中考数学狙击重难点系列专题22----反比例函数与正方形的综合(含答案).doc

中考数学狙击重难点系列专题
反比例函数与正方形的综合
1. 如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y= kx （k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（   ）

A. y= 3x                                  B. y= 4x                                  C. y= 5x                                  D. y= 6x
2. 如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，已知点B的坐标是（65 ， 115），则k的值为（　　）

A. 4                                           B. 6                                           C. 8                                           D. 10
3. 如图，正方形ABCD和正方形DEFG的顶点在y轴上，顶点D，F在x轴上，点C在DE边上，反比例函数y= kx （k≠0）的图象经过B，C和边EF的中点M，若S四边形ABCD=8，则正方形DEFG的面积是（  ）

A. 239                                   B. 1289                                   C. 16                                   D. 154
4. 如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，2），以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D恰好落在双曲线y= kx 上，则k的值是（   ）

A. 4                                           B. 3                                           C. 2                                           D. 1
5. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣4x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在双曲线在第一象限的分支上，则a的值是________．

6. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=−3x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形，点D恰好在双曲线上 y=kx ，则 k 值为________．

7. 如图，正方形ABCD的顶点A，B在函数y= kx （x＞0）的图象上，点C，D分别在x轴，y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．
①当k=2时，正方形A′B′C′D′的边长等于________．
②当变化的正方形ABCD与（1）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围是________．

8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 A 的坐标为 (−1,1) ，点 B 在 x 轴正半轴上，点 D 在第三象限的双曲线 y=6x 上，过点 C 作 CE//x 轴交双曲线于点 E ，连接 BE ，则 ΔBCE 的面积为________．

9. 如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2 ， 顶点P3在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则P2点的坐标为________ ，P3的坐标为________ ．

10. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，点D在双曲线y= kx （k≠0）上，将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a的值是________．

11. 如图，直线y=﹣3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线y= kx （k≠0）上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y= kx （k≠0）上的点D1处，则a=________．

12. 如图1，正方形ABCD顶点A、B在函数y= kx （k﹥0）的图像上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．

（1）若点A的横坐标为3，求点D的纵坐标；
（2）如图2，当k=8时，分别求出正方形A′B′C′D′的顶点A′、B′ 两点的坐标；
（3）当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，求k的取值范围．

13. 已知点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A，B，C，D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”．
例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”．

（1）如图1，若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长；
（2）如图2，若某函数是反比例函数 y=kx （k＞0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数的解析式；
（3）如图3，若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，C，D中的一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数的解析式．

14. 如图，点P（ 3 +1， 3 ﹣1）在双曲线y= kx （x＞0）上．

（1）求k的值；
（2）若正方形ABCD的顶点C，D在双曲线y= kx （x＞0）上，顶点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上，求点C的坐标．

15. 如图，点B（3，3）在双曲线y= kx （x＞0）上，点D在双曲线y=﹣ 4x （x＜0）上，点A和点C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点A，B，C，D构成的四边形为正方形．

（1）求k的值；
（2）求点A的坐标．

16. 如图，直线 y=−2x+2 与 x 轴、 y 轴分别相交于点A和B.

（1）直接写出坐标：点A________，点B________；
（2）以线段AB为一边在第一象限内作□ABCD，其顶点D( 3 ， 1 )在双曲线 y=kx  ( x ＞ 0 )上.①求证：四边形ABCD是正方形；
②试探索：将正方形ABCD沿 x 轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在双曲线 y=kx  ( x ＞ 0 )上.

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB=BC，

∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBE=90°，
∵∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠OAB=∠CBE，
∵点A的坐标为（﹣4，0），
∴OA=4，
∵AB=5，
∴OB= 52−42 =3，
在△ABO和△BCE中，
{∠OAB=∠CBE∠AOB=∠BECAB=BC ，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA=BE=4，CE=OB=3，
∴OE=BE﹣OB=4﹣3=1，
∴点C的坐标为（3，1），
∵反比例函数y= kx （k≠0）的图象过点C，
∴k=xy=3×1=3，
∴反比例函数的表达式为y= 3x ．
故选A．
【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB=∠CBE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=BE=4，CE=OB=3，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．
2.【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF⊥y轴于F，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
∵∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AF=BE，DF=AE，
∵正方形的边长为2，B（65， 115），
∴BE=65 ， AE=22-652=85 ，
∴OF=OE+AE+AF=115+85+65=5，
∴点D的坐标为（85 ， 5），
∵顶点D在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴k=xy=85×5=8．
故选：C．

【分析】过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF⊥y轴于F，根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=90°，再根据同角的余角相等求出∠BAE=∠ADF，然后利用“角角边”证明△ABE和△DAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=BE，DF=AE，再求出OF，然后写出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k．
3.【答案】B
【解析】【解答】解：作BH⊥y轴于B，连结EG交x轴于P，如图，

∵正方形ABCD和正方形DEFG的顶点A在y轴上，顶点D、F在x轴上，点C在DE边上，
∴∠EDF=45°，
∴∠ADO=45°，
∴∠DAO=∠BAH=45°，
∴△AOD和△ABH都是等腰直角三角形，
∵S正方形ABCD=8，
∴AB=AD=2 2 ，
∴OD=OA=AH=BH= 22 ×2 2 =2，
∴B点坐标为（2，4），
把B（2，4）代入y= kx 得k=2×4=8，
∴反比例函数解析式为y= 8x ，
设DN=a，则EN=NF=a，
∴E（a+2，a），F（2a+2，0），
∵M点为EF的中点，
∴M点的坐标为（ 32 a+2， a2 ），
∵点M在反比例函数y= 8x 的图象上，
∴ 3a+42 • a2 =8，
整理得3a2+4a﹣32=0，解得a1= 83 ，a2=﹣4（舍去），
∴正方形DEFG的面积=4• 12 DN•DF=4• 12 • 83 • 83 = 1289 ．
故选B．

【分析】根据正方形面积公式得到正方形的边长，判断△AOD和△ABH是等腰直角三角形，得出B点坐标，根据B点坐标得到反比例函数解析式，设DN=a，则EN=NF=a，根据正方形的性质易得E，F的坐标，求得M点的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得出关于a的方程，解方程求出a的值，最后计算正方形DEFG的面积．
4.【答案】B
【解析】【解答】解：作DE⊥x轴于E，
∵A（1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，
∵∠BAD=90°，∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠DAE，
在△AOB和△DEA中，
{∠ABO=∠DAE∠AOB=∠DEAAB=AD ，
∴△AOB≌△DEA，
∴AE=OB=2，DE=OA=1，
∴点D的坐标为（3；1），
∵点D恰好落在双曲线y= kx 上，
∴k=3，
故选：B．

【分析】作DE⊥x轴于E，证明△AOB≌△DEA，根据全等三角形的性质得到AE=OB=2，DE=OA=1，求出点D的坐标，代入解析式计算即可．
二、填空题
5.【答案】3
【解析】【解答】解：如图，作CN⊥OB于N，DM⊥OA于M，CN与DM交于点F，CN交反比例函数于H.

∵直线y=−4x+4与x轴、y轴分别交于A. B两点，
∴点B(0,4),点A(1,0),
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC=BC,∠BAD=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°,∠BAO+∠DAM=90°，
∴∠ABO=∠DAM，
在△ABO和△DAM中，
{∠BOA=∠AMD=90°∠ABO=∠DAMAB=AD ，
∴△ABO≌△DAM，
∴AM=BO=4，DM=AO=1，
同理可得：CF=BN=AO=1，DF=CN=BO=4，
∴点F(5,5),C(4,1),D(5,1)，
设点D在双曲线y= kx  (k≠0)上，则k=5，
∴反比例函数为y= 5x ，
∴直线CN与反比例函数图象的交点H坐标为(1,5)，
∴正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后,顶点C恰好落在双曲线y= 5x 上时，a=4−1=3，
故答案为3.
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型.
6.【答案】4
【解析】【解答】解：作DH⊥x轴于H，如图，

当y=0时，-3x+3=0，解得x=1，
∴A（1，0），
当x=0时，y=-3x+3=3，
∴B（0，3），
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠DAH=90°，
又∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠DAH，
在△ABO和△DAH中
{∠AOB＝∠DHA∠ABO＝∠DAHAB＝DA
∴△ABO≌△DAH，
∴AH=OB=3，DH=OA=1，
∴D点坐标为（4，1），
∵顶点D恰好落在双曲线y= kx  上，
∴k=4×1=4．
故答案是：4.
7.【答案】2；29 ≤x≤18
【解析】【解答】解：（1）如图，过点A′作AE⊥y轴于点E，过点B′⊥x轴于点F，则∠A′ED′=90°．

∵四边形A′B′C′D′为正方形，
∴A′D′=D′C′，∠A′D′C′=90°，
∴∠OD′C′+∠ED′A′=90°．
∵∠OD′C′+∠OC′D′=90°，
∴∠ED′A′=∠OC′D′．
在△A′ED′和△D′OC′中，
{∠ED'A'=∠OC'D'∠A'ED'=∠D'OC'=90∘A'D'=D'C' ，
∴△A′ED′≌△D′OC′（AAS）．
∴OD′=EA′，OC′=ED′．
同理△B′FC′≌△C′OD′．
设OD′=a，OC′=b，则EA′=FC′=OD′=a，ED′=FB′=OC′=b，
即点A′（a，a+b），点B′（a+b，b）．
∵点A′、B′在反比例函数y= 2x 的图象上，
∴ {a(a+b)=2b(a+b)=2 ，解得： {a=1b=1 或 {a=−1b=−1 （舍去）．
在Rt△C′OD′中，∠C′OD′=90°，OD′=OC′=1，
∴C′D′= OC'2+OD'2 = 2 ．
故答案为： 2 ．
2）设直线A′B′解析式为y=k1x+b1 ， 直线C′D′解析式为y=k2+b2 ，
∵点A′（1，2），点B′（2，1），点C′（1，0），点D′（0，1），
∴有 {2=k1+b11=2k1+b1 和 {0=k2+b21=b2 ，
解得： {k1=−1b1=3 和 {k2=−1b2=1 ．
∴直线A′B′解析式为y=﹣x+3，直线C′D′解析式为y=﹣x+1．
设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，n）．
当A点在直线C′D′上时，有2m=﹣m+1，解得：m= 13 ，
此时点A的坐标为（ 13 ， 23 ），
∴k= 13 × 23 = 29 ；
当点D在直线A′B′上时，有n=3，
此时点A的坐标为（3，6），
∴k=3×6=18．
综上可知：当变化的正方形ABCD与（1）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围为 29 ≤x≤18．
故答案为： 29 ≤x≤18．
【分析】（1）过点A′作AE⊥y轴于点E，过点B′⊥x轴于点F，由正方形的性质可得出“A′D′=D′C′，∠A′D′C′=90°”，通过证△A′ED′≌△D′OC′可得出“OD′=EA′，OC′=ED′”，设OD′=a，OC′=b，由此可表示出点A′的坐标，同理可表示出B′的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于a、b的二元二次方程组，解方程组即可得出a、b值，再由勾股定理即可得出结论；（2）由（1）可知点A′、B′、C′、D′的坐标，利用待定系数法即可求出直线A′B′、C′D′的解析式，设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，n），找出两正方形有重叠部分的临界点，由点在直线上，即可求出m、n的值，从而得出点A的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特征即可得出k的取值范围．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、正方形的性质以及全等三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）求出线段OD′、OC′的长度；（2）找出两正方形有重叠部分的临界点．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，本题是填空题，降低了难度，解决该题型题目时，结合点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数系数k是关键．
8.【答案】7
【解析】【解答】如图，

设D（x， 6x ），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠ADC=∠DCB=90°，
易得△AGD≌△DHC≌△CMB，
∴AG=DH=-x-1，
∴DG=BM，
∴1- 6x =-1-x- 6x ，
x=-2，
∴D（-2，-3），CH=DG=BM=1- 6−2 =4，
∴点E的纵坐标为-4，
当y=-4时，x=- 32 ，
∴E（- 32 ，-4），
∴EH=2- 32 = 12 ，
∴CE=CH-HE=4- 12 = 72 ，
∴S△CEB= 12 CE•BM= 12 × 72 ×4=7.
故答案为：7．
【分析】根据双曲线上点的坐标特点设出D点的坐标，根据正方形的性质及同角的余角相等易得△AGD≌△DHC≌△CMB，根据全等三角形的对应边相等得出AG=DH=-x-1，DG=BM，从而得出关于x的方程，求出D点的坐标，CH,DG,BM的长；进而得出AG,DH的长，求出E点的坐标，EH,CE的长，根据三角形的面积公式即可得出答案。
∵AG=DH=-1-x=1，
9.【答案】（2，1）； （ 3+1，3﹣1）
【解析】【解答】作P1C⊥y轴于C，P2D⊥x轴于D，P3E⊥x轴于E，P3F⊥P2D于F，如图，

设P1（a，2a），则CP1=a，OC=2a，
∵四边形A1B1P1P2为正方形，
∴Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D，
∴OB1=P1C=A1D=a，
∴OA1=B1C=P2D=2a﹣a，
∴OD=a+2a﹣a=2a，
∴P2的坐标为（ 2a，2a﹣a），
把P2的坐标代入y=2x （x＞0），得到（ 2a﹣a）•2a=2，解得a=﹣1（舍）或a=1，
∴P2（2，1），
设P3的坐标为（b，2b），
又∵四边形P2P3A2B2为正方形，
∴P2P3=P3A2 ， ∠P3EA2=∠P2FP2 ，
∴Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E，
∴P3E=P3F=DE=2b，
∴OE=OD+DE=2+2b，
∴2+2b=b，解得b=1﹣3（舍），b=1+3，
∴2b=21+3=3﹣1，
∴点P3的坐标为 （3+1，3﹣1）．
故答案为：（2，1），（3+1，3﹣1）．
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点为横纵坐标之积为定值；也考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质以及解分式方程的方法．
作P1C⊥y轴于C，P2D⊥x轴于D，P3E⊥x轴于E，P3F⊥P2D于F，设P1（a，2a），则CP1=a，OC=2a，易得Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D，则OB1=P1C=A1D=a，所以OA1=B1C=P2D=2a﹣a，则P2的坐标为（ 2a，2a﹣a），然后把P2的坐标代入反比例函数y=2x，得到a的方程，解方程求出a，得到P2的坐标；设P3的坐标为（b，2b），易得Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E，则P3E=P3F=DE=2b，通过OE=OD+DE=2+2b=b，这样得到关于b的方程，解方程求出b，得到P3的坐标．
10.【答案】2
【解析】【解答】如图所示，过点C作 CE⊥y 轴于点E，过点D作 DF⊥x 轴于点 F 。

∵直线 y=−3x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 、 B ，令 x=0 ，得 y=3 ，∴点 B 的坐标为 (0,3) ，令 y=0 ，得 x=1 ，∴点 A 的坐标为 (1,0) 。∵四边形 ABCD 是正方形，∴ AB=BC ， ∠ABC=90° ，∴ ∠OBA+∠EBC=180°−90°=90° ，又因为 ∠OBA+∠OAB=90° ，所以 ∠OBA=∠EBC 。在 △OAB 和 △EBC 中， {∠OBA=∠EBC∠AOB=∠BECAB=BC ，
∴ ∠OBA≅∠EBC(AAS) ，
∴ BE=OA=1 ， CE=OB=3 ， OE=OB+BE=3+1=4 ，即点 C 的坐标为 (3,4) 。同理可得 △OAB≅△FDA ，所以 AF=OB=3 ， DF=AO=1 ， OF=OA+AF=1+3=4 ，即点 D 的坐标为 (4,1) 。因为点 D 在双曲线 y=kx 上，将 (4,1) 代入 y=kx 得 k=1×4=4 ，所以双曲线的解析式为 y=4x 。因为将正方形沿 x 轴向左平移 b 个单位长度后，点 C 恰好落在该双曲线上，所以点 (3−b,4) 在双曲线 y=4x 上，则 (3−b)×4=4 ，解得 b=2 。
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F；用角角边易证得∠OBA≅∠EBC ≅△FDA，可得BE=OA=DF，CE=OB=AF；根据直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点可得点A（1，0）、B（0，3），则易得点C（3，4），点D（4，1），用待定系数法可求得反比例函数的解析式，由平移的性质可知点C平移前后的纵坐标不变可得4=4x,解得x=1,即点C平移后的坐标为 （1，4），所以平移的距离为3-1=2，即b=2.
11.【答案】2
【解析】【解答】解：对于直线y=﹣3x+3，
令x=0，得到y=3；令y=0，得到x=1，即A（0，3），B（1，0），
过C作CE⊥x轴，交x轴于点E，过A作AF//x轴，过D作DF垂直于AF于F，如图所示，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠OAB+∠ABO=90°，∠ABO+∠EBC=90°，
∴∠OAB=∠EBC，
在△AOB和△BEC中，
{∠AOB=∠BEC=90°∠OAB=∠EBCAB=BC ，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE=AO=3，CE=OB=1，
∴C（4，1），
把C坐标代入反比例解析式得：k=4，即y= 4x ，
同理得到△DFA≌△BOA，
∴DF=BO=1，AF=AO=3，
∴D（3，4），
把y=4代入反比例解析式得：x=1，即D1（1，4），
则将正方形ABCD沿x轴负方向平移2个单位长度，使点D恰好落在双曲线y= kx （k≠0）上的点D1处，即a=2，
故答案为：2．
【分析】对于直线解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B坐标，后根据三角形全等得出C点坐标，进而求出反比例函数的解析式，进而确定D点的坐标和D1点的坐标，即可确定出a的值．
三、综合题
12.【答案】（1）解:过点A作AE⊥y轴于点E，

则∠AED=90°．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°
∴∠ODC+∠EDA=90°．
∵∠ODC+∠OCD=90°，
∴∠EDA=∠OCD．
证得△AED≌△DOC（AAS）．
∴OD=EA
∴点D的纵坐标为3
（2）解:过点BF⊥x轴于点F，同理可得△BFC≌△COD．
∴OD=EA=CF, DE=OC=BF．
 ∴OE=OF.
设OD′=a，OC′=b，同上可得EA′=FC′=OD′=a，
ED′=FB′=OC′=b, 即点A′（a，a+b），点B′（a+b，b）．
∵点A′、B′在反比例函数y=8x的图象上，有a（a+b）=8, b（a+b）=8，
解得a=b=2或a=b=-2（舍去）．
∴A′、B′两点的坐标分别为（2，4），（4，2）
（3）解:∵点A′（2，4），点B′（4，2），点C′（2，0），点D′（0，2），
根据待定系数法求得直线A′B′解析式为y=﹣x+6，直线C′D′解析式为y=﹣x+2．
设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，n）．
当A点在直线C′D′上时，
有2m=﹣m+2，解得：m= 23 ，
此时点A的坐标为（ 23 ， 43 ），
∴k= 23 × 43 = 89 ，
当点D在直线A′B′上时，有n=6，此时点A的坐标为（6，12），
∴k=6×12=72．
综上可知：当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围为 89 ≤x≤72．
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥y轴于点E，可得∠AED=90°,由正方形的性质得AD=DC，∠ADC=90°,可得∠EDA=∠OCD，根据角角边证得△AED≌△DOC，从而OD=EA，从而得出点D的纵坐标；
（2）过点BF⊥x轴于点F，同理△BFC≌△COD，由正方形的性质可得出“A′D′=D′C′，∠A′D′C′=90°”，通过证△A′ED′≌△D′OC′可得出“OD′=EA′，OC′=ED′”，设OD′=a，OC′=b，由此可表示出点A′的坐标，同理可表示出B′的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于a、b的二元二次方程组，解方程组即可得出a、b值，再由勾股定理即可得出结论；
（3）由（2）可知点A′、B′、C′、D′的坐标，利用待定系数法即可求出直线A′B′、C′D′的解析式，设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，n），找出两正方形有重叠部分的临界点，由点在直线上，即可求出m、n的值，从而得出点A的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特征可得出k的取值范围．
13.【答案】（1）解：（I）当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时：
正方形ABCD的边长为 2 ．
（II）当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时：
设正方形边长为a，易得3a= 2 ，
解得a= 23 ，此时正方形的边长为 23 ．
∴所求“伴侣正方形”的边长为 2 或 23
（2）解：如图，作DE⊥x轴，CF⊥y轴，垂足分别为点E、F，

易证△ADE≌△BAO≌△CBF．
∵点D的坐标为（2，m），m＜2，
∴DE=OA=BF=m，
∴OB=AE=CF=2﹣m．
∴OF=BF+OB=2，
∴点C的坐标为（2﹣m，2）．
∴2m=2（2﹣m），解得m=1．
∴反比例函数的解析式为y= 2x
（3）解：实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合
a、当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶点为（4，1），对应的函数解析式是y=﹣ 37 x2+ 557 ；
b、当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在，
c、当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在
d、当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶点C为（﹣1，3），对应的函数的解析式是y= 18 x2+ 238 ；
e、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（7，﹣3）时，对应的函数解析式是y=﹣ 740 x2+ 22340 ；
f、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（﹣4，7）时，对应的抛物线为y= 37 x2+ 17 ；
故二次函数的解析式分别为：y= 18 x2+ 238 或y=﹣ 740 x2+ 22340 或y=﹣ 37 x2+ 557 或y= 37 x2+ 17
【解析】【分析】（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长.
（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标，可求出m的值 ，即可得到反比例函数的解析式．
（3）由抛物线开口既可能向上，也可能向下．当抛物线开口向上时，正方形的另一个顶点也是在抛物线上，这个点既可能在点（3，4）的左边，也可能在点（3，4）的右边，过点（3，4）向x轴作垂线，利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论，即可得到所求的结论．
14.【答案】（1）解：点P（ 3+1 ， 3−1 ）在双曲线 y=kx(x>0) 上，
将x= 3+1 ，y= 3−1 代入解析式可得：
k=2；
（2）解：过点D作DE⊥OA于点E，过点C作CF⊥OB于点F，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC，∠CBA=90°，
∴∠FBC+∠OBA=90°，
∵∠CFB=∠BOA=90°，
∴∠FCB+∠FBC=90°，
∴∠FBC=∠OAB，
在△CFB和△AOB中，
{∠CFB=∠AOB∠FBC=∠OABCB=AB ，
∴△CFB≌△AOB（AAS），
同理可得：△BOA≌△AED≌△CFB，
∴CF=OB=AE=b，BF=OA=DE=a，
设A（a，0），B（0，b），
则D（a+b，a）C（b，a+b），
可得：b（a+b）=2，a（a+b）=2，
解得：a=b=1．
所以点C的坐标为：（1，2）．
【解析】【分析】（1）由待定系数法把P坐标代入解析式即可；（2）C、D均在双曲线上，它们的坐标就适合解析式，设出C坐标，再由正方形的性质可得△CFB≌△AOB△BOA≌△AED≌△CFB，代入解析式得b（a+b）=2，a（a+b）=2，即可求出C坐标.
15.【答案】（1）解：∵点B（3，3）在双曲线y= 上，
∴k=3×3=9

（2）解：∵B（3，3），
∴BN=ON=3，
设MD=a，OM=b，
∵D在双曲线y=﹣ （x＜0）上，
∴ab=4，
过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，
则∠DMA=∠ANB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB，
∴∠MDA+∠DAM=90°，∠DAM+∠BAN=90°，
∴∠ADM=∠BAN，
在△ADM和△BAN中，
，
∴△ADM≌△BAN（AAS），
∴BN=AM=3，DM=AN=a，
∴0A=3﹣a，
即AM=b+3﹣a=3，
a=b，
∵ab=4，
∴a=b=2，
∴OA=3﹣2=1，
即点A的坐标是（1，0）．

【解析】【分析】（1）把B的坐标代入求出即可；（2）设MD=a，OM=b，求出ab=4，过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，证△ADM≌△BAN，推出BN=AM=3，MD=AN=a，求出a=b，求出a的值即可．
16.【答案】（1）（1，0）；（0，2）
（2）证明：①过点D作DE⊥x轴于点E，

∵A（1，0），B（0，2），D（3，1），
∴AE=OB=2，OA=DE=1，
在△AOB与△DEA中，
{OB=AE∠AOB=∠AEDOA=DE ，
∴△AOB≌△DEA（SAS），
∴AB=AD，
设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴ {k+b=03k+b=1 ，
解得 {k=12b=−12 ，
∵（-2）× 12 =-1，
∴AB⊥AD，
∵四边形ABCD是正方形；
②过点C作CF⊥y轴，
∵△AOB≌△DEA，
∴同理可得出：△AOB≌△BFC，
∴OB=CF=2
∵C点纵坐标为：3，
代入y= 3x ，
∴x=1，
∴应该将正方形ABCD沿X轴向左平移2-1=1个单位长度时，点C的对应点恰好落在（1）中的双曲线上．
【解析】【解答】解：（1）∵令x=0，则y=2；令y=0，则x=1，∴A（1，0），B（0，2）．
故答案为：（1，0），（0，2）；
【分析】(1)分别令x=0，y=0代入直线 y = − 2 x + 2，即可求出A、B两点的坐标；（2）①先证明△AOB和△DEA全等，有AB=AD，然后直线AD的解析式，根据直线AD和AB的k值相乘等于-1，证明AB⊥AD，可证明□ABCD是正方形，②证明△AOB≌△BFC，算出C点纵坐标是3，代入反比例函数解析式，求出C点横坐标是1，则应该向左平移1个单位长度，点C恰好落在双曲线上。
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