关于傅里叶级数的课程设计.doc

目 录

目录 1
1.傅里叶级数 2
2.数学模型 2
2.1 理论分析 2
2.2 实例分析 2
3.程序探究 3
4.算法设计 4
5.程序设计 4
6.图形界面设计 6
6.1 界面设计 6
6.2 主程序代码 6
7测试数据及结果 11
8.改进之处 12
9.总结 12
参考文献 14

关于傅里叶级数的课程设计
一．傅里叶级数
1804年，傅里叶提出“在有限区间上由任意图形定义的任意函数可以表示为单纯的正弦和余弦函数之和”。傅氏级数的展开被称为最辉煌大胆的猜想。从分析的角度来看，一些复杂的周期现象用无限多个正弦函数余弦函数叠加来表示。从物理意义上讲，信号可以分解成为一系列的简谐波的复合，并可借由此来分析信号波的一些基本特征。此次课程设计的主要目的是用动画演示来说明当项数逐渐增大时，函数傅里叶级数的图像逐渐逼近原函数。
二. 数学模型
①理论分析
数学上定义：若函数f(x)在区间[-π,π]可积，则称 (n=0,1,2,...), (n=0,1,2,3,...)是函数f(x)的傅里叶系数。以函数的傅里叶为级数的三角级数
当讨论到级数，不容忽视的是其部分和表示的是其前2n+1项的和。
若x是函数f(x)的第一类间断点，则函数f(x)的傅里叶级数收敛于函数f(x)在点x的左、右极限平均值，即,若x为连续点，则,则函数f(x)的傅里叶级数收敛于f(x)。
②实例分析
将函数 展成傅里叶级数。
可求得
于是有
三.程序探究
对于这个特例函数展开成傅里叶级数，我首先想到的是作图表现其趋近程度。然而通过数学计算，可以得到这个函数的傅里叶级数展开形式，所以，没有通过计算机来算其傅里叶展开系数，直接用已知的函数g(x)进行绘图。程序如下：
function FULIYE(hedit,hlist)
n=str2num(get(hedit,'String'));%获取编辑框字符并转化为数字
n1=get(hlist,'Value');%获取列表框选项序号
colmat=['g','r','y','k'];%创建列表框取值的字符向量
axis([-4,4,-2,2])
x=-pi:0.005:pi;
g=0;
plot([0,4],[1,1],colmat(n1))
hold on
plot([0,-4],[-1,-1],colmat(n1))
for i=1:1:n
y=sin((2*i-1)*x)/(2*i-1);
g=g+(4/pi)*y;
plot(x,g,colmat(1+mod(i,3)))
pause(1)
end
hold off

四.算法设计
现在由特例的函数向一般化转换，当然问题只能一步一步来，先在[-pi,0]和[0,pi]分别输入函数(向量形式)，然后使用积分函数，算出a0,即初始化S，然后进入循环，不断重复积分算出a(i),b(i),可由其构造出关于S的表达式，再将x从[-pi,pi]的函数用图画出。
第1步 获取由用户输入的向量形式的函数，转化成在线函数。同时获取用户输入的项数n
第2步 将x符号化，并用int函数积分算出s,即对s的初始化。
第3步 对于i=1,2,3,...n,反复做以下操作
⑴ 将函数积分算得a(i)和b(i)
⑵ 令x从-pi到pi,计算s的值，并将s转化为数值形式
⑶ 作图画出s的图像,并将图形保持
⑷ 再将x符号化，以便再次积分
⑸ 每次画图需暂停来观察效果
第4步 循环结束

五．程序设计
这里将原函数和级数展开的函数分开，避免其中的语句相互影响，也使程序更加简明清晰。
㈠原函数作图的函数
function ORIGIN(hlist,hedit1,hedit2)
n1=get(hlist,'Value');%获取列表框选项序号
colmat=['g','r','y','k'];%创建列表框取值的字符向量
axis([-4,4,-2,2])
x=-pi:0.005:0;
y1=inline(get(hedit1,'String'));
g1=y1(x);
plot(x,g1,colmat(n1))
x=0:0.005:pi;
y2=inline(get(hedit2,'String'));
g2=y2(x);
hold on
plot(x,g2,colmat(n1))
㈡级数作图的函数
function FULIYE3(hedit,hlist,hedit1,hedit2)
n=str2num(get(hedit,'String'));%获取编辑框字符并转化为数字
n1=get(hlist,'Value');%获取列表框选项序号
colmat=['g','r','y','k'];%创建列表框取值的字符向量
f1=inline(get(hedit1,'String'));%获取被积函数
f2=inline(get(hedit2,'String'));%获取被积函数
syms x
s=(1/pi)*(int(sym(f1),x,-pi,0)+int(sym(f2),x,0,pi))/2;
for i=1:1:n
a(i)=(1/pi)*(int(sym(f1)*cos(i*x),x,-pi,0)+int(sym(f2)*cos(i*x),x,0,pi));
b(i)=(1/pi)*(int(sym(f1)*sin(i*x),x,-pi,0)+int(sym(f2)*sin(i*x),x,0,pi));
x=-pi:0.05:pi;
s=eval(s+a(i)*cos(i*x)+b(i)*sin(i*x));
plot(x,s,colmat(1+mod(i,3)))
hold on
syms x%要将其符号化，方便循环中下次积分计算
pause(1)
end

六．用图形界面设计傅里叶级数应用程序
1.界面设计
设计如下图所示的图形界面：

创建绘图区的坐标系；创建输入项数的组合框，它包含1个关于“输入项数”文本框，1个关于显示用户输入的项数的编辑框；创建输入函数的组合框，它包含2个关于“输入区间”的文本框，2个关于显示用户输入函数的编辑框；创建一个关于绘图颜色的组合框，它包含1个关于“选择绘图颜色”的文本框，1个关于4种颜色的列表框。2个按钮分别控制原函数和级数的绘图，1个关闭按钮。
2. 主程序代码
%创建可调窗体
h0=figure('Menubar','none','NumberTitle','off','Name','傅里叶级数',... 'Units','normalized','Position',[300/1366,200/768,700/1366,400/768]);
%设置绘图区的坐标系
haxs=axes('Parent',h0,'Units','normalized','Position',[25/700,25/400,300/700,300/400]);
%创建输入项数的组合框
uicontrol('Parent',h0,'Style','frame','Units','normalized',...
'Position',[25/700,345/400,300/700,45/400]);
uicontrol('Parent',h0,'Style','text','Units','normalized',...
'Position',[35/700,350/400,100/700,25/400],'String','输入项数',...
'Horizontal','center','FontSize',10);
hedit=uicontrol('Parent',h0,'Style','edit','Units','normalized',... 'Position',[145/700,355/400,150/700,25/400],'String','3','FontSize',10);
%创建输入函数的组合框
uicontrol('Parent',h0,'Style','frame','Units','normalized',...
'Position',[360/700,220/400,300/700,170/400]);
htext1=uicontrol('Parent',h0,'Style','text','Units','normalized',... 'Position',[380/700,355/400,120/700,25/400],'String','[-pi,0]上函数为(向量)',...
'Horizontal','center','FontSize',10);
htext2=uicontrol('Parent',h0,'Style','text','Units','normalized',...
'Position',[380/700,325/400,120/700,25/400],'String','[0,pi]上函数为(向量)','FontSize',10);
htext3=uicontrol('Parent',h0,'Style','text','Units','normalized',...
'Position',[380/700,265/400,120/700,25/400],'String','函数区间为','FontSize',10);
htext4=uicontrol('Parent',h0,'Style','text','Units','normalized',...
'Position',[380/700,235/400,120/700,25/400],'String','函数表达式为','FontSize',10);
hedit1=uicontrol('Parent',h0,'Style','edit','Units','normalized',...
'Position',[520/700,355/400,100/700,25/400],'String','','FontSize',10);
hedit2=uicontrol('Parent',h0,'Style','edit','Units','normalized',...
'Position',[520/700,325/400,100/700,25/400],'String','','FontSize',10);
hedit3=uicontrol('Parent',h0,'Style','edit','Units','normalized',...
'Position',[520/700,265/400,100/700,25/400],'String','','FontSize',10);
hedit4=uicontrol('Parent',h0,'Style','edit','Units','normalized',...
'Position',[520/700,235/400,100/700,25/400],'String','','FontSize',10);
%创建填充颜色列表的组合框
uicontrol('Parent',h0,'Style','frame','Units','normalized',...
'Position',[360/700,100/400,200/700,100/400]);
uicontrol('Parent',h0,'Style','text','Units','normalized',...
'Position',[365/700,150/400,180/700,40/400],'String','选择原函数的绘图颜色',...
'Horizontal','center','FontSize',10);
hlist=uicontrol('Parent',h0,'Style','popup','Units','normalized',...
'Position',[370/700,120/400,180/700,40/400],...
'String','绿色|红色|黄色|黑色','FontSize',10);
%创建绘图与关闭按钮
hpush1=uicontrol('Parent',h0,'Style','push','Units','normalized',...
'Position',[580/700,100/400,100/700,40/400],'String','级数绘图',...
'FontSize',10,'CallBack','FULIYE3(hedit,hlist,hedit1,hedit2)');
hpush2=uicontrol('Parent',h0,'Style','push','Units','normalized',...
'Position',[580/700,160/400,100/700,40/400],'String','原函数绘图',...
'FontSize',10,'CallBack','ORIGIN(hlist,hedit1,hedit2)');
hpush3=uicontrol('Parent',h0,'Style','push','Units','normalized',...
'Position',[480/700,30/400,100/700,40/400],'String','关闭',...
'FontSize',10,'CallBack','close(h0)');

需被调用的函数ORIGIN.m需被存放在MATLAB的work目录下。该函数的代码如下：
%原函数作图程序
function ORIGIN(hlist,hedit1,hedit2)
n1=get(hlist,'Value');%获取列表框选项序号
colmat=['g','r','y','k'];%创建列表框取值的字符向量
axis([-4,4,-2,2])
x=-pi:0.005:0;
y1=inline(get(hedit1,'String'));
g1=y1(x);
plot(x,g1,colmat(n1))
x=0:0.005:pi;
y2=inline(get(hedit2,'String'));
g2=y2(x);
hold on
plot(x,g2,colmat(n1))
需被调用的函数FULIYE3.m需被存放在MATLAB的work目录下。该函数的代码如下：
%级数作图程序
function FULIYE3(hedit,hlist,hedit1,hedit2)
n=str2num(get(hedit,'String'));%获取编辑框字符并转化为数字
n1=get(hlist,'Value');%获取列表框选项序号
colmat=['g','r','y','k'];%创建列表框取值的字符向量
f1=inline(get(hedit1,'String'));%获取被积函数
f2=inline(get(hedit2,'String'));%获取被积函数
syms x
s=(1/pi)*(int(sym(f1),x,-pi,0)+int(sym(f2),x,0,pi))/2;
for i=1:1:n
a(i)=(1/pi)*(int(sym(f1)*cos(i*x),x,-pi,0)+int(sym(f2)*cos(i*x),x,0,pi)); b(i)=(1/pi)*(int(sym(f1)*sin(i*x),x,-pi,0)+int(sym(f2)*sin(i*x),x,0,pi));
x=-pi:0.05:pi;
s=eval(s+a(i)*cos(i*x)+b(i)*sin(i*x));
plot(x,s,colmat(1+mod(i,3)))
hold on
syms x
pause(1)
end
七． 测试
在[-pi,0]和[0,pi]区间键入“x.^2”，在输入项数中输入“8”，点击按钮“原函数绘图”及“级数绘图”，得出如下结果：

八．需改进的地方
虽然从特定的函数绘图进而到由用户任意给出特定[-pi,pi]区间可积的函数绘图，这是很大的一个进步，但文中所述傅里叶级数的展开函数仍然具有一定的局限性，若任意区间的周期函数的又该如何绘制其图像呢？在程序的图形界面中已给出这样的两个编辑框，用来输入任意的区间及在此区间上的函数表达式。但是关于此的函数还没给出，这需要编者进一步的探究和完善。
九．总结
以前一直跟着老师学习MATLAB，无非更多的是跟着老师的思路走，跟着敲代码。然而老师有多年的教学经验再加上课程时间的限制，从而避免了程序设计中的很多弯路，事实上这些曲曲折折正是我们所迫切需要的。所学的程序虽然表面上看着懂了，实际给一张白纸你却不知从何下手。这就说明并不是真正领会了程序的精华所在，当你真正听明白的时候，是你能将这些东西吸收转化再以自己的形式表现出来。对于这方面，我很缺乏实际的动手操作，此次的课程设计给了我一次心理和能力的锻炼机会。
心理上来说，自己平时没怎么动手练，有很大的担心是自己不能完成一篇有质量的课程设计，开始的选题也是纠结了一段时间。有想过就按照老师的汽车加油类似的完成一篇解决实际生活问题的课程设计，但终究觉得缺乏一定的挑战性。在复习复变函数与积分变换的当口，我发现的傅里叶级数的重要实际应用意义，于是就开启了信誓旦旦的探究旅程。初期的时候只是把数分书上的一个特定的傅里叶级数展开进行了作图，成功之后就顿然觉得若只是这样的话程序有很大的局限性永远只能展开表示这一个特定的函。通过老师的指点，我拓宽了下思路，先尝试一下[-pi,pi]的函数级数展开。程序基本形成后，发现所使用的积分函数一直有问题，我对照了之前老师所写的矩形积分的程序仍未果。最后终于在同学耐心帮助下不停的尝试，最终程序运行正确。虽然程序设计是很有难度的，但其中翻阅参考书籍和冥思苦想以及最后团队协作的乐趣都是一次难得的亲身体会。
能力提高上来说，此次我的确从新学到了很多细小的知识。
1. 关于可视化的设计中，为了加入一般化的概念，就需增加文本框和编辑框，所有的窗口需重新调整，把颜色的列表框改成弹出框会更节省空间。
2. 在进行级数绘图的时候，我加了一个颜色的数组使得每次绘图的颜色都会有所变化
3. 增加一些东西的时候，所有的东西都要重新调试,在单单的函数中不能直接运行程序，因为一些变量都是从主程序中获取的，否则显示无定义。在函数的窗口改动需及时点保存。
4. 因为是分段函数，其作图的顺序需谨慎，因为要作两个图，在进行参照比较，故分开用按钮来调用两个作图函数，可以避免代码之间相互影响。
5. 期间删改较多指出就是积分和作图部分，积分时所要求的都是字符型，所以要用sym来转化，但是到后面作图，x给出作图区间后就自动被数值化了,级数和s需放在此语句后面(需注意语句的顺序问题),再将x转化成字符型以便在下一次循环中进行积分运算。
6. 不断尝试过程中了解到int与quad的不同之处。(quad的一些实现还是未完全懂得）。
int的积分可以是定积分(通过数值积分来进行)也可以是不定积分(通过解析的方法来得出)，而quad是数值积分(通过simpson数值积分，用小梯形的面积求和的到)，不能算不定积分。
8.级数画图是不断累积画图的过程，若项数大到一定程度时，则不能更好的观察趋近程度。在老师的建议下用删除的方法，只显示项数最大时的和式的图像。还需注意的是最后一项要保留不能删掉。

参考文献
[1] 刘玉琏，傅沛仁，林玎，范德馨，刘宁.数学分析讲义下册[M]高等教育出版社
[2] 江世宏.Matlab语言（第一分册）
[3] 周品，何正风,Matlab数值分析[M]机械工业出版社2009年11月第一版

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