2016届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结材料)：变化率与导数、导数地计算.pdf

实用文档文案大全第十一节变化率与导数、导数的计算备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解导数概念的实际背景2.理解导数的几何意义3.能根据导数定义求函数yc(c为常数)，yx，yx2，yx3，y 的导数1x4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.1.对于导数的几何意义，高考要求较高，主要以选择题或填空题的形式考查曲线在某点处的切线问题，如 2012 年广东 T12，辽宁 T12 等2.导数的基本运算多涉及三次函数、指数函数与对数函数、三角函数等，主要考查对基本初等函数的导数及求导法则的正确利用.归纳知识整合1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作lim x0fx0 xfx0 xlim x0yxf(x0)或y|xx0，即f(x0).lim x0yxlim x0fx0 xfx0 x(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)实用文档文案大全(3)函数f(x)的导函数：称函数f(x)为f(x)的导函数lim x0fxxfxx探究1.f(x)与f(x0)有何区别与联系？提示：f(x)是一个函数，f(x0)是常数，f(x0)是函数f(x)在x0处的函数值2曲线yf(x)在点P0(x0，y0)处的切线与过点，y0)的切线，两种说法有区别P0 x0吗？提示：(1)曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为kf(x0)的切线，是唯一的一条切线(2)曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条3过圆上一点P的切线与圆只有公共点P，过函数yf(x)图象上一点P的切线与图象也只有公共点P吗？提示：不一定，它们可能有 2 个或 3 个或无数多个公共点2几种常见函数的导数原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ Q*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)1xln af(x)ln xf(x)1x3导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)fxgxfxgxfxgxgx24复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积实用文档文案大全自测牛刀小试1(教材习题改编)f(x)是函数f(x)x32x1 的导函数，则f(1)的值为()13A0B3C4 D73解析：选 Bf(x)x32x1，f(x)x22.13f(1)3.2曲线y2xx3在x1 处的切线方程为()Axy20 Bxy20Cxy20 Dxy20解析：选 Af(x)2xx3，f(x)23x2.f(1)231.又f(1)211，切线方程为y1(x1)，即xy20.3yx2cos x的导数是()Ay2xcos xx2sin xBy2xcos xx2sin xCy2xcos xDyx2sin x解析：选 By2xcos xx2sin x.4(教材习题改编)曲线y在点M(，0)处的切线方程是_sin xx解析：f(x)，f(x)，sin xxxcos xsin xx2f().21切线方程为y(x)，即xy0.1答案：xy05(教材习题改编)如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)_.实用文档文案大全解析：由题意知f(5)1，f(5)583，f(5)f(5)312.答案：2导数的计算例 1求下列函数的导数(1)y(1)；x(11x)(2)y；ln xx(3)ytan x；(4)y3xex2xe.自主解答(1)y(1)xx，x(11x)1xx1212y(x)(x)xx.121212321212(2)y(ln xx)ln xxxln xx2.1xxln xx21ln xx2(3)y(sin xcos x)sin xcos xsin xcos xcos2x.cos xcos xsin xsin xcos2x1cos2x(4)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3x(ln 3)ex3xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.实用文档文案大全若将本例(3)中“tan x”改为“sin”如何求解？x2(12cos2x4)解：ysin sin cos sin xx2(12cos2x4)x2x212y cos x 12求函数的导数的方法(1)求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式，然后进行求导，这样可以避免使用商的求导法则，减少运算量1求下列函数的导数(1)y；(2)y(x1)(x2)(x3)；xx5sin xx2(3)y；(4)y.11x11xcos 2xsin xcos x解：(1)yxx3，x12x5sin xx232sin xx2y(x)(x3)(x2sin x)32x3x22x3sin xx2cos x.3252(2)y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.(3)y，11x11x21xy.(21x)21x1x221x2(4)ycos xsin x，cos 2xsin xcos xysin xcos x.实用文档文案大全例 2求下列复合函数的导数：(1)y(2x3)5；(2)y；3x(3)ysin2；(4)yln(2x5)(2x3)自主解答(1)设u2x3，则y(2x3)5由yu5与u2x3 复合而成，yf(u)u(x)(u5)(2x3)5u4210u410(2x3)4.(2)设u3x，则y由yu与u3x复合而成3x12yf(u)u(x)(u)(3x)12u(1)u12121212.123x3x2x6(3)设yu2，usin v，v2x，3则yxyuuvvx2ucos v24sincos(2x3)(2x3)2sin.(4x23)(4)设yln u，u2x5，则yxyuux，y(2x5).12x522x5复合函数求导应注意三点一要分清中间变量与复合关系；二是复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的任一环；三是必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其复合关系2求下列复合函数的导数：(1)y(1sin x)2；(2)yln；x21(3)y；(4)yx.113x41x2解：(1)y2(1sin x)(1sin x)实用文档文案大全2(1sin x)cos x.(2)y(ln)x21()1x21x21(x21)(x21)1x211212.xx21(3)设u13x，yu4.则yxyuux4u5(3).1213x5(4)y(x)1x2xx1x2(1x2).1x2x21x212x21x2导数的几何意义例 3(1)(2012辽宁高考)已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为 4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_(2)已知曲线yx3.1343求曲线在点P(2,4)处的切线方程；求斜率为 4 的曲线的切线方程自主解答(1)y，yx，x22y|x44，y|x22.点P的坐标为(4,8)，点Q的坐标为(2,2)，在点P处的切线方程为y84(x4)，即y4x8.在点Q处的切线方程为y22(x2)，即y2x2.解Error!Error!得A(1，4)，则A点的纵坐标为4.(2)P(2,4)在曲线yx3 上，1343实用文档文案大全且yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率ky|x24.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即 4xy40.设切点为(x0，y0)，则切线的斜率kx4，2 0 x02.切点为(2,4)或，(2，43)切线方程为y44(x2)或y 4(x2)，43即 4xy40 或 12x3y200.答案(1)4若将本例(2)中“在点P(2,4)”改为“过点P(2,4)”如何求解？解：设曲线yx3 与过点P(2,4)的切线相切于点A，1343(x0，13x3 043)则切线的斜率ky|xx0 x.2 0切线方程为yx(xx0)，(13x3 043)2 0即yxxx.2 023 3 043点P2，4在切线上，42xxf(4,3)，即x3x40.2 023 3 03 02 0 xx4x40.3 02 02 0 xx014x01x010.2 0 x01x0220.解得x01 或x02.故所求的切线方程为 4xy40 或xy20.1求曲线切线方程的步骤(1)求出函数yf(x)在点xx0处的导数，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率；(2)由点斜式方程求得切线方程为yy0f(x0)(xx0)2求曲线的切线方程需注意两点(1)当曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线实用文档文案大全方程为xx0；(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解3已知函数f(x)2(x1)，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线l分x1别交x轴和y轴于A，B两点，O为坐标原点(1)求x01 时，切线l的方程；(2)若P点为，求AOB的面积(23，233)解：(1)f(x)，则f(x0)，1x11x01则曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)的切线方程为yf(x0)(xx0)，1x01即y.xx01x02x01所以当x01 时，切线l的方程为xy30.2(2)当x0 时，y；x02x01当y0 时，xx02.SAOB，12|x02x01x02|x0222 x01SAOB.(232)22 231839导数几何意义的应用例 4已知a为常数，若曲线yax23xln x存在与直线xy10 垂直的切线，则实数a的取值范围是()A.B.12，)(，12C.D.1，)(，1自主解答由题意知曲线上存在某点的导数为 1，所以y2ax3 1 有正根，1x即 2ax22x10 有正根实用文档文案大全当a0 时，显然满足题意；当a0 时，需满足0，解得 a0.12综上，a.12答案A导数几何意义应用的三个方面导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k；(3)已知过某点M(x1，f(x1)(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0)，利用k求解fx1fx0 x1x04若函数f(x)sin(0)，且f(x)f(x)是奇函数，则(3x6)_.解析：f(x)sin，(3x6)f(x)cos.3(3x6)于是yf(x)f(x)sincos(3x6)3(3x6)2sin2sin(3x63)(3x2)2cos(x)，3由于yf(x)f(x)2cos(x)是奇函数，3k(kZ Z)又 0，.22答案：21 个区别“过某点”与“在某点”的区别曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点实用文档文案大全4 个防范导数运算及切线的理解应注意的问题(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆(2)利用导数公式求导数时，只要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错(3)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点(4)曲线未必在其切线的同侧，如曲线yx3在其过(0,0)点的切线y0 的两侧.易误警示导数几何意义应用的易误点典例(2013杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9154都相切，则a等于()A1 或B1 或2564214C 或 D 或 774256474解析设过(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，所以切线方程为3 0yx3x(xx0)，即y3x x2x，又(1,0)在切线上，则x00 或x0，3 02 02 03 032当x00 时，由y0 与yax2x9 相切可得a；1542564当x0 时，由yx与yax2x9 相切可得a1，所以选 A.32274274154答案A易误辨析1如果审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点，则易误选 B.2解决与导数的几何意义有关的问题时，应重点注意以下几点：(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；(2)基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证；(3)熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提变式训练实用文档文案大全1曲线y 在点M处的切线的斜率为()sin xsin xcos x12(4，0)A B.1212C D.2222解析：选 Bycos xsin xcos xcos xsin xsin xsin xcos x2，故yError!Error!.1sin xcos x2曲线在点M处的切线的斜率为.(4，0)122已知函数f(x)x3fx2x，则函数f(x)的图象在点处的切线方程(23)(23，f(23)是_解析：由f(x)x3fx2x，(23)可得f(x)3x22fx1，(23)f322f 1，(23)(23)(23)23解得f1，即f(x)x3x2x.(23)则f32，(23)(23)(23)232227故函数f(x)的图象在处的切线方程是(23，f(23)y，即 27x27y40.2227(x23)答案：27x27y40一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)1(2013永康模拟)函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能是()实用文档文案大全解析：选 D据函数的图象易知，x0，当x0 时，恒有f(x)f(3)(3)(3)(3)Cf0，(2，2)f(x)cos xx是上的增函数，注意到，于是有fx2.下面的不等式在 R R上恒成立的是()Af(x)0 Bf(x)x Df(x)0，排除 B、D 两项；令f(x)x2，则142x2 x4x2 x2，但x2 x对x 不成立，排除 C 项12(x214)121412二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)7已知f(x)x22xf(1)，则f(0)_.解析：f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2.f(x)2x4.f(0)4.答案：48已知函数yf(x)及其导函数yf(x)的图象如图所示，则曲线yf(x)在点P处的切线方程是_解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线yf(x)在点P处的切线的斜率kf(2)1，又过点P(2,0)，所以切线方程为xy20.答案：xy209若曲线f(x)ax5ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_解析：曲线f(x)ax5ln x存在垂直于y轴的切线，即f(x)0 有正实数解又f(x)5ax4，方程 5ax4 0 有正实数解1x1x5ax51 有正实数解a0.故实数a的取值范围是(，0)答案：(，0)三、解答题(本大题共 3 小题，每小题 12 分，共 36 分)10已知函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为x2y50，ax6x2b实用文档文案大全求yf(x)的解析式解：由已知得，12f(1)50，f(1)2，即切点为(1，2)又f(x)ax6x2bax6x2bx2b2，ax212xabx2b2Error!Error!解得Error!Error!f(x).2x6x2311如右图所示，已知A(1,2)为抛物线C：y2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：xa(a0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak1，其中2kkN N*.若a116，则a1a3a5的值是_解析：y2x，点(ak，a)处的切线方程为ya2ak(xak)又该切线与x2k2k轴的交点为(ak1,0)，ak1ak，即数列ak是等比数列，首项a116，其公比12q.a34，a51.a1a3a521.12答案：214设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4y120.bx(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0 和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值解：(1)方程 7x4y120 可化为yx3.74当x2 时，y.12又f(x)a，bx2于是Error!Error!解得Error!Error!故f(x)x.3x(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程3x2为yy0(xx0)，(13x2 0)即y(xx0)(x03x0)(13x2 0)令x0 得y，从而得切线与直线x0 的交点坐标为.6x0(0，6x0)令yx得yx2x0.从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为|2x0|6.12|6x0|故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为 6.实用文档文案大全