2025届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期开学考-数学试题（含答案）.docx

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{
#{QQABIQaUogCgAIJAABgCUQGaCAKQkAGAAagGwBAIMAABwRNABAA=}#}

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雅礼中学 2025 届高三上学期入学考试试卷
数 学
时量：120 分钟 分值：150 分
一 选择题：本题共 小题，每小题 分，共40 分 在每小题给出的四个选项
､
8
5
.
中，只有一项是符合题目要求的.
{
- 2x - 4 £ 0}，则AI N = （ ）
A = x x2
1、 已知集合
A．{0}
B．{0,1}
C．{0,1, 2}
D．{1, 2}
【
【
答案】C
分析】先确定集合A ，再求交集AIN.
【详解】根据题意，A = {x x2
- £ }= { -
2 2}，所以AI N = {0,1, 2}.
-
2x 4
0
x
2
£
x
£
故选：C
2、 已知圆锥的底面半径为 2 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
6
2 6
3
4 6
3
8 6
3
A．
π
B．
π
C．
π
D．
π
3
【
【
【
答案】B
分析】由侧面展开图求得母线长后求得圆锥的高，再由体积公式计算．
详解】设圆锥母线长为l ，高为h ，底面半径为r = 2 ，
则由2π´ 2 = πl ，得l = 2 2 ，所以h =
2
- r
2
=
6 ，
l
1
3
1
3
2 6
3
2
所以V
=
πr
2
h
=
π´
2
´
6
=
π ．故选：B．
、 （暑假作业原题）若正数x，y 满足 x² - xy + 2 = 0，则x + y 的最小值是（ ）
3
A．2 2
B．2 3
C．4
D．6
【
【
答案】C
分析】根据已知条件及基本不等式即可求解.
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{
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2
【
详解】由题设及x² - xy + 2 = 0 ，可得 y = x +
.
x
2
æ
è
1 ö
所以x + y = x + x + = 2ç x + ÷ ³ 4 x× = 4 ，
x ø
1
x
x
1
当且仅当x = ，即x =1时，等号成立，此时y = 3 > 0 符合题意.
x
所以x + y 的最小值为4.
故选：C.
x
2
y
2
4
、 过椭圆C :
+
=1的中心作直线l 交椭圆于P,Q 两点，F 是C 的一个焦点，则
1
6
9
△PFQ 周长的最小值为（ ）
A．16
B．14
C．12
D．10
【
【
答案】B
分析】利用椭圆的定义和对称性，转化△PFQ 的周长，即可求解.
【
详解】设C 的另一个焦点为F¢，根据椭圆的对称性知
PF = QF¢ ，
PF + QF + PQ = QF¢ + QF + PQ = 8+ PQ
所以△PFQ 的周长为
，
当线段PQ 为椭圆短轴时，
PQ 有最小值6，所以△PFQ 的周长的最小值为14.
故选：B
、 已知圆C 的方程为x2 + (y - 2)2 = a ，则“a > 2 ”是“函数y = x 的图象与圆C 有四个公
5
共点”的（ ）
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【
答案】B
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{
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【
详解】由圆C 的方程为x2 + (y - 2)2 = a 可得圆心(0, 2)，半径r
=
a ，
2
-0
若圆与函数y = x 相交，则圆心到直线y = x 的距离d
=
=
2
<
a ，即a > 2 ，
2
若函数y = x
的图象与圆C 有四个公共点，则原点在圆的外部，
即02 + (0 - 2)2 > a ，解得a < 4 ，
综上函数y = x
的图象与圆C 有四个公共点则2
<
a
<
4 ，
所以“ a > 2 ”是“函数y = x
”
的图象与圆C 有四个公共点 的必要不充分条件，故选：B
6
、 （暑假作业原题）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行
但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻
璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向
¼
右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为0，1，2， ，10，
用X 表示小球最后落入格子的号码，若
= ，则
P(X k)„P(X k )
=
k0
=
(
)
0
A．4
B．5
C．6
D．7
【
分析】小球在下落过程中，共10 次等可能向左或向右落下，则小球落入格子的号码X 服
1
1
从二项分布，且落入格子的号码即向右次数，即X ~ B(10, ) ，则P(X = k) = Ck ( )10 (k = 0 ，
1
0
2
2
1
， ，10) ，然后由二项式系数对称性即可得解．
...
2
【
解答】解：小球在下落过程中，共10 次等可能向左或向右落下，
则小球落入格子的号码X 服从二项分布，
且落入格子的号码即向右次数，即X ~ B(10, ) ，
1
2
1
1
1
所以P(X = k) = Ck ( )k (1- )10-k = Ck ( )10 (k = 0 ，1，2...，10) ，
1
0
10
2
2
2
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{
#{QQABIQaUogCgAIJAABgCUQGaCAKQkAGAAagGwBAIMAABwRNABAA=}#}

C
k
10
=
由二项式系数对称性知，当k = 5 时， 最大，故k 5．
0
故选：B ．
点评】本题考查了二项分布及二项式系数的性质的应用，属于中档题．
【
7
、 （教材原题）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是(
A．70 B．64 C．60
分析】从 8 个顶点中选 4 个，共有C8 种结果，在这些结果中，有四点共面的情况，6 个
)
D．58
【
4
表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面，用所有的结果减去不合题意的结果，
得到结论．
【
解答】解：首先从8 个顶点中选4 个，共有C8
种结果，
4
在这些结果中，有四点共面的情况，6 个表面有 6 个四点共面，6 个对角面有 6 个四点共面，
满足条件的结果有C8 - 6 - 6 = C8 -12 = 58 ．
故选：D ．
\
4
4
【
点评】本题是一个排列问题同立体几何问题结合的题目，是一个综合题，这种问题实际
上是以排列为载体考查正方体的结构特征．
8
、 （暑假作业原题）已知定义域为R 的函数
=1，则
f (x) ，其导函数为 f ¢(x) ，且满足
f ¢(x) - 2 f (x) < 0 ， f (0)
(
)
A．e
2
f (-1)<1
B．
f (1)> e2
C． f ( )
1
D． f (1) ef ( )
1
>
e
<
2
2
f (x)
e2x
【
分析】构造函数g(x) =
，由 f ¢(x) - 2 f (x) < 0 得g¢(x) < 0 ，进而判断函数g(x) 的单调
性，判断各选项不等式．
f ¢(x) ×e2x - 2 f (x)e2x
f ¢(x) - 2 f (x) ，
f (x)
e2x
【
解答】解：g(x) =
，则g¢(x) =
=
(e2x )2
e2x
因为 f ¢(x) - 2 f (x) < 0 在R 上恒成立，
所以g¢(x) < 0 在R 上恒成立，故g(x) 在R 上单调递减，
f (-1)
e-2
f (0)
e0
所以g(-1) > g(0),
= e2 f (-1) >
= 1，故A 不正确；
f (1) f (0)
2
2
<
e f (0) e
=
所以g （1）< g(0) ，即
<
，即 f （1）
，故B 不正确；
e2
e0
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{
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1
f ( )
1
f (0)
1
2
g( ) < g(0) ，即
<
>
=
1 ，即 f ( ) e ，故C 不正确；
<
2
e
1
e
0
2
1
f ( )
1
f (1)
1
2
g( ) > g(1) ，即
，即 f (1) ef ( ) ，故D 正确．
<
2
e
1
e
2
2
故选：D ．
【
点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数思想，属中档题．
､
二 选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分 在每小题给出的选项中，有
3
6
18
.
多项符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9
、 已知复数z , z ，下列说法正确的是（ ）
1
2
A．若 z = z ，则z2 = z2
2
B． z z = z z
2
1
2
1
1
2
1
C． z - z £ z + z
D． z + z £ z + z
2
1
2
1
2
1
2
1
【
【
答案】BCD
分析】举出反例即可判断A；根据复数的乘法运算及复数的模的公式即可判断B；根据
复数加减法的几何意义及坐标表示即可判断CD.
z =1+ 2i, z = 2 +i
z = z
1 2
【
详解】对于A，设
，显然
，
1
2
但z12 = -3+ 4i ¹ z2
2
= 3+ 4i ，故A 错；
z = a + bi, z = c + di
对于B，设
，
1
2
z z = ac -bd + ad + bc i
(
) ，
bc)
= a2c2 + a2d
，故B 对；
则
1
2
=
(ac -bd
)
2
+ (ad
+
2
=
a2c2 a2d b2c2 d2d
+
2
+
+
2
，
z z
1
2
z z =
a
2
+ b2 × c2 + d
2
2
+b2c2 + d
2
d
2
，
1
2
z z = z z
所以
1
2
1
2
u
uuur
对于CD，根据复数的几何意义可知，复数 在复平面内对应向量
z
OZ
，
1
1
u
uuur
z
OZ
复数 对应向量
，复数加减法对应向量加减法，
2
2
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{
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u
uuur uuuur
z - z
1
z + z
1
故
和
分别为
OZ
和OZ2 为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度，
2
2
1
z - z £ z + z
z + z £ z + z
2
所以
，
，故 对， 对
C
D
.
1
2
1
2
1
2
1
故选：BCD.
1
æ
è
π
π ö
2 ø
0、已知函数 f (x)= 2 sin(wx +j)ç0 < w £ 2,- < j < ÷ ，函数 ( )
g x = f x +
( ) 的部
1
2
2
分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
p ö
y
æ
A． f (x)的表达式可以写成 f (x)= 2 sin ç2x -
÷
è
4 ø
2
2+1
2
3π
B． f (x)的图象向右平移 个单位长度后得到的新函数是奇函数
8
æ
π
8
kπ ö
1
h x = f x +1
C． ( )
( ) 的对称中心è
ç- + ,1÷ ，kÎ
Z
2
2
ø
x
O
3
π
8
æ
è
5π 13π ö
D．若方程 f (x)=1在(0,m)上有且只有6 个根，则mÎç
,
÷
2
4 ø
【
【
答案】AB
æ
3p ö
1
1
f 0 = -1 f ç ÷ = 2
( )
详解】对A，由图分析可知： f (0)+ = - 得
； ç
÷
2
2
è 8 ø
2
由 f (0)= -1
，得
2 sinj = -1，即sinj = -
，
2
π
π
π
æ3p ö
è 8 ø
æ3pw p ö
÷ = 2
又- 2
< j < ，所以j = - ，又 ç
f ç ÷ = 2 sinç
，
-
÷
ç
÷
2
4
è 8
4 ø
所以3pw
π
4
p
16
-
= 2kπ+ ，即得w = k + 2，kÎ Z，又0 < w £ 2，所以w = 2 ，
8
2
3
æ
è
π ö
f (x) = 2 sin ç2x -
所以
÷，故A 正确；
4 ø
3
π
对B， ( )向右平移 个单位后得
f x
8
æ
è
3π ö
8 ø
é æ
ë è
3π ö πù
8 ø 4 û
y = f ç x - ÷ = 2 sin ê2ç x - ÷ - ú = 2sin(2x - π) = - 2sin2x ，为奇函数，故B 正确；
æ
è
π ö
4 ø
h(x) = 2sinç2x - ÷ +1
对于C，
，
π
π
kπ
令2x - = kπ k ÎZ
(
)得
x =
+
(k ÎZ)，
4
8
2
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{
#{QQABIQaUogCgAIJAABgCUQGaCAKQkAGAAagGwBAIMAABwRNABAA=}#}

æ
è
π
8
kπ ö
+
,1÷ ，kÎ Z，故C 不正确；
所以对称中心
ç
2
ø
æ
è
π ö
4 ø
2
对于D，由 f (x)=1，得
，
，
sinç2x - ÷ =
2
π
4
æ
è
π
π ö
因为xÎ(0,m)
，所以2x -
Îç- ,2m -
÷
4
4 ø
令2m - π π 3π 9π 11π 17π 19π
，解得m =
π π 5π 3π 9π 5π
=
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
4
4 4
4
4
4
4
4 2 4
π π 5π 3π 9π 5π
2
4
2
又在(0,m)上有6 个根，则根从小到大为
，
,
,
,
,
,
4
2 4
2
4
2
再令2m - π 25π
，解得m =
13π
4
，则第7 个根为
13π
4
，mÎç
æ 5π 13πù
ú ，故D 错误．
è 2 4 û
=
,
4
4
故选：ABC.
1、如图，过点C(a ，0)(a > 0) 的直线AB 交抛物线
y
2
= 2px(p > 0) 于A ，B 两点，连接
1
AO 、BO ，并延长，分别交直线x = -a 于M ，N 两点，则下列结论中一定成立的有
(
)
A．BM / /AN
B．以AB 为直径的圆与直线x = -a 相切
C．SDAOB = SDMON
D．SD
2
= 4SDANC × SDBCM
MCN
【
分析】设出直线与抛物线联立，利用韦达定理及斜率公式，结合三角形的面积公式及直
线与圆的位置关系的判断方法即可求解．
【
解答】解：对于A ，令直线AB : x = my + a ，A(x ，y ) ，B(x ，y ) ，
1
1
2
2
ì
x = my + a
联立í
，消x 可得y2 - 2pmy - 2pa = 0 ，
y
2
= 2px
î
则△= (2pm)2 + 8pa > 0 ，y y = -2pa ，y + y = 2pm ，
1
2
1
2
则x + x = m(y + y ) + 2a = 2pm2 + 2a ，
1
2
1
2
y1
x1
y1
x1
ay1
x1
则kOA
=
,则直线OA: y = x ，\ M (-a ,-
) ，
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{
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ay1
x1
2pa
y2 +
y2 +
y1
y y + 2pa
y1 (x2 + a)
1
2
故kBM
=
=
=
= 0 ，
x2
+
a
x2
+
a
同理kAN = 0 ，\BM / /AN ，故A 正确；
x1 + x2 y1 + y
2
对于B ，如图，设AB 中点Q(
,
) ，即Q(pm2 + a ，-pa) ，
2
2
则Q 到直线x = -a 的距离d = pm2 + 2a ，
以AB 为直径的圆的半径| AB |
=
1
2
1+ m2 | y - y |=
p
m
+ p2m2 + 2pam2 + 2pa ，
2
4
2
1
2
|
AB |2
所以d
2
-
= (p + 2a)(2a - p)m2
，
4
p
p
当a = 时相切，当a ¹ 时不相切，故B 错误；
2
2
对于C ，设x = -a 与x 轴交于P ，SDPON = SDAOC ，SDMOP = SDBOC ，
则SDPON + SDMOP = SDAOC + SDBOC ，则SDAOB = SDMON ，故C 正确；
1
2
1
对于D ，SDANC
=
(x + a)y ,S
= - (x + a)y ，
DBCM
1
1
2
2
2
1
1
则SDANC × SDBCM = - (x + a)(x + a)y y = - (my + 2a)(my + 2a)y y
2
4
1
2
1
2
4
1
2
1
1
=
=
- [m2 y y + 2am(y + y ) + 4a2 ]y1 y2
4
1
1
2
1
2
- [m2 (-2pa) + 2am(2pm) + 4a2 ](-2pa) = pa2 (pm2 + 2a) ，
4
1
2
而SDMCN = SDMPC + SDNPC
=
× 2a | y - y |= a | y - y | ，
1
2
1
2
所以SD
2
= a2 (y - y )2 = a2[(y + y )2 - 4y y ] = 4pa2 (pm2 + 2a) = 4SDANC × SDBCM ，故D 正确．
MCN
1
2
1
2
1
2
故选：ACD ．
【
点评】本题考查了已知两点求斜率，由斜率判断两条直线平行，判断直线与圆的位置关
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系，根据韦达定理求参数，属于中档题．
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
1
2、已知随机变量X 服从正态分布N (5,s 2 )，若P(5 < X £ 6) = 0.27 ，则P(X < 4) =
.
2
3
【
【
【
答案】0.23/1
00
分析】根据正态分布的概率性质求解即可.
详解】随机变量X 服从正态分布 (
N 5,s 2
)，则P(X £ 5) = 0.5
又P(5 < X £ 6) = 0.27 ，则P(4 < X £ 5) = 0.27 ，则P(X < 4) = P(X £ 5) - P(4 < X £ 5) = 0.23 .
故答案为: 0.23.
r
r
r
1
3、已知向量a = (sinq,cosq )，b = (3,1)，若a b ，则sin2 q + sin 2q 的值为
.
∥
3
2
【
【
答案】
sin2 q + 2sinq cosq
分析】根据题目条件可得sinq = 3cosq ，代入sin2 q + sin 2q =
化简即
sin2 q + cos2 q
可.
r
r
【
详解】已知向量a = (sinq,cosq )，b = (3,1)，若a∥b ，则有sinq = 3cosq ，
sin2 q + 2sinq cosq 9cos2 q + 6 cos2 q 15
3
2
∴sin2 q + sin 2q =
=
=
=
.
sin2 q + cos2 q
9 cos2 q + cos2 q
10
3
故答案为：
2
1
4、设k＞0 ，若存在正实数x，使得不等式log4 x -k ×2kx-1 ³ 0成立，则k 的最大值
为
.
1
【
答案】
eln 2
【分析】由题意可得log2k (x)…(2k )x ，可令2k = a ，则loga x…ax 成立，由y = ax 和y=loga x互
为反函数，可得图象关于直线y = x 对称，可得x
loga x 有解，通过取对数和构造函数
=
a
x
=
法，求得导数，单调性和最值，即可得到k 的最大值．
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1
1
【
详解】不等式log4 x - kg2kx-1…0 ，所以 log2 x - kg2kx…0 ，
2
2
1
即为 log2 x…2kx ，即有log2k (x)…(2k )x ，可令2k = a ，则loga x…ax 成立，
k
由y = ax 和y=loga x互为反函数，可得图象关于直线y = x 对称，
lnx
可得x = ax = log x 有解，则lnx = xlna ，即lna = ，
a
x
lnx
可得y = ，导数为y¢ =
1- lnx
x2
，
x
可得 > 时，函数 递减，
x
e
y
0 < x < e
时，函数 递增，
y
lnx
1
则
x = e 时，y =
取得最大值 ，
x
e
1
1
1
1
可得即有lna„ ，所以ln2k „ ，可得k„
，即k 的最大值为
．【点睛】关键点睛：
e
e
eln 2
eln 2
解答本题有两个关键，其一，是得到有log2k (x)…(2k )x ，想到令2k = a 换元，则loga x…ax 成
lnx
立，；其二，通过转化得到lna = 有解，再利用导数解答.
x
､
四 解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步
､
骤.
1
5、（13 分）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，
四边形ABCD的顶点在同一平面上，已知AB = BC = CD = 2, AD = 2 3 ．
(1)当BD 长度变化时， 3cosA- cosC 是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，
说明理由．
(2)记△ABD与△BCD的面积分别为S 和S ，请求出S
1
2
+ S2 的最大值．
2
1
2
【
答案】(1) 3cosA- cosC 为定值，定值为1 (2)14
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{
#{QQABIQaUogCgAIJAABgCUQGaCAKQkAGAAagGwBAIMAABwRNABAA=}#}

AD2 + AB2 - BD2
【详解】（1）法一：在△ABD中，由余弦定理cosA =
，
2
AD× AB
(2 3)2 +22 - BD2
16- BD2
得cosA =
，即 3cosA =
+ 22 - BD2
①，
2
´2 3´2
同理，在△BCD中，cosC =
①-②得 3cosA- cosC
=1，
所以当BD 长度变化时， 3cosA- cosC 为定值，定值为1；
法二：在△ABD中，由余弦定理BD2
得BD2 = (2 3)2 + 22 - 2´2 3 ´2´cosA，即BD2 =16 -8 3cosA ，
同理，在△BCD中，BD2
8
2
2
8- BD2
，即cosC =
②，
2
´2´2
8
=
AD2 AB2 2AD× ABcosA
+
-
=
CD2 CB2 2CD×CBcosC = 8-8cosC ，
+
-
所以16 -8 3cosA = 8-8cosC ，化简得 3cosA-1= cosC ，即 3cosA- cosC =1，
所以当BD 长度变化时， 3cosA- cosC 为定值，定值为1；
1
4
1
+ S2
2
=
AB2 × AD2 ×sin2 A+ BC ×CD2 ×sin2C
2
（2）
S
2
1
4
=
=
12sin2 A+ 4sin2C =12sin2 A+ 4 - 4cos2C
12sin2 A+ 4 - 4( 3cosA-1)2 = -2
4cos A 8 3cosA+12，
2
+
2
æ
ö
3
cosA = t,t Î -1,1
(
)，所以
y = -24t2 + 8 3t +12 = -24çt -
÷ +14
，
令
6 ø
è
3
3
所以t = ，即cosA = 时， S
2
1
+ S2 有最大值为14．
2
6
6
f x =
lx
-
4sin x + l -
2 的图象在x = 0 处的切线为
1
6、（15分）（暑假作业原题）函数 ( ) e
y=ax-a-3,aÎR.
1）求l 的值；
（
（
(0,+¥)上零点的个数.
2）求 f (x) 在
解析【小问1 详解】
f (x) = elx - 4sin x + l - 2, f (x) = lelx - 4 cos x ，
¢
因为
所以
f ¢(0) = l - 4 ，所以切线斜率为l - 4 ，即a = l - 4 ，
y = l - 4 x - l +1
(
)
所切线方程为
又
f (0) = l -1，所以切点坐标为(0,l -1) ，代入得
则l -1= -l +1，解得l =1.
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{
#{QQABIQaUogCgAIJAABgCUQGaCAKQkAGAAagGwBAIMAABwRNABAA=}#}

【
小问2 详解】
f (x) = ex - 4 sin x -1, f ¢(x) = ex - 4 cos x ，
由（1）得
令g (x)= f ¢(x) = ex - 4 cos x ，则g¢(x)= ex + 4sin x ，
f ¢(x) = ex - 4 cos x > 0恒成立，所以 f (x) 在[π,+¥)上递增，
当x ³ π 时，
f (x) ³ f (π) = eπ - 4 sin x -1³ eπ -5 > 0 ，
所以
因此 f (x) 在[π,+¥) 无零点；
g¢ x = ex + 4 sin x > 0 恒成立，所以 f ¢(x)单调递增，
当0 < x < π 时， ( )
(0) = -3 < 0, f (π) = eπ + 4 > 0 ，
f ¢ x
(0, π) 上存在唯一的零点x0 ，
¢
¢
f
又
所以 ( )在
x Î 0, x , f ¢(x) < 0, f (x)
(
)
当
单调递减；
0
当x Î (
)
¢
>
x , π , f (x) 0, f (x) 单调递增；
0
f (0) = 0, f x < f (0) = 0 f (π) = eπ -1> 0 ，
( )
又
，
0
因此 f (x) 在(0, π) 上仅有1 个零点；
综上， f (x) 在(0,+¥)上仅有1 个零点.
1
7、（15 分）如图，四面体ABCD中，AD ^ CD, AD = CD,ÐADB = ÐBDC ，E 为AC 的中
点．
(1)证明：平面BED ^平面ACD ；
(2)设AB = BD = 2,ÐACB = 60°，点F 在BD 上，当△AFC 的面积最小时，求CF 与平
面ABD 所成的角的正弦值．
【
详解】（1）因为AD = CD ，E 为AC 的中点，所以AC ^ DE ；
在△ABD和△CBD中，因为AD = CD,ÐADB = ÐCDB,DB = DB ，
所以△ABD≌△CBD ，所以AB = CB
，又因为 为AC 的中点，所以AC ^ BE ；
E
又因为DE, BE Ì 平面BED ，DE Ç BE = E ，所以AC ^平面BED ，
因为AC Ì 平面ACD ，所以平面BED ^平面ACD .
2）连接EF ，由（1）知，AC ^平面BED ，因为EF Ì 平面BED ，
（
1
所以AC ^ EF ，所以S△AFC = AC × EF ，
2
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{
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当EF ^ BD 时，EF 最小，即△AFC 的面积最小.
因为△ABD≌△CBD ，所以CB = AB = 2，
又因为ÐACB = 60°，所以VABC 是等边三角形，因为E 为AC 的中点，所以AE = EC =1，
1
BE = 3 ，因为AD ^ CD ，所以DE = AC =1,
2
在VDEB 中，DE2 + BE2 = BD2 ，所以BE ^ DE .
以E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E - xyz ，
则 (
) (
) (
)，所以
A 1,0,0 , B 0, 3,0 , D 0,0,1
u
uur
uuur
(-
)
= (-1, 3,0)，
AD
=
1, 0,1 , AB
r
设平面ABD 的一个法向量为n = (x, y, z)，
uuuv
ïn × AD = -x + z = 0
则ív uuuv
în × AB = -x + 3y = 0
v
ì
，取y = 3 ，则
ï
r
n
=
(3, 3,3)，
æ
3 3 ö
, ÷
÷，所以
uuur
æ
ö
3
3
又因为C (-1,0,0 , F ç0,
)
CF = ç1,
, ÷
÷ ，
ç
ç
4
4 ø
4
4 ø
è
è
r
uuur
r
uuur
n×CF
6
4 3
cos n,CF = r uuur =
=
所以
7
4
7 ，
n CF
2
1´
æ
è
p ö
2 ø
设CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为q ç0 £q £
，
÷
r
uuur
4 3
7
，所以CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为4
3
所以sinq = cos n,CF =
.
7
x
2
2
y
2
2
3
=1(a > 0,b > 0)的渐近线方程为y = ±
1
8、（17 分）已知双曲线C ：
-
x ，过点
a
b
2
(4,0
)
l
M
N
l ^ x 轴时，
= 6 .
的直线 交双曲线 于 ， 两点，且当
(1)求C 的方程；
(2)记双曲线C 的左右顶点分别为A ，A ，直线A M ，A N 的斜率分别为k ，k ，求
C
MN
1
2
1
2
1
2
k1
k2
的值.
(3)探究圆E ：x2 + y2 -4x -4y -1= 0上是否存在点S ，使得过S 作双曲线的两条切线
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l1 ，l2 互相垂直.
1
x
2
y
2
【
答案】(1)
-
=1； (2) ； (3)存在.
-
4
3
3
ì
ï
b
a
16
3
=
ï
ìïa =
2
2
9
【
详解】（1）由对称性知，双曲线C 过点(4, 3) ，则í
，解得í
，
ï
ï
-
=1
ï
îa2
b
2
x
2
y
2
所以双曲线C 的方程为
-
=1.
4
3
A (-2,0), A (2, 0)
M (x , y ), N (x , y )
（2）由（1）得
，设
，
1
2
1
1
2
2
显然直线MN 不垂直于y 轴，设直线MN 的方程为x = my + 4 ，
ì
x = my + 4
由í
消去x 得(3m2 -4)y2 + 24my +36 = 0 ，
3x2 - 4y2 =12
î
-
24m
36
显然3m2 -4 ¹ 0,D =144(m2 + 4) > 0，y + y =
, y y =
，
1
2
3m2
-
1
2
3m2
-
4
4
2
m
3
则y + y = -
y y ，即my y = - (y + y )，
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
y1
+
y2
x2 - 2
- 3 (
+
)+
)
y1
y2
2y1
(
- )
y my
+ ) my y + 2y
(
k
x1
2
y x
(x + ) y
1
2
2
1
1
=
=
1
2
=
1
2
=
1
2
1
=
2
= - .
所以k
2
y (my + ) my y + 6y
6
3
3 (
-
y1 + y
2
+ 6y2
2