史密斯圆图简介.doc

史密斯圆图（Smith chart）

分析长线的工作状态离不开计算阻抗、反射系数等参数，会遇到大量繁琐的复数运算，在计算机技术还未广泛应用的过去，图解法就是常用的手段之一。在天线和微波工程设计中，经常会用到各种图形曲线，它们既简便直观，又具有足够的准确度，即使计算机技术广泛应用的今天，它们仍然对天线和微波工程设计有着重要的影响作用。Smith chart就是其中最常用一种。

1、Smith chart 的构成
在Smith chart中反射系数和阻抗一一对应；Smith chart包含两部分，一部分是阻抗Smith圆图（Z-Smith chart），它由等反射系数圆和阻抗圆图构成；另外一部分是导纳Smith圆图（Y-Smith chart），它由等反射系数圆和导纳圆图构成；它们共同构成YZ-Smith chart。阻抗圆图又由电阻和电抗两部分构成，导纳圆图由电导和电纳构成。

1.1 等反射系数圆

在如图1所示的带负载的传输线电路图中，由长线理论的知识我们可以得到负载处的反射系数为：

其中。

图1 带负载的传输线电路图

在离负载距离为z处的反射系数为：

其中，。椐此我们用极坐标
当负载和传输线的特征阻抗确定下来之后，传输线上不同位置处的反射系数辐值（）将不再改变，而变得只是反射系数的辐角；辐角的变化为，传输线上的位置向负载方向移动时，辐角逆时针转动，向波源方向移动时，辐角向顺时针方向转动，如图2所示。

图2 等反射系数圆

传输线上不同位置处的反射系数的辐角变化只与，其中传波常数，所以是一个周期为的周期性函数。

1.2 阻抗圆图

根据传输线理论我们可以得到如下公式，我们把阻抗写成反射系数的函数：

将上式写成实部和虚部分开的形式得：

实部分别相等得：

可以进一步化为下边这种形式：

可以明显的看出来，它是标准的圆的方程。
同样，分别相等得：

可以进一步化为标准圆的方程的形式：

最后我们得到了输入阻抗与反射系数一一对应的关系！

1.2.1 等电阻圆图
将电阻与反射系数的关系在直角坐标系中画出来，我们便得到了等电阻圆图，如图3所示。
我们根据式子

取几个的值，画出它与等反射系数的关系图：

0
1/3
1
3

圆心坐标
（0，0）
（1/4，0）
（1/2，0）
（3/4，0）
（1，0）
半径
1
3/4
1/2
1/4
0

图3. 等电阻圆图

1.2.2 等电抗圆图
同样，将电抗与反射系数的关系在直角坐标系中画出来，我们便得到了等电阻圆图，如图4所示。
我们根据式子

取几个的值，画出它与等反射系数的关系图：

0
1/3
1
3

圆心坐标
（1，）
（1，3）
（1，1）
（1，1/3）
（1，0）
半径

3
1
1/3
0

图4 等电抗圆图

因为，等电抗圆图应该不超出的范围，图中我们把超出的部分去掉了。

1.2.3 阻抗圆图（ Z-Smith chart）
将电抗圆图和电阻圆图画在同一个坐标图中就构成了阻抗圆图（ Z-Smith chart），如下图图5所示：

图5. 阻抗圆图（ Z-Smith chart）

图中阻抗和反射系数一一对应！阻抗圆图为串联电路提供了较大的方便，为了使并联电路也能够同样方便，下边我们引出导纳圆图（Y-Smith chart）。

1.3 导纳圆图（Y-Smith chart）
根据导纳的定义我们可以得到以下的式子：

将其和输入阻抗与反射系数的式子作比较：

从中我们可以看出，导纳和反射系数的关系式与阻抗和反射系数的关系式具有相同的形式，不同的仅仅是的反射系数比中的反射系数多了一个，那也就是说，只要将阻抗圆图的复平面逆时针旋转180度既得到了导纳圆图（Y-Smith chart），如下图图6所示。

YZ-Smith chart
图6 .Z-Smith chart、Y-Smith chart、YZ-Smith chart

1.4 YZ-Smith chart
如图6所示将阻抗圆图（Z-Smith chart）和导纳圆图（Y-Smith chart）画在同一个坐标系中就构成了YZ-Smith chart。它不仅为串联电路提供了极大的方便，同时它也为并联电路提供了极大的方便。
2、Smith chart 的特点
从Smith chart我们不仅可以简化计算，同时还它还可以帮助我们理好的理解长线理论中的概念的现实含义以及它本身。
由于纳圆图（Y-Smith chart）与阻抗圆图（Z-Smith chart）有简单的对应关系，所以下边我们仅对阻抗圆图（Z-Smith chart）的特点作一个归纳。
如下图图7所示，阻抗圆图可以提供四个数据：、、和相位；在横坐标上半部分电抗呈感性，横坐标下半部分电抗呈容性；在坐标为（1，0）处表示传输线终端呈开路（开路点）；（-1，0）对应于终端短路点；开路点与短路点之间相差相位；电压波腹都落在正的横坐标轴，电压波节落在负的横坐标轴上；处于最外边的圆（）代表驻波状态，其上半个圆代表纯电感，其下半圆代表纯电容；坐标原点代表阻抗匹配点（）。

图7. 阻抗圆图特性

3、Smith chart 的应用
因为Smith chart图一个最大的特点是与的一一对应，所以它最大一个应用就是通过（）求，或是通过求，其是包含辐度与辐角两部分，（）包含电阻与电抗（电导与电纳）两部分。它在用于求解电路时，又分为两部分，一部分是串联电路，主要用Z-Smith求解，另一部分是并联电路，主要用Y-Smith求解；下边我们就从这几个方面举例说明圆圆的用法。

3.1 与的一一对应
例1、已知长线的特性阻抗，终端接负载阻抗，求终端电压反射系数。

图8
（1）计算归一化负载阻抗值。

在阻抗图上找到两圆的交点A，A点即为在圆图中的位置。
（2）确定终端反射系数的模。通过A点的反射系数圆与右半段纯电阻线交于B点。B点归一化阻抗即为驻波比值，因此等于

（3）确定终端反射系数的相角。延长射线OA，即可读得向波源方向的波长数的标度为0.20，则对应的波长数变化量为

对应的的度数为

故终端电压反射系数为

3.2 元件的串联
例2、如下图所示，终端负载，传输线的特征阻抗，其它参数如电路图中所示，求波源输入端的输入阻抗和电压反射系数。

下边我们将用电子版的Z-Smith来解这个问题，这可以省去读纸版图中数据的麻烦，我们使用的软件是Smith v2.0。
（1） 为了避免计算归一化阻抗的麻烦，一开始就可以设传输线的特征阻抗，我们设为。
（2） 在Z-Smith中找到，如点1所示。
（3） 对应的传输线，将点1在极坐标中顺时针方向转，至点2，如图所示。
（4） 对应于纯电阻，将点2在等电抗的圆弧上向电阻增大的方向移动，移动增量为，至点3，如图所示。
（5） 对应于纯电感，将点3在等电阻的圆弧上向电抗增大的方向移动，移动增量为，至点4，如图所示。
（6） 对应于的传输线，将点4在极坐标中顺时针方向转，至点5，如图所示。
（7） 对应于对应于纯电容，将点5在等电阻的圆弧上向电抗减小的方向移动，移动增量为，至点6，如图所示。
（8） 根据点6所在的位置就可以读出
输入阻抗
电压反射系数

图9. 串联电路的计算

3.3 元件的并联
例3、如下图所示，终端负载，传输线的特征阻抗（），其它参数如电路图中所示，求波源输入端的输入导纳（输入阻抗）和电压反射系数。

同样，我们用电子版的Y-Smith对其进行求解：
（1） 在图中找到点，如图中点1所示。
（2） 对应于并联的电容，在等电导圆的圆弧上向电纳减小的方向移动，移动的增量为，至点2。
（3） 对应于并联的电导，在等电纳圆的圆弧上向电阻增大的方向移动，移动增量为，至点3.
（4） 对应于并联的电感，在等电导圆的圆弧上向电纳减小的方向移动，移动增量为，至点4.
（5） 根据点4所在的位置就可以读出
输入导纳为（）
电压反射系数

图10. 并联电路的计算

3.4 元件的串联与并联
例4、如下图所示，终端为短路传输线，传输线的特征阻抗，其它参数如电路图中所示，求波源输入端的输入阻抗和电压反射系数。

因为此电路中既有串联也有并联，所以我们要用电子版的YZ-Smith对其进行求解：
（1） 在图中找到点短路点，如图中点1所示。
（2） 对应于长为串联的，的传输线，将点1在极坐标中顺时针方向转，至点2，如图所示。
（3） 对应于并联的电导，在等电纳圆的圆弧上向电阻增大的方向移动，移动增量为，至点3.
（4） 对应于串联的电阻，将点3在等电抗的圆弧上向电阻增大的方向移动，移动增量为，至点4.
（5） 对应于并联的电感，在等电导圆的圆弧上向电纳减小的方向移动，移动增量为，至点5.
（6） 对应于串联的电容，将点5在等电阻的圆弧上向电抗减小的方向移动，移动增量为，至点6

图11. 串联和并联电路
（7） 对应于并联的电感，在等电导圆的圆弧上向电纳减小的方向移动，移动增量为，至点7.
（8） 根据点7所在的位置就可以读出
输入导纳为（）
电压反射系数