中考数学专题讲练-相似一(解析版).doc

中考数学专题讲练 相似一（解析版）相似（一）一 角平分线相似模型常见题模型如下：二 平行相似模型“A”型如图，则有“8”字型如图，则有常见的一些变形注意：构造平行的方法实质是为了构造出“A”型和“8”字型三K型图如下图， 图1 图2 图3一 考点：相似模型二重难点：平行相似模型，k型图三易错点：平行类相似模型虽然是平行线分线段成比例的一种衍生，但是不同与后者的是平行线类相似模型更多的情况是利用相似图形的性质去证明一些结论，可能会用到一些其他的模型，方法比较综合题模一：角平分线相似模型例1.1.1 如图，是的角平分线，求证：【答案】 如解析【解析】 如图例1.1.2 如图（1）（3），已知AOB的平分线OM上有一点P，CPD的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设AOB=（0180），CPD=（1）如图（1），当=90时，试猜想PC与PD，PDC与AOB的数量关系（不用说明理由）；（2）如图（2），当=60，=120时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由（3）如图（3），当+=180时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立请直接写出结论；若不成立，请说明理由若=2，求的值【答案】 见解析【解析】 （1）PC=PD，PDC=AOB（2）成立理由如下：作PEAO于E，PFOB于F，如图OP平分AOB，PE=PF在四边形EOFP中，AOB=60，PEO=PFO=90，EPF=120，即EPC+CPF=120又CPD=120，即DPF+CPF=120EPC=DPFEPCFPDPC=PD，PDC=30AOB=60，PDC=AOB，（3）成立，PDC=AOB，POD=AOB，PDC=POD又DPG=DPO，PGDPDO=又=2，=题模二：平行相似模型例1.2.1 如图，已知，若， ，求证：【答案】 见解析【解析】 证明：，即例1.2.2 如图，在四边形ABCD中，ABCD，点F在边AD上，BA的延长线交CF的延长线于点E，EC交BD于点M，且CM2=EMFM求证：ADBC【答案】 见解析【解析】 ABCD，BEMCDM，CM2=EMFM，ADBC例1.2.3 已知：ABC是任意三角形（1）如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点，求证：MPN=A（2）如图2所示，点M、N分别在边AB、AC上，且=，=，点P1、P2是边BC的三等分点，你认为MP1N+MP2N=A是否正确？请说明你的理由（3）如图3所示，点M、N分别在边AB、AC上，且=，=，点P1、P2、P2009是边BC的2010等分点，则MP1N+MP2N+MP2009N=_（请直接将该小问的答案写在横线上）【答案】 （1）见解析（2）正确（3）A【解析】 本题利用了三角形中位线定理及平行线分线段成比例的性质求解，从三角形的二等分点到n等分点，从特殊到一般，培养学生的探究能力（1）证明：点M、P、N分别是AB、BC、CA的中点，线段MP、PN是ABC的中位线，MPAN，PNAM，（1分）四边形AMPN是平行四边形，（2分）MPN=A（3分）（2）MP1N+MP2N=A正确（4分）如图所示，连接MN，（5分）=，A=A，AMNABC，AMN=B，=，MNBC，MN=BC，（6分）点P1、P2是边BC的三等分点，MN与BP1平行且相等，MN与P1P2平行且相等，MN与P2C平行且相等，四边形MBP1N、MP1P2N、MP2CN都是平行四边形，MBNP1，MP1NP2，MP2AC，（7分）MP1N=1，MP2N=2，BMP2=A，MP1N+MP2N=1+2=BMP2=A（3）A理由：连接MN，=，A=A，AMNABC，AMN=B，=，MNBC，MN=BC，P1、P2、P2009是边BC的2010等分点，MN与BP1平行且相等，MN与P1P2平行且相等，MN与P2009C平行且相等，四边形MBP1N、MP1P2N、MP2009CN都是平行四边形，MBNP1，MP1NP2，MP2009AC，MP1N=BMP1，MP2N=P1MP2，BMP2009=A，MP1N+MP2N=BMP1+P1MP2+P2008MP2009=BMP2009=A题模三：K型图例1.3.1 【试题再现】如图1，RtABC中，ACB=90，AC=BC，直线l过点C，过点A、B分别作ADl于点D，BEl于点E，则DE=AD+BE（不用证明）（1）【类比探究】如图2，在ABC中，AC=BC，且ACB=ADC=BEC=100，上述结论是否成立？若成立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论（2）【拓展延伸】如图3，在ABC中，AC=nBC，且ACB=ADC=BEC=100，猜想线段DE、AD、BE之间有什么数量关系？并证明你的猜想若图1的RtABC中，ACB=90，AC=nBC，并将直线l绕点C旋转一定角度后与斜边AB相交，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E，请在备用图上画出图形，并直接写出线段DE、AD、BE之间满足的一种数量关系（不要求写出证明过程）【答案】 （1）DE=AD+BE；理由见解析；（2）DE=AD+nBE；证明见解析；DE= nBEAD【解析】 （1）【类比探究】猜想DE=AD+BE理由：如图2，ADC=100，DAC+DCA=80ACB=100，DCA+ECB=80，DAC=ECB在ACD和CBE中，ACDCBE，AD=CE，CD=BE，DE=AD+BE；（2）【拓展延伸】猜想：DE=AD+nBE理由：如图3，ADC=100，DAC+DCA=80ACB=100，DCA+ECB=80，DAC=ECBADC=CEB，ADCCEB，=n，CE=AD，CD=nBE，DE=DC+CE=AD+nBE；DE=ADnBE或DE=nBEAD提示：同可得：CE=AD，CD=nBE如图4，DE=CECD=ADnBE；如图5，DE=CDDE=nBEAD随练1.1 如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N下列结论：APEAME；PM+PN=AC；PE2+PF2=PO2；POFBNF；当PMNAMP时，点P是AB的中点其中正确的结论是_【答案】 【解析】 四边形ABCD是正方形，BAC=DAC=45在APE和AME中，APEAME，故正确；PE=EM=PM，同理，FP=FN=NP正方形ABCD中，ACBD，又PEAC，PFBD，PEO=EOF=PFO=90，且APE中AE=PE四边形PEOF是矩形PF=OE，PE+PF=OA，又PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC，PM+PN=AC，故正确；四边形PEOF是矩形，PE=OF，在直角OPF中，OF2+PF2=PO2，PE2+PF2=PO2，故正确；BNF是等腰直角三角形，而POF不一定是，POF与BNF不一定相似，故错误；AMP是等腰直角三角形，当PMNAMP时，PMN是等腰直角三角形PM=PN，又AMP和BPN都是等腰直角三角形，AP=BP，即P是AB的中点故正确随练1.2 已知中，的外角平分线交对边的延长线于，求证：【答案】 见解析【解析】 易证: 随练1.3 如图，是一个边长为2的等边三角形，垂足为点过点作，垂足为点；再过点作，垂足为点；又过点作，垂足为点；这样一直作下去，得到一组线段：，则线段的长为_，线段的长为_（n为正整数）【答案】 ；【解析】 该题考查的是正三角形中线段计算，在直角三角形中，可以发现，为斜边，为长直角边，即，同理可得，故随练1.4 如图，已知是的平分线上的定点，过点任作一条直线分别交、于、.证明：是定值【答案】 见解析【解析】 过点作,则为等腰三角形；且为定值 为定值为定值随练1.5 （1）尝试：如图1，已知A、E、B三点在同一直线上，且，求证：（2）一位同学在尝试了上题后还发现：如图2、图3，只要A、E、B三点在同一直线上，且，则（1）中结论总成立你同意吗？请选择其中之一说明理由（3）运用：如图，四边形ABCD是等腰梯形，ADBC，P为BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AP，过点P作PE交CD于点E，使得则当BP为何值时，点E为CD的中点【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）当BP为1或8时，点E为CD的中点【解析】 （1）证明：，ADEBEC，；（2）证明：，ADEBEC，；（3）解：四边形ABCD是等腰梯形，ADBC，ABPPCE，点E为CD的中点，假设，解得：，当BP为1或8时，点E为CD的中点随练1.6 探究问题：已知AD、BE分别为的边BC、AC上的中线，且AD、BE交于点O（1）为等边三角形，如图1，则_；（2）当小明做完（1）问后继续探究发现，若为一般三角形（如图2），（1）中的结论仍成立，请你给予证明（3）运用上述探究的结果，解决下列问题：如图3，在中，点E是边AC的中点，AD平分，于点F，若求：的周长【答案】 （1）1（2）见解析（3）【解析】 该题考查的是相似三角形的判定与性质、三角形的中位线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识（1）2：1 -1分（2）证明：联结DED、E为AC、BC中点DEAB，AOB-3分（3）并延长AD交CG于点HE是边AC的中点B是边AG的中点BECGAD平分BAC, ADBE于点F易证ABE为等腰三角形BECGAGC是等腰三角形且AG=ACAFBEAHCGH为CG中点 由上述结果可知：， -5分BE为中位线BECG在RtDHC中，得-6分同理可得解RtAHC可得-7分ABC周长为-8分随练1.7 已知，射线OT是MON的平分线，点P是射线OT上的一个动点，射线PB交射线ON于点B（1）如图，若射线PB绕点P顺时针旋转120后与射线OM交于A，求证：；（2）在（1）的条件下，若点C是AB与OP的交点，且满足，求：POB与PBC的面积之比；（3）当OB=2时，射线PB绕点P顺时针旋转120后与直线OM交于点A（点A不与点O重合），直线PA交射线ON于点D，且满足请求出OP的长【答案】 （1）见解析；（2）POB与PBC的面积之比为；（3）或【解析】 （1）证明：作PFOM于F，作PGON于G，OP平分MON，又，PAFPBG，；（2）由（1）得：，OP平分MON，又，POBPBC，POB与PBC的面积之比为；（3）当点A在射线OM上时（如图乙1），易求得：，而，作BEOT于E，当点A在射线OM的反向延长线上时（如图乙2），此时，而，作BEOT于E，综上所述，当时，或 作业1 如图，ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为BAC的角平分线若ABE=C，AE：ED=2：1，则BDE与ABC的面积比为何？（ ）A 1：6B 1：9C 2：13D 2：15【答案】D【解析】 AE：ED=2：1，AE：AD=2：3，ABE=C，BAE=CAD，ABEACD，SABE：SACD=4：9，SACD=SABE，AE：ED=2：1，SABE：SBED=2：1，SABE=2SBED，SACD=SABE=SBED，SABC=SABE+SACD+SBED=2SBED+SBED+SBED=SBED，SBDE：SABC=2：15作业2 如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EFEC交AD于点F，连接CF（ADAE），下列结论：AEF=BCE；AF+BCCF；SCEF=SEAF+SCBE；若=，则CEFCDF其中正确的结论是_（填写所有正确结论的序号）【答案】 【解析】 根据同角的余角相等可得AEF=BCE，判断出正确，然后求出AEF和BCE相似，根据相似三角形对应边成比例可得，然后根据两组边对边对应成比例，两三角形相似求出AEF和ECF，再根据相似三角形对应角相等可得AFE=EFC，过点E作EHFC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AE=HE，利用“HL”证明AEF和HEF，根据全等三角形对应边相等可得AF=FH，同理可得BC=CH，然后求出AF+BC=CF，判断出错误；根据全等三角形的面积相等可得SCEF=SEAF+SCBE，判断出正确；根据锐角三角函数的定义求出BCE=30，然后求出DCF=ECF=30，再利用“角角边”证明即可解：EFEC，AEF+BEC=90，BEC+BCE=90，AEF=BCE，故正确；又A=B=90，AEFBCE，点E是AB的中点，AE=BE，又A=CEF=90，AEFECF，AFE=EFC，过点E作EHFC于H，则AE=HE，在AEF和HEF中，AEFHEF（HL），AF=FH，同理可得BCEHCE，BC=CH，AF+BC=CF，故错误；AEFHEF，BCEHCE，SCEF=SEAF+SCBE，故正确；若=，则cotBCE=2=，BCE=30，DCF=ECF=30，在CEF和CDF中，CEFCDF（AAS），故正确，综上所述，正确的结论是作业3 如图，点，点，分别在射线OM，ON上，则_，_（n为正整数）【答案】 6；【解析】 该题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，找规律 作业4 （1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，DPC=A=B=90，求证：ADBC=APBP（2）探究如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当DPC=A=B=时，上述结论是否依然成立？说明理由（3）应用请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足DPC=A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值【答案】 （1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）1秒或5秒【解析】 （1）如图1，DPC=A=B=90，ADP+APD=90，BPC+APD=90，ADP=BPC，ADPBPC，=，ADBC=APBP；（2）结论ADBC=APBP仍然成立理由：如图2，BPD=DPC+BPC，BPD=A+ADP，DPC+BPC=A+ADPDPC=A=B=，BPC=ADP，ADPBPC，=，ADBC=APBP；（3）如图3，过点D作DEAB于点EAD=BD=5，AB=6，AE=BE=3由勾股定理可得DE=4以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切，DC=DE=4，BC=54=1又AD=BD，A=B，DPC=A=B由（1）、（2）的经验可知ADBC=APBP，51=t（6t），解得：t1=1，t2=5，t的值为1秒或5秒作业5 如图，已知CD是ABC中ACB的角平分线，E是AC上的一点，且，（1）求证：BCDDCE；（2）求证：ADEACD；（3）求CE的长【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】 （1）证明：CD是ABC中ACB的角平分线，BCDDCE（两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似）；（2）证明：BCDDCE，（相似三角形的对应角相等）（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），又，ADEACD（两个角对应相等的两个三角形相似）；（3）解：ADEACD，解得，作业6 如图1，中，分别平分是的外角的平分线，交延长线于，连接（1）变化时，设若用表示和，那么= ，E=（2）若，且与相似，求相应长；（3）如图2，延长交延长线于当形状、大小变化时，图中有哪些三角形始终与相似？写出这些三角形，并选其中之一证明【答案】 （1），；（2）；（3），【解析】 （1），（2）由，得：，； 即：，为直角三角形，且 ，作业7 如图，正方形ABCD的边长为2，P是BCD内一动点，过点P作PMAB于M，PNAD于N，分别于对角线BD相交于点E，F记PM=a，PN=b，当点P运动时，ab=2（1）求证：EF2=BE2+DF2；（2）求证：ABFEDA，并求EAF的度数；（3）设AEF的面积为S，试探究S是否存在最小值？若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明理由【答案】 （1）见解析（2）见解析（3）S有最小值，且S最小=22【解析】 （1）证明：四边形ABCD是边长为2的正方形，AB=AD=2，ABF=ADE=45，PMAB，PNAD，四边形AMPN是矩形，BME、DNF、PEF均为等腰直角三角形，PM=a，PN=b，BM=EM=2b，DN=FN=2a，PE=PF=a+b2，DF2=2（2a）2=2a28a+8，BE2=2（2b）2=2b28b+8，EF2=2（a+b2）2=2a2+4ab+2b28a8b+8，ab=2，EF2=2a2+2b28a8b+16，EF2=BE2+DF2；（2）证明：四边形ABCD是边长为2的正方形，AB=AD=2，ABF=ADE=45，PMAB，PNAD，四边形AMPN是矩形，PMAN，NPAM，=， =，DE=AM，BF=AN，DEBF=AMAN=2ab，ab=2，DEBF=4，DEBF=ABAD，即=，又ABF=EDA=45，ABFEDA，BAF=AED，BAF=EAF+BAE，AED=ABF+BAE，EAF=ABF=45；（3）S=SABDSABESADF=AB2ABMEADFN=222（2b）+2（2a）=a+b2=（）2+（）22+22=（）2+22ab=2，S=（）2+22，（）20，当=0，即a=b=时，S有最小值，且S最小=2233 / 33