点的速度和加速度合成定理的简便证明.pdf

2023,45(4):916-919Zhang Jinfu.Simple proof of velocity and acceleration synthesis theorems for a moving pointnt.Mechanics in Engineering,2023年力8月与第45 卷第4期实践学点的速度和加速度合成定理的简便证明张劲夫1)（西北工业大学工程力学系，西安7 10 12 9)摘要从动点的绝对矢径与动系上任意一点的绝对矢径之间的关系出发，通过对时间的求导运算，并结合点的速度和加速度的定义式，分别推导出动点的绝对速度与动系上任意一点的绝对速度之间的关系式以及动点的绝对加速度与动系上任意一点的绝对加速度之间的关系式，在此基础上，分别应用这两个关系式，推引出点的速度合成定理和点的加速度合成定理。定理的整个证明过程简单明了，逻辑性强，非常便于教学。关键词定参考系，动参考系，点的速度合成定理，点的加速度合成定理中图分类号：0 311.1文献标识码：Adoi:10.6052/1000-0879-23-033SIMPLEPROOFOFVELOCITYANDACCELERATIONSYNTHESISTHEOREMSFORAMOVINGPOINTNTZHANG Jinful)(Department of Engineering Mechanics,Northwestern Polytechnical University,Xian 710129,China)Abstract By taking the time derivative of the relationship between the absolute position vector of a movingpoint and the absolute position vector of any point on a moving reference frame and using the definitions of thevelocity and acceleration of point,the relationship formula between the absolute velocity of the moving pointand the absolute velocity of any point on the moving frame,and the relationship formula between the absoluteacceleration of the moving point and the absolute acceleration of any point on the moving frame are derived.Furthermore,by applying these formulas,velocity synthesis theorem and acceleration synthesis theorem for themoving point are derived.The whole process of proving the theorems is simple and clear,highly logical,and veryeasy to teach.Keywords fixed reference frame,moving reference frame,velocity synthesis theorem for moving point,acceleration synthesis theorem for moving point点的速度和加速度合成定理是理论力学中关于点的合成（复合）运动中两条非常重要的基础性定理，这两条定理的证明出现在各种版本的理论力学教材-1 中。不少学者12-2 0 认为这两条定理在证明上存在一定不足，有待进一步改进和优化，并为此提出了许多建设性的意见和相应的证明方法。本文在充分研究现有的各种关于点的速度和加速度合成定理证明方法的基础上，构思出一种简便的点的速度和加速度合成定理的证明方法。这种证明方法具有推证简单、逻辑严谨、便于理解和易于掌握等优点。1点的速度合成定理的证明如图1所示，设有任意一动点P相对定系Oocoyozo和动系Ocyz运动，点M为动系上的任意一点。下面首先推导点P和点M的绝对速度之间的关系，并由此进一步推引出点的速度合成定理。2023-01-31收到第1稿，2 0 2 3-0 3-2 7 收到修改稿。1)张劲夫，博士，教授，研究方向为动力学与控制。E-mail：j f z h a n g n w p u.e d u.c n引用格式：张劲夫.点的速度和加速度合成定理的简便证明.力学与实践，2 0 2 3.45(4)：9 16-9 19(4）(ZP-ZM)dtdkdi(yP-yM)dtdt&MdtPd2MkdtdyMdM;+dtdidtdtdt+dtdzPkdtdyPdpdrpdrMTM+(CHzMk(3)U917张劲夫：点的速度和加速度合成定理的简便证明第4期PTMP20MTMTPyyo图1参考坐标系如图1所示，点P的绝对矢径rp，点M的绝对矢径rM和矢量rMP三者之间满足关系TP=TM+TMP(1)设点P和点M在动系中的坐标分别为(cp，P，z p)和(M，y M，z M)，动系的坐标轴单位矢为（i，j，k)，则矢量rMp可以表达为rMp=(p-M)i+(yp-yM)j+(zp-zM)k(2)将式（2）代入式（1）后，得到将式(3)对时间求导数，得drp考虑到式中，Ua（点P的绝对速度），dtdrMdcPdyP=UM（点M的绝对速度），j+dtdtdtdzPk=ur（点P的相对速度），另外注意到点dtM为动系上的点，因此aM，y M 和zM均为常daMdyMdzM=0,这样，式(4)量，故有dtdtdt可以进一步化简为dididkUa=UM+Ur+(CP-CM)yMUdtdtZM这就是动点P的绝对速度Va与动系上任意一点M的绝对速度UM之间的关系式。如果点M正好取作为动点P的牵连点Me，则式（5）变为didjdkVa=Ve+Ur+(ap-Ce)(yP一yeZedtdt式中，Ve为牵连点M。相对定系的速度（即动点P的牵连速度），（e，Je，z e)为牵连点Me在动系中的坐标。由于点动P和其牵连点M。瞬时重合，故有：p=Le，y p=y e，z p=z e，这样式（6）可以进一步化简为Va=Ve+Ur(7)式(7)良即为点的速度合成定理，证毕。2点的加速度合成定理的证明类似于点的速度合成定理的证明思路，下面给出点的加速度合成定理的证明。如前所述，式（5）是动点P的绝对速度ua与动系上任意一点M的绝对速度UM之间的关系daP式，下面将点P的相对速度表达式Ur=dtdyPdPk代入式（5)，得到daPdyPdzPdiVa=UM+(CP-CM)dtdtdtdtdidk(yP-yM)2PZMdtdt(8)再将式（8）对时间求导数，得到duaduMdapduPd2Pkdt2dt2十dtdtdt2dapdidyPdidzpddkdaPdcMdi十dtdtdtdtdtdtdtdtdtdypdyMdidzPdzMdk+(P-CM).dtdtdtdtdtdtd2idid?k(yPyM(2P-2Mdt2dt2dt2(9)dcMdyMdzM如前所述，=0，故式（9)dtdtdt可进一步化简为duaduMdaPduPdZP十k十dtdtdt2dt2dt2dcdidyPdidzpdk2+(p-CM).dtdtdtdtdtdtd2idid2k+（y P-yM（2 P2Mdt2dt2dt2(10)didj再将泊松公式wxi，wxi和dtdtdkwk（w 为动系相对定系的角速度矢量）dt代入式（10），得到即力918实践2023年第45 卷学duaduMdaPduP2P十k+dtdtdt2dt2dt2dcPdyPdzP2WX2WXkdtdtdtd2ididk(P-M)+(yP-yM)ZPZMdt2dt2dt2(11)duaduMdPdyPdZP+k+dtdtdt2dt2dt2dpdyPdzP2wXk+(p-CM).dtdtdtd2idi(yPyM(2P2Mdt2dt2dt2(12)dva考虑到式中，aa（点P的绝对加速度），dtduMd&PaM（点M的绝对加速度），dtdtdyPdzPdPk=Ur（点P的相对速度），dtdtdt2d2PyPk=ar（点P的相对加速度），这dt2dt2样式(12)可以进一步简写为aa=aM+ar+2wUr+(ap-m)dt2did2k(yP-yM)+（2 P一M(13)dt2dt2这就是动点P的绝对加速度aa与动系上任意一点M的绝对加速度aM之间的关系式。如果点M正好取作为动点P的牵连点Me，则式（13）变为aa=ae+ar+2w Vr+(cp-ce)+(yp-ye).dt2didk(zPdt2Zedt2(14)式中，ae为牵连点M相对定系的加速度（即动点P的牵连加速度）；2 wUr=c为动点P的科氏加速度；如前所述，动点P和其牵连点Me瞬时重合，故有：ap=e，y p=e，z p=z e，这样式（14）可以进一步化简为aa=ae+ar+ac(15)式（15）即为牵连运动为任意运动时点的加速度合成定理，证毕。从以上所给出的点的速度合成定理和点的加速度合成定理的证明可以清楚地看出：整个证明过程具有推证简单、逻辑严谨、便于理解和易于掌握的优点。3结语本文给出了一种简便的点的速度和加速度合成定理的证明方法，这种证明方法因其推证简捷、逻辑严谨、便于理解和易于掌握的优点，值得在理论力学教学中推广。参考文献1伏龙科夫MM.理论力学教程(上册）.哈尔滨工业大学理论力学教研室译.上海：商务印书馆，19 5 32季文美，吕茂烈.理论力学（上册）.北京：人民教育出版社，19 6 03西北工业大学理论力学教研室，北京航空学院理论力学教研室，南京航空学院理论力学教研室.理论力学（上册）.北京：高等教育出版社，19 8 04清华大学理论力学教研组.理论力学（上册），第3版.北京：高等教育出版社，19 8 15刘延柱，朱本华，杨海兴.理论力学，第3版.北京：高等教育出版社,2 0 0 96周又和.理论力学，第2 版.北京：高等教育出版社，2 0 157哈工大理论力学教研室.理论力学(I)，第8 版.北京：高等教育出版社,2 0 168李永强.理论力学.北京：高等教育出版社，2 0 189程光均，张祥东.理论力学，第4版.重庆：重庆大学出版社，2 0 1810支希哲.理论力学，第3版.北京：高等教育出版社，2 0 2 111王琪，谢传锋.理论力学，第3版.北京：高等教育出版社，2 0 2 112高宗战，刘伟，高行山等.动点的牵连运动分析与运动合成定理推证.力学与实践，2 0 2 2,44(1)：15 9-16 2Gao Zongzhan,Liu Wei,Gao Hangshan,et al.Analysis onthe transport motion and proof of the composition theoremfor moving points.Mechanics in Engineering,2022,44(1):159-162(in Chinese)13邵兴.速度合成定理几何证明中一直存在的概念错误.力学与实践,2 0 12,34(1):9 9-10 014王斌耀，徐鉴.关于点的合成运动速度合成定理两种推导的辨析.力学与实践，2 0 0 7,2 9(5)：6 4-6 615王维，丁俊，杨建波.将“耦合位移”引入速度合成定理的几何法推导.力学与实践，2 0 16,38(5)：5 9 116余少华.点的速度合成定理的几何推证.力学与实践，19 9 1，13(2):57-5817苏振超，薛艳霞.速度合成定理的一种证明方法.常州工学院学报,2 0 17,30(4-5):38-4118赵巨才，莫宵依，刘协会等.点的加速度合成定理的简捷证明。纺织高校基础科学学报，19 9 5,8(2)：2 0 3-2 0 419时术华.加速度合成定理的几何法证明.山东建筑工程学院学报,2 0 0 1,16(1):9 1-9 4Shi Shuhua.The geometrical proof of acceleration composi-漫）（责任编辑：胡919张劲夫：尺点的速度和加速度定理的简便证明第4期tion theorem.Journal of Shandong Institute of Architectureand Engineering,2001,16(1):91-94(in Chinese)20苏振超，薛艳霞.基于瞬时角速度矢和角加速度矢的合成运动定理的证明.莆田学院学报,2 0 17,2 4(5):7-10Su Zhenchao,Xue Yanxia.Proof of the theorems in syn-thetic motion of points based on instant vectors of angularvelocity and angular acceleration.Journal of Putian Uni-versity,2017,24(5):7-10(in Chinese)