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1必修必修 5 5 数学知识点数学知识点第一章第一章：解三角形1、正弦定理：.RCcBbAa2sinsinsin（其中为外接圆的半径）RABC2 sin,2 sin,2 sin;aRA bRB cRCsin,sin,sin;222abcABCRRR:sin:sin:sin.a b cABC用途：用途：已知三角形两角和任一边，求其它元素；已知三角形两角和任一边，求其它元素；已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。2、余弦定理：2222222222cos,2cos,2cos.abcbcAbacacBcababC222222222cos,2cos,2cos.2bcaAbcacbBacabcCab用途：用途：已知三角形两边及其夹角，求其它元素；已知三角形两边及其夹角，求其它元素；已知三角形三边，求其它元素。已知三角形三边，求其它元素。做题中两个定理经常结合使用.3、三角形面积公式：BacAbcCabSABCsin21sin21sin214、三角形内角和定理：在ABC 中，有()ABCCAB.222CAB222()CAB5、一个常用结论：在中，ABCsinsin;abABAB若特别注意，在三角函数中，特别注意，在三角函数中，不成立。不成立。sin2sin2,.2ABABAB则或sinsinABAB第二章第二章：数列1、数列中与之间的关系：nanS注意通项能否合并。11,(1),(2).nnnSnaSSn2、等差数列：定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即=d，（n2，nN），na1na那么这个数列就叫做等差数列。等差中项：若三数成等差数列aAb、22abA通项公式：1(1)()nmaandanm d 或(napnq pq、是常数）.前项和公式：n11122nnn nn aaSnad常用性质：若，则；Nqpnmqpnm,qpnmaaaa下标为等差数列的项，仍组成等差数列；L,2mkmkkaaa数列（为常数）仍为等差数列；banb,若、是等差数列，则、(、是非零常数)、，也成等差数na nbnkannkapbkp*(,)p nqap qN列。单调性：的公差为，则：nad）为递增数列；0d na）为递减数列；0d na）为常数列；0d na数列为等差数列（p,q 是常数）nanapnq若等差数列的前n项和nS，则kS、kkSS2、kkSS23 是等差数列。na3、等比数列定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。等比中项：若三数成等比数列（同号）。反之不一定成立。反之不一定成立。ab、G、2,Gabab通项公式：11nn mnmaa qa q前项和公式：n11111nnnaqaa qSqq常用性质若，则；Nqpnmqpnm,mnpqaaaa为等比数列，公比为(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)L,2mkmkkaaakq数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列；正项等比数列；则是公差为naq nalgna的等差等差数列；lgq若是等比数列，则 na 2nncaa，1na，是等比数列，公比依次是()rnarZ21.rqqqq，单调性：为递增数列；为递减数列；110,10,01aqaq或 na 110,010,1naqaqa 或为常数列；1nqa 3为摆动数列；0nqa既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。若等比数列的前n项和nS，则kS、kkSS2、kkSS23 是等比数列.na4、非等差、等比数列通项公式的求法、非等差、等比数列通项公式的求法类型类型 观察法：观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。类型类型 公式法：公式法：若已知数列的前n项和nS与的关系，求数列的通项可用公式 na nana构造两式作差求解。11,(1),(2)nnnSnaSSn用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一1ana个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。1n 2n类型类型 累加法：累加法：形如形如型的递推数列型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：)(1nfaann)(nfn11221(1)(2).(1.)nnnnaaf naaf naaf将上述个式子两边分别相加，可得：1n1(1)(2).(2)(1),(2)naf nf nffan若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;()f nn 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;()f nn若是关于的二次函数，累加后可分组求和;()f nn若是关于的分式函数，累加后可裂项求和.()f nn类型类型 累乘法：累乘法：形如形如型的递推数列型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：1()nnaaf n1()nnaf na)(nfn11221(1)(.2)(1.)nnnnaf naaf naafa将上述个式子两边分别相乘，可得：1n1(1)(2).(2)(1),(2)naf nf nffan有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。类型类型 构造数列法：构造数列法：形如形如（其中（其中均为常数且均为常数且）型的递推式：型的递推式：qpaann1,p q0p（1）若时，数列为等差数列;1p na（2）若时，数列为等比数列;0q na（3）若）若且且时，数列时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列构造等比数列来求来求.方法有如下两1p 0qna种：法一：法一：设,展开移项整理得,与题设比较系数（待定系1()nnap a1(1)nnapap1nnapaq4数法）得,即构成以1,(0)()111nnqqqpap appp1()11nnqqap app1nqap为首项，以为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得11qapp1nqap.na法二：法二：由得两式相减并整理得即构成以为qpaann11(2)nnapaq n11,nnnnaapaa1nnaa21aa首项，以为公比的等比数列.求出的通项再转化为类型类型（累加法）（累加法）便可求出p1nnaa.na形如形如型的递推式型的递推式：1()nnapaf n(1)p 当当为一次函数类型（即等差数列）时：为一次函数类型（即等差数列）时：()f n法一：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，1(1)nnaAnBp aA nBA B、1aAB以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得pnaAnBnaAnB.na法二：法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：()f nd1()nnapaf n1(1)nnapaf n，令得：转化为类型类型求出，再用类型类型（累加法）（累加法）11()nnnnaap aad1nnnbaa1nnbpbdnb便可求出.na当当为指数函数类型（即等比数列）时：为指数函数类型（即等比数列）时：()f n法一：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以1()(1)nnaf np af n1(1)af为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得p()naf n()naf n.na法二：法二：当的公比为时，由递推式得：，两边同时乘()f nq1()nnapaf n1(1)nnapaf n以得，由两式相减得，即，在q1(1)nna qpqaqf n11()nnnnaa qp aqa11nnnnaqapaqa转化为类型类型便可求出.na法三：法三：递推公式为（其中 p，q 均为常数）或（其中 p，q,r 均为常数）时，nnnqpaa11nnnaparq要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列引入辅助数列（其中），得：1nqqqaqpqannnn111 nbnnnqab 再应用类型类型的方法解决。qbqpbnn11当当为任意数列时，可用为任意数列时，可用通法通法：()f n 在两边同时除以可得到，令，则，在转化1()nnapaf n1np111()nnnnnaaf npppnnnabp11()nnnf nbbp为类型类型（累加法）（累加法），求出之后得.nbnnnap b类型类型 对数变换法：对数变换法：形如形如型的递推式：型的递推式：1(0,0)qnnapapa在原递推式两边取对数得，令得：，化归为1qnapa1lglglgnnaqaplgnnba1lgnnbqbp型，求出之后得（注意：底数不一定要取 10，可根据题意选择）。qpaann1nb10.nbna 类型类型 倒数变换法：倒数变换法：形如形如（为常数且）的递推式：的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为11nnnnaapaap0p 1nnaa111nnpaa型求出的表达式，再求；qpaann11nana5还有形如还有形如的递推式，的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出1nnnmaapaq111nnmmaq apqpaann1的表达式，再求.1nana类型类型 形如形如型的递推式：型的递推式：nnnqapaa12用待定系数法，化为特殊数列的形式求解。方法为：设，比较系数得1nnaa)(112nnnnkaahkaa，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型。qhkpkh,h k、1nnakahqpaann1总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式.na5、非等差、等比数列前、非等差、等比数列前项和公式的求法项和公式的求法n错位相减法错位相减法若数列为等差数列，数列为等比数列，则数列的求和就要采用此法.na nbnnab将数列的每一项分别乘以的公比，然后在错位相减，进而可得到数列的前项和.nnab nbnnabn此法是在推导等比数列的前项和公式时所用方法.n裂项相消法裂项相消法一般地，当数列的通项 时，往往可将变成两项的差，采用裂12()()ncaanbanb12(,a b b c为常数）na项相消法求和.可用待定系数法进行裂项：设，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得，从而可得12naanbanb21cbb12211211=().()()()ccanbanbbbanbanb常见的拆项公式有：111(1)1n nnn；1111();(21)(21)2 2121nnnn11();ababab11;mmmnnnCCC!(1)!.n nnn分组法求和分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：找通向项公式由通项公式确定如何分组.倒序相加法倒序相加法如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，na就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：121.nnaaaa记住常见数列的前项和：n(1)123.;2n nn 21 35.(21);nn 622221123.(1)(21).6nn nn第三章第三章：不等式3.1、不等关系与不等式、不等关系与不等式1、不等式的基本性质（对称性）abba（传递性）,ab bcac（可加性）abacbc（同向可加同向可加性）dbcadcba,（异向可减异向可减性）dbcadcba,（可积性）bcaccba0,bcaccba0,（同向正数同向正数可乘性）0,0abcdacbd（异向正数异向正数可除性）0,0ababcdcd（平方法则）0(,1)nnababnNn且（开方法则）0(,1)nnabab nNn且（倒数法则）babababa110;1102、几个重要不等式,（当且仅当时取号）.变形公式：222abab abR，ab22.2abab（基本不等式）（基本不等式）,（当且仅当（当且仅当时取到等号）时取到等号）.2abababR，ab变形公式：2abab2.2abab用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”.（三个正数的算术（三个正数的算术几何平均不等式）几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）.33abcabc()abcR、abc222abcabbcca abR，（当且仅当时取到等号）.abc3333(0,0,0)abcabc abc（当且仅当时取到等号）.abc（当仅当 a=b 时取等号）0,2baabab若则（当仅当 a=b 时取等号）0,2baabab 若则banbnamambab17其中(000)abmn，规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小.220;axaxaxaxa 当时，或22.xaxaaxa 绝对值三角不等式.ababab3、几个著名不等式、几个著名不等式平均不等式：2211222abababab,（当且仅当时取号）.abR，ab（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：222;22ababab222().2abab幂平均不等式：222212121.(.).nnaaaaaan二维形式的三角不等式：22222211221212()()xyxyxxyy1122(,).x y xyR二维形式的柯西不等式：当且仅当时，等号成22222()()()(,).abcdacbda b c dRadbc立.三维形式的柯西不等式：一般形式的柯西不等式：22222221231231 1223 3()()().aaabbbaba ba b2222221212(.)(.)nnaaabbb21 122(.).nnaba ba b向量形式的柯西不等式：设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立.,u r u r,u r u ru r u ru rkku ru r排序不等式（排序原理）：设为两组实数.是的任一排列，则1212.,.nnaaa bbb12,.,nc cc12,.,nb bb12111 122.nnnnnaba ba ba ca ca c（反序和反序和乱序和乱序和顺序和顺序和）1 122.nnaba ba b当且仅当或时，反序和等于顺序和.12.naaa12.nbbb琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有()f x1212,(),x xxx12121212()()()()()().2222xxf xf xxxf xf xff或8则称 f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：舍去或加上一些项，如22131()();242aa将分子或分母放大（缩小），如 211,(1)kk k211,(1)kk k2212(),21kkkkkk等.*12(,1)1kNkkkk5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)axbxc或解集的步骤：2(0,40)abac 一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分移项通分标准化，则 （时同理）()0()()0()()()0()0()0()f xf xg xg xf xg xf xg xg x“或”规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2()0()(0)()f xf xa af xa2()0()(0)()f xf xa af xa2()0()0()()()0()0()()f xf xf xg xg xg xf xg x或2()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x9规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小小”的一边分析求解的一边分析求解.9、指数不等式的解法：当时,1a()()()()f xg xaaf xg x当时,01a()()()()f xg xaaf xg x规律：根据指数函数的性质转化规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法当时,1a()0log()log()()0()()aaf xf xg xg xf xg x当时,01a()0log()log()()0.()()aaf xf xg xg xf xg x规律：根据对数函数的性质转化规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：定义法：(0).(0)aaaaa平方法：22()()()().f xg xfxgx同解变形法，其同解定理有：(0);xaaxa a (0);xaxaxa a 或()()()()()()0)f xg xg xf xg xg x()()()()()()()0)f xg xf xg xf xg xg x 或规律：关键是去掉绝对值的符号规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：20axbxc讨论与 0 的大小；a讨论与 0 的大小；讨论两根的大小.14、恒成立问题不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：20axbxc当时 0a 0,0;bc当时0a 00.a 不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：20axbxc当时0a 0,0;bc当时0a 00.a 恒成立()f xamax();f xa恒成立()f xamax();f xa恒成立()f xamin();f xa恒成立()f xamin().f xa1015、线性规划问题二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：法一：取点定域法：由于直线的同一侧的所有点的坐标代入后所得的实数的符号相同.所以，在实际0AxByCAxByC判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点（如原点），由的正负即可判断出00(,)xy00AxByC或表示直线哪一侧的平面区域.0AxByC(0)即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：法二：根据或，观察的符号与不等式开口的符号，若同号，或0AxByC(0)B0AxByC(表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方即：同号上方，异号下方.0)二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.利用线性规划求目标函数为常数）的最值：zAxBy(,A B 法一：法一：角点法：角点法：若目标函数（即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区zAxByxy、域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应值，最大的那个数为目标函数的最大zz值，最小的那个数为目标函数的最小值z法二：法二：画画移移定定求：求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线，平移直线（据可行域，将直0:0lAxBy0l线平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解；第四步，将最优解代入目标函数即0l(,)x y(,)x yzAxBy可求出最大值或最小值.第二步中最优解的确定方法：最优解的确定方法：利用的几何意义：,为直线的纵截距.zAzyxBB zB若若则使目标函数则使目标函数所表示直线的所表示直线的纵截距最大的角点处，纵截距最大的角点处，取得最大值，使取得最大值，使直线的直线的纵截距纵截距0,B zAxByz最小的角点处，最小的角点处，取得最小值；取得最小值；z若若则使目标函数则使目标函数所表示直线的所表示直线的纵截距最大的角点处，纵截距最大的角点处，取得最小值，使取得最小值，使直线的直线的纵截距纵截距0,B zAxByz最小的角点处，最小的角点处，取得最大值取得最大值.z常见的目标函数的类型：“截距截距”型：型：;zAxBy“斜率斜率”型：型：或yzx;ybzxa“距离距离”型：型：或22zxy22;zxy或22()()zxayb22()().zxayb在求该“三型三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义几何意义求解，从而使问题简单化.选修数学知识点专题一专题一：常用逻辑用语(选修 2-1)1、命题：可以判断真假的语句叫命题；逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题;复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题.常用小写拉丁字母，表示命题.pqrs2、四种命题及其相互关系11四种命题的真假性之间的关系：、两个命题互为逆否命题互为逆否命题，它们有相同的真假性有相同的真假性；、两个命题为互逆命题或互否命题互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系真假性没有关系3、充分条件、必要条件与充要条件、一般地，如果已知，那么就说：是的充分条件，是的必要条件；pqpqqp若，则是的充分必要条件，简称充要条件pqpq、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件与结论之间的关系：pq、从逻辑推理关系上看：若，则是充分条件，是的必要条件；pqpqqp若，但 ，则是充分而不必要条件;pqqppq若 ，但，则是必要而不充分条件;pqqppq若且，则是的充要条件；pqqppq若 且 ，则是的既不充分也不必要条件.pqqppq、从集合与集合之间的关系上看：已知满足条件，满足条件：Ax xpBx xq若,则是充分条件；ABpq若,则是必要条件；BApq若 A B，则是充分而不必要条件;pq若 B A，则是必要而不充分条件;pq若，则是的充要条件；ABpq若且，则是的既不充分也不必要条件.ABBApq4、复合命题复合命题有三种形式：或（）；且（）；非（）.pqpqpqpqpp复合命题的真假判断“或”形式复合命题的真假判断方法：一真必真一真必真；pq“且”形式复合命题的真假判断方法：一假必假一假必假；pq“非”形式复合命题的真假判断方法：真假相对真假相对.p5、全称量词与存在量词全称量词与全称命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.存在量词与特称命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题.全称命题与特称命题的符号表示及否定全称命题：，它的否定：全称命题的否定是特称命题全称命题的否定是特称命题p,()xp x p00,().xp x 特称命题：，它的否定：特称命题的否定是全称命题特称命题的否定是全称命题.p00,(),xp xp,().xp x 12专题二专题二：圆锥曲线与方程(选修 2-1)1 1椭圆椭圆2双曲线双曲线焦点的位置焦点在轴上x焦点在轴上y图形标准方程222210,0 xyabab222210,0yxabab第一定义到两定点的距离之差的绝对值等于常数，即21FF、2a焦点的位置焦点在轴上x焦点在轴上y图形标准方程222210 xyabab222210yxabab第一定义到两定点的距离之和等于常数 2，即（）21F F、a21|2MFMFa212|aFF第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数，即e(01)MFeed范围且axa byb 且bxb aya 顶点、；、1,0aA2,0aA10,b20,b、；、10,aA20,aA1,0b2,0b轴长长轴的长 短轴的长 2a2b对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称xy焦点、1,0Fc2,0Fc、10,Fc20,Fc焦距222122()FFccab离心率 22222221(01)ccabbeeaaaa准线方程2axc 2ayc 焦半径0,0()M x y左焦半径：10MFaex右焦半径：20MFaex下焦半径：10MFaey上焦半径：20MFaey焦点三角形面积1 2212tan()2MF FSbFMF 通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：2bHHa（焦点）弦长公式，1,12,2(),()A x yB x y22212121211()4ABkxxkxxx x13（）21|2MFMFa2102|aFF第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数，即e(1)MFeed范围或，xa xayR或，ya yaxR顶点、1,0aA2,0aA、10,aA20,aA轴长实轴的长 虚轴的长2a2b对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称xy焦点、1,0Fc2,0Fc、10,Fc20,Fc焦距222122()FFccab离心率22222221(1)ccabbeeaaaa准线方程2axc 2ayc 渐近线方程渐近线方程byxa ayxb 焦半径0,0()M x y在右支M1020MFexaMFexa左焦：右焦：在左支M1020MFexaMFexa 左焦：右焦：在上支M1020MFeyaMFeya左焦：右焦：在下支M1020MFeyaMFeya 左焦：右焦：焦点三角形面积1 2212cot()2MF FSbFMF 通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：2bHHa 图形标准方程22ypx0p 22ypx 0p 22xpy0p 22xpy 0p 定义与一定点和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点不在定直线 上)FlFl顶点0,0离心率1e 对称轴轴x轴y范围0 x 0 x 0y 0y 焦点,02pF,02pF0,2pF0,2pF准线方程2px 2px 2py 2py 焦半径0,0()M x y02pMFx02pMFx 02pMFy02pMFy 143抛物线抛物线关于抛物线焦点弦的几个结论：设为过抛物线焦点的弦，直线的倾斜角为，则AB22(0)ypx p1122(,)(,)A x yB xy、AB 以为直径的圆与准线相切；221212,;4px xy yp 22;sinpABAB 焦点对在准线上射影的张角为 FA B、2；112.|FAFBP通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2HHp 焦点弦长公式12ABxxp参数的几何p意义参数表示焦点到准线的距离，越大，开口越阔pp