高一数学习题.doc

高一数学习题
例1 已知、，则在以下各命题中，正确的命题共有（    ）
（1），时，与的方向一定相反
    （2），时，与的方向一定相同
    （3），时，与是共线向量
    （4），时，与的方向一定相同
    （5），时，与的方向一定相反
    A．2个    B．3个    C．4个     D．5个
    分析；要对以上5个命题进行真假判定，只要把握关于实数与向量的积是一个向量，其方向规定为：当时，的方向与的方向相同，当时，的方向与的方向相反，就不难作出正确选择．
解：依照实数与向量的积的方向的规定，易知命题（1）、（2）、（3）差不多上正确的．
    关于命题（4）与（5），（ⅰ），可得、同为正或同为负，因此与或者都与同向，或者都与反向，因此与同向．故命题（4）是正确的；（ⅱ）若，则与异号，与与中，一个与同向，一个与反向，∴与反向，故命题（5）也是正确的．
    综上所述，应选择（D）．
例2运算：
（1） ；
（2）
解：（1）原式
（2）原式

评注：实数与向量的积的运算法则类似于整式的加减运算法则。
例3 如图（1），已知向量、，求作向量

解：在平面上任取点O，作，，则，如图（2）。
评注：作向量，要使与同向，且的长度等于的长度的2倍；作则同理可作。
例4 如图，D是△ABC中BC边的中点，
求证：
证法一：∵D是BC边的中点，

    证法二：延长AD到E，使DE＝AD，连BE、CE，如图，则四边形ABCE是平行
四边形．
    由向量加法的平行四边形法则知：

例5 已知、不共线，，，试判定与是否共线？
分析；要判定与是否共线，只要看是否存在实数，使
解：∵，
，
∴
∴与共线。
例6 已知三角形ABC，，，点D、E分别在线段AB和AC上，且，证明
证明：如图，设（，），则
，

例7 设平面上有点P和△ABC，已知，试确定P的位置。
解：∵，则由题意得：
，
即，
∴ 点P在线段AC上，且将线段AC分成（如图）
例8 已知：△ABC和点G，
试证：点G是△ABC的重心的充要条件是：
证明：如图，以线段GA和GB为邻边作，连EG交AB于D，则D是AB 的中点，且，，

充分性：若，则，

∴G是△ABC的重心。
必要性：若G是△ABC的重心，则因D是AB边的中点，因此有，
∴
例9 如图，已知△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，
求证：（1）；（2）；（3）
点拨：要证明（1）只须证明；要证（2）只须证明关于（3），可将等式左边诸向量代换成一些有明显关系的向量再进行运算。
证明：

    这说明
    ∴

    ∴

∴ 

同理，，
      ，
∴

    点评：用向量方法来证明平面几何命题，应先把结论写成向量形式，然后通过向量运算来完成，而不是通过平面几何的公理体系来完成．
例10 在△ABC中（右图），设D及E是BC的三等分点，D在B和E之间，F是AC的中点，G是AB的中点，又设H是线段EG和DF的交点，试用向量法求比值
解：设，，则，现在把上式中的每一个向量用及表示：
，

，
，

把这些式子代入前面的等式，我们有

即

由于，不共线，因此

解之
从而得
说明：上述求解过程中没有利用平面几何中的有关结论。事实上采纳纯平几法求解是十分简洁的。
例11 已知向量，，其中、不共线，向量，问是否存在如此的实数、，使向量与共线？
解：∵

要与共线，则应有实数，使，
即，
由 得
故存在如此的实数、，只要，就能使与共线。
评注：向量与共线，则必有请问：若，向量与共线吗？
例12 如图，、不共线，点P是直线AB上的一点，且（，），试用、表示。
分析：与、没有直截了当的联系，这时我们能够在△OAP（或△OPB）中，把用和（或与）表示出来。
解：

例13 如图，点E、F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设，，试用、表示。
错解：连BE并延长交CD于G，连AG。由于E是AC与BG的中点，因此四边形ABCG是平行四边形。因此、

又∵F是BD的中点，

点击：由于四边形ABCD不是梯形，而是一样的四边形．因此，点E是AC的中点，但并不一定是BG的中点．因此，四边形ABCG并不一定是平行四边形，因此不一定等于，故上述解法是错误的．
正解：如图，取AB中点P，连EP、FP。
在△ABC中，EP是与BC平行的中位线，

在△ABD中，FP是与AD平行的中位线，

在△EFP中，
说明：由于∴，
。即也等于四边形另一对对边相应向量和的一半。