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2015年山东青岛数学试题解析
一、选择题
1．A 解析：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，所以的相反数是．
2．D 解析：将0.000000001用科学记数法表示成（1≤＜10，n为整数 ）的形式．小数点向右移动了9位，得到a=1，n=-9，所以0.000000001s=1×s．
3．B 解析：A是中心对称图形，B既是轴对称图形又是中心对称图形，C是轴对称图形，D是轴对称图形．
4．C 解析：∵DE⊥AB，∠B=30°，∴BD=2DE=2，∵DC⊥AC，DE⊥AB，AD是∠BAC的角平分线，∴DC=DE=1，∴BC=BD+DC=2+1=3.
5．B 解析：在这组数据中最大的数是10，最小的数是6，所以极差为10－6=4环，故A错误；将数据按从小到大顺序排列，中位数是第5个数据和第6个数据的平均数，所以中位数为×（8+8）=8环，故B正确；在这组数据中，出现次数最多的是7环和9环，所以这组数据的众数是7环和9环，故C错误； ==8环，故D错误．
6．A 解析：如图，连接OA、OB．∵直线PA与⊙O相切于点A，∴∠OAP=90°．∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴△OAB是正三角形，∴∠OAB=60°，∴∠PAB=∠OAP-∠OAB=90°-60°=30°.

7．C 解析：∵E、F分别是AB、BC边上的中点，EF＝，∴AC=2EF=2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD且互相平分．∵BD＝4，∴OA=，OB=2，∴AB==，∴菱形ABCD的周长=4AB=4.
8．D 解析：因为反比例函数图象和正比例函数图象具有中心对称性，所以图中两个函数图象的交点A与交点B关于原点中心对称．又因为点A的横坐标为2，所以点B的横坐标为－2．观察图象知：当y1>y2时，对应的x的取值范围为-2<x<0或x＞2．
二、填空题
9.
解析：原式=3-2=.
10. （2，3）
解析：由图可知点A的坐标为（6，3），纵坐标不变，横坐标变为原来的，对应点A＇的坐标是（2，3）.
11.
解析：长方体铜块的体积为3×2×1=6．将它铸成一个圆柱体后，根据体积不变性可得Sh=6，即.
12.
解析：如图，设AD分别交A＇D＇、C＇D＇、x轴于点E、F、H．∵顶点A，B的坐标分别为（1,1）、（-1,1），∴正方形ABCD的边长为2，∴B＇D＇=2，即OD＇=．∵OD＇⊥AD，∠ED＇H=45°，∴EH=FH=EF，∠HED＇=45°，∴EH=HD＇．∵OD＇=OH+HD＇，∴=1+EH，即EH=-1，∴EF=2EH=，即这个正八边形的边长为.

13. 40°
解析：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠A＝55°，∴∠A=∠ECD=55°．∵∠E=30°，∴∠EDC=180°-55°-30°=95°．∵∠EDC=∠F+∠A，∴∠F=∠EDC-∠A=95°-55°=40°.
14. 19，48
解析：拼组后的大长方体的长和宽分别由3个小正方体组成，高由4个小正方体组成，所以拼组后的大长方体中的小正方体个数为3×3×4=36，图中已有的正方体个数为9+4+3+1=17个，所以王亮需要的小正方体的个数为36-17=19个；王亮所搭几何体共3层，每层小正方体露在外面的面有：15+11+22=48个，所以王亮所搭几何体的表面积为1×1×48=48.
三、作图题
15. 思路分析：本题主要考查了尺规作图．解答本题共运用了两种基本作图：①过直线外一点作已知直线的垂线；②作一条直线等于已知直线．具体作图过程为：（1）在直线的下方任取一点，以A为圆心，A到这一点为半径画弧，交直线于点E、F；（2）分别以E、F为圆心，大于EF画弧交于点D；（3）过A、D作直线AD，交直线于点C；（4）以A为圆心，为半径画弧交直线于点B；（5）连接AB．△ABC就是所求作的直角三角形.
解：

四、解答题
16.思路分析：（1）先把括号里的异分母通分变成同分母，进行同分母分式的加减，再把除变乘，然后约分化简. （2）由题目中的条件可知＞0，进而可求得的取值范围.
解：（1）原式=．
（2）由题知，解得．所以的取值范围是.
17. 思路分析：本题考查了统计图的应用，（1）先求出被调查学生的总人数，再根据“总人数×B类学生所占的百分比=B类学生的人数”求出B类学生的人数，然后补全条形统计图；（2）360°×D类学生所占的百分比=扇形D的圆心角度数；（3）全校学生人数×被调查学生在1.5小时内完成作业的百分比=全校在1.5小时内完成作业的人数.
解：（1）被调查学生的总数10÷25%=40人，B类学生的人数40×30%=12人．
补全统计图如下：

（2）；
（3）人.
18. 思路分析：本题考查了“游戏公平”的概率应用，用列表法或树形图表示出所有可能出现的结果，求得数字之和大于5的概率．若此概率为则游戏公平，否则游戏不公平．
解：

第二次
第一次
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
共有16种等可能结果，其中大于5的数字共有6种.
，因为，所以游戏对双方不公平.
19. 思路分析：本题考查了锐角三角函数的应用，作AD⊥CB的延长线于点D，从而构造出两个直角三角形．在这两个直角三角形中，根据线段AD、DB、BC与∠ABD、∠ACD的数量关系求得AD的长.
解：如图，作AD⊥CB的延长线于点D．
由题意知：∠ACD=35°、∠ABD=45°．
在Rt△ACD中，∠ACD=35°，，所以．
在Rt△ABD中，∠ABD=45°，，所以．
由题意知：，所以，解得m.
答：热气球到地面的距离约为233米.

20. 思路分析：本题考查了分式方程的应用及一次函数的性质.（1）设制作每个乙盒用米材料，则制作每个甲盒用（1+20%）米材料，根据“6米材料制成乙盒的个数—6米材料制成甲盒的个数=2”列出方程求解；（2）先确定出n的取值范围，再列出所需材料总长度与甲盒数量个之间的函数关系式，然后根据函数的性质及自变量的取值范围，求出最小函数值即可.
解：（1）设制作每个乙盒用米材料，则制作甲盒用（1+20%）米材料，由题可得：
，解得（米）．
经检验是原方程的解，所以．
答：制作每个甲盒用0.6米材料；制作每个乙盒用0.5米材料.
（2）由题意得
∴．
．
∵，∴随的增大而增大，∴当时，.
答：总长度与甲盒数量个之间的函数解析式（）；最少需要1700米材料.
21. 思路分析：本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质.（1）由已知条件可证∠B=∠EAC，∠CEA=∠ADB，又因为AB=AC，根据AAS即可判定三角形全等；（2）根据AE与BD位置与数量关系证四边形ABDE是平行四边形，由此可得结论.
（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，
又∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠B=∠EAC，
∵CE⊥AE，
∴∠CEA=90°，
∴∠CEA=∠ADB．
又∵AB=AC，∴△ABD≌△CAE（AAS）.
（2）AB∥DE且AB=DE.
由（1）△ABD≌△CAE可得AE=BD，
又∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥DE且AB=DE.
22.思路分析：本题考查了二次函数的应用，（1）根据点B，C的坐标，用待定系数法可求得抛物线的解析式，由此可得二次函数的最大值，从而求出拱顶D到地面OA的距离；（2）由已知条件知，汽车外侧与地面OA的交点坐标为（2，0）（或（10,0）），借助二次函数解析式求出相应的函数值，与汽车的高度进行比较即可得到结论；（3）令y=8，求出x的值，由此可求出两排灯的最小水平距离.
解：（1）由题意知.
所以
解得
所以（）．
当时，．
答：，拱顶D到地面OA的距离为10米．
（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0））．
当时，，所以可以通过．
答：这辆货车能安全通过.
（3）令，即．
由此可得，解得．
．
答：两排灯的水平距离最小是．
23. 思路分析：本题是一道图形变化类的规律探索题，主要考查等腰三角形的有关知识及学生观察、分析、猜测、归纳的能力.探究二：（1）根据题意，将木棒分组后利用三角形的三边关系进行判断；（2）仿照探究一的方法可得，当n=8时，m=1；当n=9时，m=2；当n=10时，m=2；问题解决：经过进一步探究发现，等腰三角形的个数每4组一循环，当n=4k时，m=k-1，其它三组三角形的个数都比这一组多1个，即m=k；问题应用：因为2016=4×504，即k=504，根据表③中的规律，可求出等腰三角形的个数为503个；在这些等腰三角形中面积最大的是等边三角形，于是可求出每个腰所用木棒根数为2016÷3=672根.
解：探究二：
（1）若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则不能搭成三角形,
若分为2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形,
若分为3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形,
所以，当时，．
（2）

7
8
9
10

2
1
2
2
问题解决：

-1

问题应用：∵2016=4×504，所以k=504，则可以搭成k-1=503个不同的等腰三角形：672．

24. 思路分析：本题综合考查了勾股定理的应用、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质以及二次函数的有关知识，难度较大，根据已知条件构造关于t的等式是解答本题的关键．具体解题思路为：（1）由平移性质推得MN∥AB，然后证PQ∥AB，利用平行线分线段成比例得，再代入相应数值，可得t的值；（2）根据直角三角形的面积和勾股定理可得AE、CE的长．作PR⊥BC于点R，AE⊥BC于点E，由此可证△CPR∽△CAE，从而求出PR的长，最后根据三角形的面积公式可得出y与t之间的函数关系式；（3）由逐步得出：=1：5，由此得到关于t的一元二次方程，从而求出t的值.（4）由△MQP∽△PRQ可得，即，由此得出关于t的一元二次方程，从而求出t的值.
解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得．
由平移性质可得MN∥AB．∵PQ∥MN，∴PQ∥AB，∴，即，解得．
（2）作PR⊥BC于点R，AE⊥BC于点E．
由可得，由勾股定理求得．
∵PR⊥BC，AE⊥BC，
∴AE∥PR，所以△CPR∽△CAE，
∴，即，
从而求得，．
∵PM∥BC，∴M到BC的距离，
∴△QCM是面积（0<t<4）.

（3）存在时刻t，使S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4．
∵PM∥BC，∴．
若S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4，则S△QMC∶S△ABC＝1∶5，
即：，整理得：，解得．
（4）存在时刻t，使
若，则∠MQP=∠PRQ=90°．
∵MP∥BC，∴∠MPQ=∠PQR，
∴△MQP∽△PRQ，
∴，
∴，即．
由，∴RQ = CR-CQ，
故，整理得，
解得．