2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学.doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
理科数学

本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分.
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.
1. 已知（为虚数单位），则复数=（ ）
A. B. C. D.
2. 设A,B是两个集合，则””是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 执行如图1所示的程序框图，如果输入，则输出的( )
A. B. C. D.
4. 若变量满足约束条件则的最小值为（ ）
A.-7 B.-1 C.1 D.2
5. 设函数，则是（ ）
A.奇函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数
C. 偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数
6. 已知的展开式中含的项的系数为30，则（ ）
A． B. C.6 D.-6
7. 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
A.2386 B.2718 C.3413 D.4772
8. 已知点A，B，C在圆上运动，且，若点P的坐标为（2,0），则的最大值为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
9. 将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（ ）
A. B. C. D.
10. 某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ）
A. B. C. D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11. .
12. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图4所示.若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 .

13. 设F是双曲线的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为_________________。
14．设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则 .
15．已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围 是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
本小题设有Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个选做题，请考生任选两题作答，并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内。如果全做，则按所做的前两题计分。
（Ⅰ）（本题满分6分）选修4-1：几何证明选讲
如图5，在中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）
（Ⅱ）（本题满分6分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（ⅱ）设点M的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值。
（Ⅲ）（本题满分6分）选修4-5：不等式选讲
设，且，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）与不可能同时成立。
17.（本小题满分12分）
设的内角的对边分别为，且为钝角。
（Ⅰ）证明：;
（Ⅱ）求的取值范围。
18.（本小题满分12分）
某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球。在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖。
（Ⅰ）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（Ⅱ）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望。
19.（本小题满分13分）
如图6，已知四棱台的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，，且底面，点分别在棱上。
（Ⅰ）若是的中点，证明：；
（Ⅱ）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积。
20.（本小题满分13分）
已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）过点的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向。
（ⅰ）若，求直线的斜率；
（ⅱ）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形。
21.（本小题满分13分）
已知，函数。记为的从小到大的第个极值点。证明：
（Ⅰ）数列是等比数列；
（Ⅱ）若，则对一切恒成立。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
理科数学参考答案

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.
1.D 2.C 3.B 4.A 5. A
6.D 7.C 8.B 9.D 10.A
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 0 12.4 13. 14.
15.
三、解答题：
16.（Ⅰ）证明：
（ⅰ）如图所示，因为分别是弦的中点，所以，即，因此，又四边形的内角和等于，故。
（ⅱ）由（ⅰ）知，四点共圆，故由割线定理即得
（Ⅱ）解：
（ⅰ）等价于
①
将代入①即得曲线的直角坐标方程为
②
（ⅱ）将代入②，得。设这个方程的两个实根分别为，则由参数的几何意义即知，
（Ⅲ）证明：
由，得
（ⅰ）由基本不等式及，有，即
（ⅱ）假设与同时成立，则由及得；同理，，从而，这与矛盾。故与不可能同时成立。
17.解：
（Ⅰ）由及正弦定理，得，所以，即

又为钝角，因此，故，即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以
于是

因为，所以，因此

由此可知的取值范围是
解：（Ⅰ）记事件{从甲箱中摸出的1个球是红球}，
{从乙甲箱中摸出的1个球是红球}，
{顾客抽奖1次获一等奖}，
{顾客抽奖1次获二等奖}，
{顾客抽奖1次能获奖}
由题意，与相互独立，与互斥，与互斥，且

因为，所以

故所求概率为

（Ⅱ）顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由（Ⅰ）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以
于是
，
，
，

故的分布列为

0
1
2
3

的数学期望为

19.解法一：
由题设知，两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图b所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为
，其中。
（Ⅰ）若是的中点，则，
又，
于是，
所以，即
（Ⅱ）由题设知，是平面内的两个不共线向量。
设是平面的一个法向量，
则即
取，得。又平面的一个法向量是，所以

而二面角的余弦值为，因此，
解得，或（舍去），此时
设，而，由此得点，
所以
因为平面，且平面的一个法向量是，
所以，即，亦即，从而
于是，将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高
故四面体的体积

解法二：
（Ⅰ）如图C，取的中点，连结。
因为是梯形的两腰，是的中点，所以，
于是由知，，所以四点共面
由题设知，，所以平面，因此
①

因为，所以，因此

于是
再由①即知平面
又平面，故
（Ⅱ）如图，过点作交于点，则
平面 ②
因为平面，所以平面
过点作于点，连结，则，
为二面角的平面角，所以，即，从而
③
连结，由平面及②知，平面平面，所以
又是正方形，所以为矩形，故
设，则
④
过点作交于点，则为矩形，
所以，，
因此，于是，所以
再由③，④得，解得，因此
故四面体的体积

20.解：
（Ⅰ）由知其焦点的坐标为，因为也是椭圆的一个焦点，所以
①
又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为，所以
②
联立①②得，故的方程为

（Ⅱ）如图，设

（ⅰ）因与同向，且，所以，从而，即，于是
③
设直线的斜率为，则的方程为
由得，而是这个方程的两根，所以
④
由得，而是这个方程的两根，所以
⑤
将④⑤代入③，得，即
，
所以，解得，即直线的斜率为
（ⅱ）由得，所以在点处的切线方程为，即

令得，即，所以，而，于是
，
因此是锐角，从而是钝角。
故直线绕点旋转时，总是钝角三角形
21.证明：
（Ⅰ）

其中
令，由得，即
对，若，即，则；
若，即，则
因此，在区间与上，的符号总相反，于是
当时，取得极值，所以

此时，，易知，而

是常数，故数列是首项为，公比为的等比数列。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，于是对一切恒成立，即
恒成立，等价于
（*）
恒成立（因为）
设，则。令得
当时，，所以在区间（0,1）上单调递减；
当时，，所以在区间上单调递增。
从而当时，函数取得最小值
因此，要使（*）式恒成立，只需，即只需
而当时，由且知，，于是
，且当时，。
因此对一切，所以
故（*）式恒成立。
综上所述，若，则对一切恒成立。个人工作业务总结
本人于2009年7月进入新疆中正鑫磊地矿技术服务有限公司(前身为“西安中正矿业信息咨询有限公司”)，主要从事测量技术工作，至今已有三年。
在这宝贵的三年时间里，我边工作、边学习测绘相专业书籍，遇到不懂得问题积极的请教工程师们，在他们耐心的教授和指导下，我的专业知识水平得到了很到的提高，并在实地测量工作中加以运用、总结，不断的提高自己的专业技术水平。同时积极的参与技术培训学习，加速自身知识的不断更新和自身素质的提高。努力使自己成为一名合格的测绘技术人员。
在这三年中，在公司各领导及同事的帮助带领下，按照岗位职责要求和行为规范，努力做好本职工作，认真完成了领导所交给的各项工作，在思想觉悟及工作能力方面有了很大的提高。
在思想上积极向上，能够认真贯彻党的基本方针政策，积极学习政治理论，坚持四项基本原则，遵纪守法，爱岗敬业，具有强烈的责任感和事业心。积极主动学习专业知识，工作态度端正，认真负责，具有良好的思想政治素质、思想品质和职业道德。
在工作态度方面，勤奋敬业，热爱本职工作，能够正确认真的对待每一项工作，能够主动寻找自己的不足并及时学习补充，始终保持严谨认真的工作态度和一丝不苟的工作作风。
在公司领导的关怀以及同事们的支持和帮助下，我迅速的完成了职业角色的转变。
一、回顾这四年来的职业生涯，我主要做了以下工作：
1、参与了新疆库车县新疆库车县胡同布拉克石灰岩矿的野外测绘和放线工作、点之记的编写工作、1:2000地形地质图修测、1:1000勘探剖面测量、测绘内业资料的编写工作，提交成果《新疆库车县胡同布拉克石灰岩矿普查报告》已通过评审。
2、参与了库车县城北水厂建设项目用地压覆矿产资源评估项目的室内地质资料编写工作，提交成果为《库车县城北水厂建设项目用地压覆矿产资源评估报告》，现已通过评审。
3、参与了《新疆库车县巴西克其克盐矿普查》项目的野外地质勘查工作，参与项目包括：1:2000地质测图、1:1000勘查线剖面测量、测绘内业资料的编写工作；最终提交的《新疆库车县康村盐矿普查报告》已通过评审。
4、参与了新疆哈密市南坡子泉金矿2009年度矿山储量监测工作，项目包括：野外地质测量与室内地质资料的编写，提交成果为《新疆哈密市南坡子泉金矿2009年度矿山储量年报》，现已通过评审。
6、参与了《新疆博乐市五台石灰岩矿9号矿区勘探》项目的野外地质勘查工作，项目包括：1:2000地质测图、1:1000勘探剖面测量、测绘内业资料的编写工作，并绘制相应图件。
7、参与了《新疆博乐市托特克斜花岗岩矿详查报告》项目的野外地质勘查工作，项目包括：1:2000地质测图、1:1000勘探剖面测量、测绘内业资料的编写工作，并绘制相应图件。
通过以上的这些工作，我学习并具备了以下工作能力：
1、通过实习，对测绘这门学科的研究内容及实际意义有了系统的认识。加深对测量学基本理论的理解，能够用有关理论指导作业实践，做到理论与实践相统一，提高分析问题、解决问题的能力，从而对测量学的基本内容得到一次实际应用，使所学知识进一步巩固、深化。
2、熟悉了三、四等控制测量的作业程序及施测方法，并掌握了全站仪、静态GPS、RTK等测量仪器的工作原理和操作方法。
3、掌握了GPS控制测量内业解算软件（南方测绘 Gps数据处理）以及内业成图软件（南方cass）的操作应用。能够将外业测量的数据导入软件进行地形图成图和处理。
4、在项目技术负责的指导下熟悉了测量技术总结的编写要求和方法，并参与了部分项目测量技术总结章节的编写工作。
5、在项目负责的领导下参与整个测量项目的组织运作，对项目的实施过程有了深刻理解。通过在项目组的实习锻炼了自己的组织协调能力，为以后的工作打下了坚实基础。
二、工作中尚存在的问题
从事测绘工作以来，深深感受到工作的繁忙、责任的重大，也因此没能全方位地进行系统地学习实践，主要表现为没有足够的经验，对于地形复杂的地段理解不够深刻；理论知识掌握不够系统，实践能力尚为有限。以上问题，在今后工作中自己将努力做到更好。
三、今后的工作打算
通过总结四年来的工作，我无论从工作技术上，还是从世界观、人生观、价值观等各个方面，都有了很大的提高。今后，我会在此基础上，刻苦钻研，再接再厉，使自己在业务知识水平更上一层楼，为测绘事业的发展，贡献自己的力量。