初中数学反比例函数知识点及经典例题.doc

反比例函数
一、基础知识
1. 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。还可以写成
2. 反比例函数解析式的特征：
⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.
⑵比例系数
⑶自变量的取值为一切非零实数。
⑷函数的取值是一切非零实数。
3. 反比例函数的图像
⑴图像的画法：描点法
① 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）
② 描点（有小到大的顺序）
③ 连线（从左到右光滑的曲线）
⑵反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或）。
⑷反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线 （）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。
4．反比例函数性质如下表：
的取值
图像所在象限
函数的增减性

一、三象限
在每个象限内，值随的增大而减小

二、四象限
在每个象限内，值随的增大而增大
5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）
6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。
7. 反比例函数的应用
二、例题
【例1】如果函数的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？
【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数，（）即（）又在第二，四象限内，则可以求出的值
【答案】由反比例函数的定义，得：
解得

时函数为
【例2】在反比例函数的图像上有三点，，，，， 。若则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。
解法一：由题意得，，
，所以选A
解法二：用图像法，在直角坐标系中作出的图像
描出三个点，满足观察图像直接得到选A
解法三：用特殊值法

【例3】如果一次函数相交于点（），那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ）
【解析】

【例4】 如图，在中，点是直线与双曲线在第一象限的交点，且，则的值是_____.
图
解:因为直线与双曲线过点,设点的坐标为.
则有.所以.
又点在第一象限,所以.
所以.而已知.
所以.
三、练习题
1.反比例函数的图像位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限

2.若与成反比例，与成正比例，则是的（ ）
A、正比例函数　　 B、反比例函数　　 C、一次函数　　D、不能确定
3.如果矩形的面积为6cm2，那么它的长cm与宽cm之间的函数图象大致为（ ）
o
y
x
y
x
o
y
x
o
y
x
o
A B C D

4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，
气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m3 )
的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）

A、不小于m3 B、小于m3 C、不小于m3 D、小于m3

5．如图 ，A、C是函数的图象上的任意两点，过A作轴的垂线，垂足为B，过C作y轴的垂线，垂足为D，记RtΔAOB的面积为S1，RtΔCOD的面积为S2则 （ ）
A． S1 ＞S2 B． S1 <S2
C． S1=S2 D． S1与S2的大小关系不能确定
6．关于x的一次函数y=-2x+m和反比例函数y=的图象都经过点A（-2，1）.
求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点B的坐标；
（3）△AOB的面积．

7. 如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与x轴交于点C．已知点A的坐标为（－2，1），点B的坐标为（，m）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．

8． 某蓄水池的排水管每小时排水8m3，6小时可将满池水全部排空．
（1）蓄水池的容积是多少？
（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m3），那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？
（3）写出t与Q的关系式．
（4）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？
（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？

.9.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元，在营销中发现，该衬衣的日销售量y（件）是日销售价x元的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每日可售出30件.
（1）请写出y关于x的函数关系式；
（2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？

10．如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于A(-2，1)、B(1，n)两点。

(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求△AOB的面积。

四、课后作业
1．对与反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点（）在它的图像上
B．它的图像在第一、三象限
C．当时，
D．当时，
2.已知反比例函数的图象经过点（1，-2），则这个函数的图象一定经过（　 ）
A、（2，1） B、（2，-1） C、（2，4） D、（-1，-2）
3．在同一直角坐标平面内，如果直线与双曲线没有交点，那么和的关系一定是（ ）
A. +=0 B. ·<0 C. ·>0 D.=
4. 反比例函数y＝的图象过点P（－1.5，2），则k＝________．
5. 点P（2m－3，1）在反比例函数y＝的图象上，则m＝__________．
6. 已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（－2，3）则m的值为__________．
7. 已知反比例函数的图象上两点，当时，有，则的取值范围是？

8.已知y与x-1成反比例，并且x＝-2时y＝7，求：
(1)求y和x之间的函数关系式； (2)当x=8时，求y的值；　
(3)y＝-2时，x的值。

9. 已知,且反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增大,如果点在双曲线上，求a是多少？