消失,，不会出现吉伯斯,(Gibbs),现象，也不存在收敛问题。,由图可以得到以下结论,:,当以部分复指数分量之和近似信号时，也,会 出现起伏和振荡,;,23,和连续时间情况相同，利用把一个周期信号的变换表示成频域中的冲激串的办法，就可以把离散时间周期信号也归并到离散时间傅里叶变换中去。,对连续时间信号，的傅里叶变换就是,0,处的冲激。即,由此推断，对离散时间信号可以期待有相似的情况。但由于,DTFT,一定是以,2,为周期的，因此，,频域的冲激应该是周期性的冲激串,，即,2,周期信号的,DTFT,The Fourier Transform for Periodic Signals,24,可见,对其做反变换有：,在任何一个周期内，上述积分内真正包括的只有一个冲激，假设所选区间包括在,0,2,r,处的冲激，则,25,现在考虑一个周期性信号，周期为,N,，其傅立叶级数为：,这时，,离散周期性信号的傅里叶变换,就是：,这样，一个周期信号的傅里叶变换就能直接从它的傅立叶级数得到。,证明：由对离散周期信号,将,x(n),用,DTFT,表示为,26,（对,L,展开）,27,比较,:,可以看出与连续时间傅立叶变换中相应的形式是完全一致的。,注意到 也以 为周期，于是有：,28,例,1.,它不一定是,周期的。当,时才具有周期性。,如图所示,:,29,例,2.,比较,:,与连续时间情况下对应的相一致。,均匀脉冲串,30,3,离散时间傅立叶变换的性质,DTFT,也有很多与,CTFT,类似的性质，当然也有某些明显的差别。,通过对,DTFT,性质的讨论，目的在于揭示信号时域和频域特性之间的关系。,一、周期性,(periodic),：,比较：,这是与,CTFT,不同的。,Properties of the Discrete-Time Fourier Transform,则,若,31,二,.,线性,(linearity):,三,.,时移与频移,(shifiting):,若,则,时移特性,频移特性,四,.,时域反转,(reflaction):,若,则,32,五,.,共轭对称性,(symmetry properties):,若,则,由此可进一步得到以下结论,:,即,1.,若,是实信号，则,33,2.,若,是实偶信号，则,于是有,:,即,是实偶函数。,3.,若,是实奇信号，,于是有,:,表明,是虚奇函数。,34,4.,若,则有,:,说明,:,这些结论与连续时间情况下完全一致。,六,.,差分与求和,(Differencing and Accumulation):,说明,:,在,DTFT,中,对应于,CTFT,中的 。,35,例,:,七,.,时域内插,(Interplation):,定义,为,的整数倍,其他,36,k1,时，该信号在时域上被拉开了（变慢），对应地在频域就被压缩。,37,信号的时域与频域特性之间有一种相反的关系。,八,.,频域微分,(Differention in Frequency):,九,.,Parseval,定理,:,称为,的,能量谱密度函数。,比较,:,在,DFS,中有,称为周期信号的,功率谱,。,38,4,卷积特性,(The Convolution Property),若,则,说明：,该特性提供了对,LTI,系统进行频域分析,的理论基础。,即是,系统的频率特性,。,39,例,:,求和特性的证明,40,5,相乘性质,（,The Multiplication Property),如果,则,由于 和 都是以 为周期的，,因此上述卷积称为,周期卷积,。,41,例,:,42,5.6,傅立叶变换的性质及基本变换对列表,（自学）,43,7,对偶性,（,Duality,）,由于,a,k,本身也是以,N,为周期的序列，当然也可以将其展开成,傅立叶级数,形式。令,-nk,，,kn,，此时上面右式即,a,k,的傅立叶级数展开,一,.,DFS,的对偶,离散时间的傅立叶变换不存在如连续时间傅立叶变换那样的对偶性,，但,周期性离散时间信号与其傅立叶级数展开之间存在对偶性,。,44,即,:,利用对偶性可以很方便的将离散傅立叶级数在时域得到的性质，通过对偶得到频域相应的性质。,这表明：序列,a,n,的傅立叶级数的系数就是,即,:,45,例,1:,从时移到频移,利用时移性质,有,:,由对偶性,有,:,称之为频移特性,46,二,.DTFT,与,CFS,间的对偶*,由 知,X(e,jt,),是一个以,2,为周期的连续函数,如果在时域构造一个以,2,为周期的连续时间信号,X(e,jt,),，,则可以将其表示为,CFS,形式,:,由,DTFT,有：,47,利用这一对偶关系，可以将,DTFT,的若干特性对偶到,CFS,中去；或者反之。,比较,x(n),和,a,k,的表达式可以看出,这表明：,若,则,48,例,:,从,CFS,的时域微分到,DTFT,的频域微分,CFS,的时域微分特性,DTFT,的频域微分特性,若,则,49,例,:,从,CFS,的卷积特性到,DTFT,的相乘特性,再由对偶性：,由,CFS,的卷积特性,DTFT,的相乘特性,50,可以将对偶关系归纳为如下图表,:,51,时域的连续性,可以看出：信号在时域的特性和在频域的特性之间存在以下对应关系：,时域的周期性,时域的离散性,时域的非周期性,频域的离散性,频域的连续性,频域的周期性,频域的非周期性,52,8,由,LCCDE,表征的系统,相当广泛而有用的一类离散时间,LTI,系统可以由一个线性常系数差分方程来表征,:,一,.,由,LCCDE,描述的系统的频率响应,:,进而对 做变换而求得 。,方法一,:,可以从求解 时的差分方程得到,Systems Characterized by Linear Constant-Coefficient Difference Equations,53,方法二,:,可以通过求出 时方程的解而,因为,是,LTI,系统的特征函数,得到,此时的 。,方法三,:,对方程两边进行,DTFT,变换，可得到,:,54,可见 是一个有理函数。当需要得到,时,往往是先从方程得到 进而通过反变换得到 。,二,.,系统的频率响应,:,刻画了,LTI,系统的频域特征，它是系统单位脉冲响应的傅立叶变换。,55,三,.,由方框图描述的系统,:,这说明,:,稳定系统可以由其频率响应来描述。,由 所表征的系统应该是稳定系统。,D,D,如果 ，则 存在。,但并非所有的,LTI,系统都一定存在频率响应。,56,通过对图中两个加法器的输出列方程可得到,:,由上式可得：,后一节点,前一节点,57,四,.LTI,系统的频域分析方法,:,2.,根据系统的描述，求得系统的频率响应 。,1.,对输入信号做傅立叶变换，求得 。,3.,根据卷积特性得到 。,4.,对 做傅立叶反变换得到系统的响应 。,做傅立叶变换或反变换的主要方法是,部分分式展开、利用傅立叶变换的性质和常用的变换对,。,58,9,小结,Summary,通过对,DTFT,性质的讨论，揭示了离散时间信号时域与频域特性的关系。不仅看到有许多性质在,CTFT,中都有相对应的结论，而且它们也,存在,一些重要的差别，例如,DTFT,总是以,2,为周期的。,本章与第,4,章平行地讨论了,DTFT,，讨论的基本思路和方法与第,4,章完全对应，得到的许多结论也很类似。,59,对偶性的讨论为进一步认识连续时间信号、离 散时间信号、周期信号与非周期信号频域描述的几种工具之间的内在联系，提供了重要的理论根据。深入理解并恰当运用对偶性，对深刻掌握,CFS,、,DFS,、,CTFT,、,DTFT,的本质关系有很大帮助。,通过卷积特性的讨论，对,LTI,系统,建立了频域分析的方法。同样地，相乘特性的存在则为离散时间信号的传输技术提供了理论基础。,60,与连续时间,LTI,系统一样，对由,LCCDE,或由方框图描述的,LTI,系统，可以很方便的由方程或方框图得到系统的频率响应函数,H(e,j,),，进而实现系统的频域分析。其基本过程和涉及到的问题与连续时间,LTI,系统的情况也完全类似。,随着今后进一步的讨论，我们可以看到,CFS,、,DFS,、,CTFT,、,DTFT,之间是完全相通的。,61,对偶性,连续时间周期信号,连续时间非周期信号,离散时间周期信号,离散时间非周期信号,时域采样,对偶性,对偶性,频域采样,频域采样,时域采样,62,