数学8下18.2特殊平行四边形判定练习(含答案).doc

特殊平行四边形判定练习试卷

一．解答题（共30小题）
1．（2016•镇江一模）如图，E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当∠BAC=　　　　　　° 时，四边形AECF是菱形．

2．（2016•徐闻县三模）如图，▱ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点．
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）若DE=AE，求证：四边形EBFD是菱形．

3．（2016•枣庄模拟）如图，在▱ABCD中，点E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE，BF，BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB=90°，求证：四边形BFDE为菱形．

4．（2016•沈阳）如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：
（1）∠CEB=∠CBE；
（2）四边形BCED是菱形．

5．（2016•南京二模）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点F是AC上一点，连结BF，DF．
（1）证明：△ABF≌△ADF；
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．

6．（2016•龙湖区一模）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E，F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．

7．（2016•广陵区二模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F在对角线AC上，且∠ABF=∠CDE，
AE=CF．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？

8．（2016•台山市一模）如图，在平行四边形ABCD中，BD的垂直平分线EF与AD交于点E，与BC交于点F，与BD交于点O．
（1）证明：OE=OF；
（2）证明：四边形BEDF是菱形．

9．（2016•黄冈模拟）已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的作直线EF⊥BD分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．求证：四边形BFDE为菱形．

10．（2016•西城区二模）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，BD=8．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点A作AH⊥BC于点H，求AH的长．

11．（2016•北京一模）如图，△ABC中，AD是BC边的中线，分别过点B，D作AD，AB的平行线交于点E，且ED交AC于点F，AD=2DF．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）若BD=6，∠E=60°，求四边形ABED的面积．

12．（2016春•长春校级期中）已知：如图，M为▱ABCD的AD边上的中点，且MB=MC，
求证：▱ABCD是矩形．

13．（2016•濠江区一模）如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．

14．（2016•长春模拟）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上．DF=BE．求证：四边形BEDF是矩形．

15．（2016•吉林）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．

16．（2016•聊城模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以AB、BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC．求证：四边形ADCE是矩形．

17．（2016•大悟县二模）在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE为矩形；
（2）若AE=3，BF=4，AF平分∠DAB，求BE的长．

18．（2016•山亭区模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：四边形ADBE是矩形．

19．（2016•滨湖区一模）如图，已知E、F为平行四边形ABCD的对角线上的两点，且BE=DF，∠AEC=90°．求证：四边形AECF为矩形．

20．（2016•大兴区一模）在▱ABCD中，过点D作对DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF=AE，连结AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形．
（2）若CF=6，BF=8，DF=10，求证：AF是∠DAB的角平分线．

21．（2016•朝阳区二模）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．
（1）求证：四边形ABCF是矩形；
（2）若ED=EC，求证：EA=EG．

22．（2016•南关区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，分别过点A、D作AE∥BC、DE∥AB，AE与DE相交于点E，连结CE．求证：四边形ADCE是矩形．

23．（2016•阳谷县一模）如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线交对角线AC于点M，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足分别是E，F．判定四边形EBFM的形状，并证明你的结论．

24．（2016•普宁市模拟）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分別在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2．
（1）已知DG=6，求AE的长；
（2）已知DG=2，求证：四边形EFGH为正方形．

25．（2015•闸北区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG．
（1）求证：AF=BF；
（2）如果AB=AC，求证：四边形AFCG是正方形．

26．（2015春•伊春校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E，F．求证：四边形DECF是正方形．

27．（2015春•南安市期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE是正方形．

28．（2014•江西模拟）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．

29．（2014•湖里区模拟）已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．

30．（2014春•海口期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：四边形CFDE是正方形．

特殊平行四边形判定练习试卷
参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题）
1．（2016•镇江一模）如图，E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当∠BAC=　90　° 时，四边形AECF是菱形．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D，
∵E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的中点，
∴BE=BC，DF=AD，
∴BE=DF．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）当∠BAC=90°时，四边形AECF是菱形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，E为BC中点，
∴AE=EC=BC，
∴四边形AECF是菱形，
故答案为：90．

2．（2016•徐闻县三模）如图，▱ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点．
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）若DE=AE，求证：四边形EBFD是菱形．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=BE=AB，DF=CD，
∴BE=DF．
∴四边形EBFD是平行四边形；
（2）证明：∵AE=BE，DE=AE，
∴BE=DE，
∴四边形EBFD是菱形．

3．（2016•枣庄模拟）如图，在▱ABCD中，点E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE，BF，BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB=90°，求证：四边形BFDE为菱形．

【解答】证明：（1）在▱ABCD中，AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴AE=AB，CF=DC，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）∵AB=CD，AE=CF，
∴BE=DF，
又AB∥CD，
∴BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵∠ADB=90°，
∴点E为边AB的中点，
∴DE=EB=AB，
∴四边形BFDE为菱形．

4．（2016•沈阳）如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：
（1）∠CEB=∠CBE；
（2）四边形BCED是菱形．

【解答】证明；（1）∵△ABC≌△ABD，
∴∠ABC=∠ABD，
∵CE∥BD，
∴∠CEB=∠DBE，
∴∠CEB=∠CBE．
（2））∵△ABC≌△ABD，
∴BC=BD，
∵∠CEB=∠CBE，
∴CE=CB，
∴CE=BD
∵CE∥BD，
∴四边形CEDB是平行四边形，
∵BC=BD，
∴四边形CEDB是菱形．

5．（2016•南京二模）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点F是AC上一点，连结BF，DF．
（1）证明：△ABF≌△ADF；
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．

【解答】（1）证明：在△ABC和△ADC中
∵，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABF和△ADF中
∵，
∴△ABF≌△ADF（SAS）；

（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∵∠BAF=∠ADC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=DC，
由（1）得：AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．

6．（2016•龙湖区一模）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E，F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．

【解答】证明：在△ADE和△CDF中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠AED=∠CFD=90°．
又∵DE=DF，
∴△ADE≌△CDF（AAS）
∴DA=DC，
∴平行四边形ABCD是菱形．

7．（2016•广陵区二模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F在对角线AC上，且∠ABF=∠CDE，
AE=CF．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？

【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA．
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE．
在△ABF和△CDE中，
，
又∵∠ABF=∠CDE，
∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2）解：当四边形ABCD满足AB=AD时，四边形BEDF是菱形．理由如下：
连接BD交AC于点O，如图所示：
由（1）得：△ABF≌△CDE，
∴AB=CD，BF=DE，∠AFB=∠CED，
∴BF∥DE．
∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
∴BD⊥AC．
∵BF=DE，BF∥DE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形．

8．（2016•台山市一模）如图，在平行四边形ABCD中，BD的垂直平分线EF与AD交于点E，与BC交于点F，与BD交于点O．
（1）证明：OE=OF；
（2）证明：四边形BEDF是菱形．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，AD∥BC，
∴∠EDB=∠FBD，
又∵∠EOD=∠FOB，
在△ODE与△OBF中，
，
∴△ODE≌△OBF，
∴OE=OF；
（2）∵EF⊥BD，
∴四边形EBFD的对角线垂直互相平分，
∴四边形EBFD是菱形．

9．（2016•黄冈模拟）已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的作直线EF⊥BD分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．求证：四边形BFDE为菱形．

【解答】证明：∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE为菱形．

10．（2016•西城区二模）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，BD=8．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点A作AH⊥BC于点H，求AH的长．

【解答】（1）证明：∵在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，BD=8，
∴AO=AC=3，BO=BD=4，
∵AB=5，且32+42=52，
∴AO2+BO2=AB2，
∴△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；

（2）解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=5，
∵S△ABC=AC•BO=BC•AH，
∴×6×4=×5×AH，
解得：AH=．

11．（2016•北京一模）如图，△ABC中，AD是BC边的中线，分别过点B，D作AD，AB的平行线交于点E，且ED交AC于点F，AD=2DF．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）若BD=6，∠E=60°，求四边形ABED的面积．

【解答】（1）证明：∵AD是BC边中线，
∴DC=DB，DF∥AB，
∴CF=FA，
∴AB=2DF，
∵AD=2DF，
∴AB=AD，
∵AD∥BE，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，∵AD=AB，
∴四边形ABED是菱形．
（2）连接AE交BD于O，∵∠DEB=60°，四边形ABED是菱形，
∴△BDE、△ABD是等边三角形，DO=BO=3，
在RT△DOE中，∵DO=3，∠EDO=60°，DE=6，
∴EO===3，
∴AE=2EO=6，
∴S菱形ABED=•AE•BD=×6×6=18．

12．（2016春•长春校级期中）已知：如图，M为▱ABCD的AD边上的中点，且MB=MC，
求证：▱ABCD是矩形．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD．
∵AM=DM，MB=MC，
∴△ABM≌△DCM．
∴∠A=∠D．
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°．
∴∠A=90°．
∴▱ABCD是矩形．

13．（2016•濠江区一模）如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．

【解答】证明：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB．
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB．
∴∠ABE=∠CDF．
∵在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（ASA）．

（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．
∴平行四边形DFBE是矩形．

14．（2016•长春模拟）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上．DF=BE．求证：四边形BEDF是矩形．

【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，即DF∥BE，
又∵DF=BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形DEBF为矩形．

15．（2016•吉林）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．

【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE为平行四边形，
∴四边形AODE是矩形．

16．（2016•聊城模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以AB、BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC．求证：四边形ADCE是矩形．

【解答】证明：∵AB=AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴∠ADC=90°，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形．

17．（2016•大悟县二模）在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE为矩形；
（2）若AE=3，BF=4，AF平分∠DAB，求BE的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥BE，
又∵DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴平行四形BFDE是矩形；

（2）解：∵四边形BFDE是矩形，
∴DF∥AB，DE=BF=4，DF=BE，
∴∠DAF=∠FAB，
又∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF=∠FAB，
∴∠DFA=∠DAF，
∴DA=DF，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
在Rt△ADE中
AD===5，
∴BE=5．

18．（2016•山亭区模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：四边形ADBE是矩形．

【解答】解：∵AB=AC，AD是BC的边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵四边形ADBE是平行四边形．
∴平行四边形ADBE是矩形；

19．（2016•滨湖区一模）如图，已知E、F为平行四边形ABCD的对角线上的两点，且BE=DF，∠AEC=90°．求证：四边形AECF为矩形．

【解答】证明：连接AC交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵BE=DF，
OE=OF．
∵OA=OC，
∴AECF是平行四边形；
∵∠AEC=90°，
∴四边形AECF为矩形．

20．（2016•大兴区一模）在▱ABCD中，过点D作对DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF=AE，连结AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形．
（2）若CF=6，BF=8，DF=10，求证：AF是∠DAB的角平分线．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵CF=AE，
∴BE=DF．
∴四边形BFDE为平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∴四边形BFDE是矩形．
（2）证明：由（1）得，四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD=90°．
∴∠BFC=90°，
在Rt△BFC中，由勾股定理得：BC===10．
∴AD=BC=10．
∵DF=10，
∴AD=DF．
∴∠DAF=∠DFA．
∵AB∥CD，
∴∠DFA=∠FAB．
∴∠DAF=∠FAB．
∴AF平分∠DAB．
即AF是∠DAB的平分线．

21．（2016•朝阳区二模）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．
（1）求证：四边形ABCF是矩形；
（2）若ED=EC，求证：EA=EG．

【解答】（1）证明：∵AB∥DC，FC=AB，
∴四边形ABCF是平行四边形．
∵∠B=90°，
∴四边形ABCF是矩形．
（2）证明：由（1）可得，∠AFC=90°，
∴∠DAF=90°﹣∠D，∠CGF=90°﹣∠ECD．
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD．
∴∠DAF=∠CGF．
∵∠EGA=∠CGF，
∴∠EAG=∠EGA．
∴EA=EG．

22．（2016•南关区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，分别过点A、D作AE∥BC、DE∥AB，AE与DE相交于点E，连结CE．求证：四边形ADCE是矩形．

【解答】证明∵AE∥BC、DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形．
∴AE=BD，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BD=CD，AD⊥BC，
∴AE=CD，∠ADC=90°，
又∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴四边形ADCE是矩形．

23．（2016•阳谷县一模）如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线交对角线AC于点M，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足分别是E，F．判定四边形EBFM的形状，并证明你的结论．

【解答】四边形EBFM是正方形．
证明：∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，
∵MF⊥BC，ME⊥AB，
∴∠BFM=∠MEB=90°，
∵∠ABC=∠BFM=∠MEB=90°，
∴四边形EBFM为矩形，
∵BM平分∠ABC，
∴ME=MF，
∴四边形EBFM为正方形．

24．（2016•普宁市模拟）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分別在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2．
（1）已知DG=6，求AE的长；
（2）已知DG=2，求证：四边形EFGH为正方形．

【解答】解：（1）∵AD=6，AH=2
∴DH=AD﹣AH=4
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠D=90°
∴在Rt△DHG中，HG2=DH2+DG2
在Rt△AEH中，HE2=AH2+AE2
∵四边形EFGH是菱形
∴HG=HE
∴DH2+DG2=AH2+AE2
即42+62=22+AE2
∴AE==4
（2）∵AH=2，DG=2
∴AH=DG
∵四边形EFGH是菱形
∴HG=HE
在Rt△DHG和Rt△AEH中

∴Rt△DHG≌Rt△AEH（HL）
∴∠DHG=∠AEH
∵∠AEH+∠AHG=90°
∴∠DHG+∠AHG=90°
∴∠GHE=90°
∵四边形EFGH是菱形
∴四边形EFGH是正方形

25．（2015•闸北区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG．
（1）求证：AF=BF；
（2）如果AB=AC，求证：四边形AFCG是正方形．

【解答】证明：（1）∵AD=CD，点E是边AC的中点，
∴DE⊥AC．
即得DE是线段AC的垂直平分线．
∴AF=CF．
∴∠FAC=∠ACB．
在Rt△ABC中，由∠BAC=90°，
得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°．
∴∠B=∠BAF．
∴AF=BF．

（2）∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE．
又∵点E是边AC的中点，∴AE=CE．
在△AEG和△CEF中，
，
∴△AEG≌△CEF（AAS）．
∴AG=CF．
又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．
∵AF=CF，∴四边形AFCG是菱形．
在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF．
即得点F是边BC的中点．
又∵AB=AC，∴AF⊥BC．即得∠AFC=90°．
∴四边形AFCG是正方形．

26．（2015春•伊春校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E，F．求证：四边形DECF是正方形．

【解答】证明：∵CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE=DF，∠CED=∠CFD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四边形DECF是矩形，
又∵DE=DF，
∴四边形DECF是正方形．

27．（2015春•南安市期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE是正方形．

【解答】证明：（1）∵AB=AC，点D是边BC的中点，
∴BD=CD，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°．
∵AE∥BD，DE∥AB，
∴四边形AEDB为平行四边形，
∴AE=BD=CD，
又∵AE∥DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形；

（2）设AC与DE相交于点O．
∵DE∥AB，∠BAC=90°，
∴∠DOC=∠BAC=90°，
即AC⊥DE，
又∵由（1）知四边形ADCE是矩形，
∴四边形ADCE是正方形．

28．（2014•江西模拟）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．

【解答】（1）证明：∵△CFE是由△ADE绕点E旋转180°得到，
∴点A、E、C三点共线，点D、E、F三点共线，
且AE=CE，DE=FE，
故四边形ADCF是平行四边形．

（2）解：当∠ACB=90°，AC=BC时，四边形ADCF是正方形．
理由如下：
在△ABC中，∵AC=BC，AD=BD，
∴CD⊥AB，即∠ADC=90°．
而由（1）知，四边形ADCF是平行四边形，
∴四边形ADCF是矩形．
又∵∠ACB=90°，
∴，
故四边形ADCF是正方形．

29．（2014•湖里区模拟）已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．

【解答】解：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEB=∠DFB=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形BEDF为矩形，
∵BD是∠ABC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∴矩形BEDF为正方形．

30．（2014春•海口期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：四边形CFDE是正方形．

【解答】证明：∵∠ACB=90°，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴四边形CFDE是矩形．
又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE=DF．
∴四边形CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．

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